Матрицы и определители

Пояснительная записка.

Данное пособие предназначено для студентов среднего профессионального образования и преподавателей, обучающих студентов теме «Матрицы и определители».

Цель пособия: восполнить пробелы в существующих учебных пособиях и дидактических материалах по данной теме, помочь учащимся осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможность овладения им самостоятельно, с помощью данного пособия в том случае, если существуют пропуски занятий по изучаемой теме.

В соответствии с целью пособия мною были поставлены следующие задачи: овладеть некоторыми математическими умениями на уровне свободного их использования, приобрести определённую математическую культуру, помочь студентам оценить свой образовательный потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

Содержание

Пояснительная записка………………………………………………..1

Матрицы и операции над ними

Основные понятия……………………………………………………..3

Действия над матрицами……………………………………………....5

Свойства матриц……………………………………………………….7

Примеры………………………………………………………………..8

Ответы…………………………………………………………………10

Определители и их свойства

Основные понятия ……………………………………………………11

Свойства определителей……………………………………………... 13

Примеры………………………………………………………………. 15

Ответы………………………………………………………………… 16

Литература……………………………………………………………..17

Матрицы и операции над ними.

Прямоугольной матрицей размера m’n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов.

Элементы матрицы.

Числа a_{ij ,}составляющие данную матрицу, называются её элементами.

Элементы a_i1, a_i2, ..., a_in образуют i-ю строку матрицы A, A_i = {a_i1, a_i2, ..., a_in }.

Элементы a_1j, a_2j, ..., a_mj образуют j-й столбец матрицы A,

     

Индексы i и j первый индекс указывает на номер строки, второй - на номер столбца.

Виды матриц.

Если число столбцов матрицы равно числу ее строк (I = J = N), то такая матрица называется квадратной.

Единичной матрицей (обозначается E) называется матрица, у которой все элементы равны нулю, за исключением диагональных, которые равны 1, т.е.

Очевидно AE = EA = A.

Матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме диагональных (a_ii) равны нулю. Например

Матрица A называется треугольной, если все ее элементы, лежащие ниже диагонали, равны нулю, т.е. a_ij = 0, при ij. Например

Матрица A называется симметричной, если A^t = A. Иными словами a_ij = a_ji.

Матрица A называется ортогональной, если 

A^tA = AA^t = I.

Матрица называется нормальной если

  A^tA = AA^t.

Действия над матрицами.

Матрицы можноумножать на числа. При этом каждый элемент умножается на это число.

Например ,

Умножение матрицы на число

Две матрицы одинаковой размерности можно поэлементно складывать и вычитать.

Например,

Сложение матриц

В результате умножения на число и сложения получается матрица той же размерности.

Матрицу можно транспонировать. При этой операции матрица переворачивается, т.е. строки и столбцы меняются местами. Транспонирование обозначается штрихом, A' или индексом A^t. Таким образом, если A = {a_ij, i = 1,..., I; j = 1,...,J}, то A^t = {a_ji, j = 1,...,J; i = 1,..., I}. Например,

Транспонирование матрицы

Умножениематрицы на матрицу. Матрицу A, записанную слева, можно умножить на матрицу B, записанную справа, тогда и только тогда, когда число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.Каждая строка левой матрицы скалярно умножается на каждый столбец правой матрицы.

C=A*B

A-левая матрица, B-правая матрица.

C = A * B = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a41 a42 a43

*    b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33

=   c11 c12 c13 c21 c22 c23 c31 c32 c33 c41 c42 c43

Обратная матрица.

Матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы , если .

Обратная матрица для матрицы обозначается . Таким образом, если существует, то .

Из определения обратной матрицы следует, что матрица является обратной для матрицы , то есть(A^-1 )^-1 =A. Про матрицы и можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны.

Квадратную матрицу назовемвырожденной, если_{ }, и невырожденнойматрицей, если _{ }.

Формула нахождения обратной матрицы:

Свойства матриц.

1. A + B = B + A

2. A + (B + C) = (A + B) + C

3. α(A+B)=αA+αB

4. (α+β)A= αA+βA

5. α(βA)=(αβ)A

6. A(BC) = (AB)C

7. A(αB)= α(AB)

8. A(B + C) = AB + AC

9. (B + C)A = BA + CA

10.(A + B)^T = A^T + B^T

11.(AB)^T = B^TA^T

12. (A^T)^T = A

Примеры для самостоятельного решения.

1. A+B

   

1. A*B

1. B*A

1. 2A+B

1. 2A-BA

1. A*k

1. 2B*(A+B)

1. 2*A*B-3*C*D

1. Найдите обратную матрицу для матрицы_{ }

10.Решить матричное уравнение 2A+X=B,где _{ },_{ }

11.Найти обратную матрицу для матрицы _{ }

Ответы.

1. _{ }

1. _{ }

1. 

1. _{ }

1. _{ }

Определители и их свойства.

Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, определяемое единственным образом с использованием всех элементов матрицы. Это число называется определителем.

Числа  а_{11, …,} а₂₂ называют  элементамиопределителя. Диагональ, образованная элементами а₁₁; а₂₂ называется главной, а диагональ, образованная элементами  а₁₂; а₂₁ – побочной.

Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом:

                     .

Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом:

Для вычисления определителя 3^го порядка используют правило треугольника:

Определитель n-го порядка

            Определитель n-го порядка - это число, символически записываемое в виде таблицы из n строк иn столбцов.

Определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов, какой либо строки или столбца на их алгебраические дополнения:

D_n= a_i1A_i1 + a_i2A_i2 +…+ a_inA_in         

Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, в которых стоит выбранный элемент.

a_ij- выбранный элемент определителя, M_ij его минор.

 

Алгебраическим дополнениемA_ijэлемента определителя называется его минор, если сумма индексов данного элемента i+j есть число четное, или число, противоположное минору, если i+j нечетно, т.е.

Свойства определителей.

1. Равноправие строк и столбцов. При транспонировании матрицыее определитель не меняется.

2. Если все элементы какого-либо столбца (строки) определителя равны нулю, то определитель также равен нулю. Это свойство очевидно, так как каждое слагаемое содержит по одному и только одному сомножителю из каждого столбца (строки).

3. Антисимметрия. При перестановке двух любых столбцов (строк) определителя его знак меняется на противоположный, а абсолютная величина остается неизменной.

Доказательство свойств 1 и 3 основано на правиле расстановки знаков членов определителя.

4. Определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками) равен нулю.

Действительно, при перестановке, например, двух одинаковых столбцов определитель не изменяется, но вместе с тем он в силу третьего свойства меняет знак на обратный, т. е.

, откуда  или .

5.Линейность. Если j-й столбец (i-я строка A ) определителя detA является линейной комбинацией A  λB+ μC (A  λB+ μC) двух произвольных столбцов (строк) В и С , то и сам определитель оказывается линейной комбинацией detA  detA (λB+μC)  λdetA (B) + μdetA (C) определителей detA (B) и detA (C). Здесь detA (B) (detA (C)) – определитель, полученный из определителя detА заменой в нем j-го столбца A  на столбец В(столбец С ).

6. Общий множитель всех элементов какого-либо столбца (строки) определителя можно вынести за его знак. Отсюда следует, что если какой-либо столбец (строку) определителя умножить на число λ, то сам определитель умножится на это число.

7. Если какой-либо столбец (строка) определителя является линейной комбинацией других его столбцов (строк), то определитель равен нулю.

Свойства 6 и 7 вытекают из пятого свойства.

8. Определитель не изменится, если к любому его столбцу (строке) прибавить произвольную линейную комбинацию его столбцов (строк).

Действительно, в силу линейности определитель равен сумме исходного определителя и определителя с двумя одинаковыми столбцами (строками).

9. Определитель суммы двух квадратных матриц одного и того же порядка nA   и  В , i, j =  равен сумме всех различных определителей порядка n, которые могут получиться, если часть строк (столбцов) брать совпадающими с соответствующими строками (столбцами) матрицы А, а оставшуюся часть – совпадающими с соответствующими строками (столбцами) матрицы В.

Доказательство следует из свойства линейности определителя.

10. Определитель произведения двух матриц равен произведению их определителей det (AВ)  detAdetB.

Примеры для самостоятельного решения.

1. 

1. .

1. 

1. _{ }

2. _{ }

3. _{ }

4. _{ }

5. _{ }

6. _{ }

7. _{ }

Ответы.

1. 58

2. 0

3. 42

4. 30

5. -16

6. 1

7. -2

8. -6

9. 4

10. 60

Список литературы

1. В.А.Подольский «Сборник задач по математике»

2. http://mathland.narod.ru

3. http://www.math.mrsu.ru

4. http://abc.vvsu.ru

19