Разработка урока "Матрицы и определители"

Раздел 1. Линейная алгебра

Тема 1.1. Матрицы и определители

Урок№1.

Тема: Понятие матрицы. Виды матриц. Выполнение операций над матрицами.

Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментального раздела математики – линейной алгебры.Изучить понятие матрицы, её видов, операции над матрицами.

Задачи:

• развитие творческого профессионального мышления;

• познавательная мотивация;

• овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

• овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

• углубление теоретической и практической подготовки;

• развитие инициативы и самостоятельности студентов.

Вид занятия:Лекция систематического изложения курса.

Ход занятия.

1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;

2.Проверка готовности учащихся к занятию;

3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:

› Изучить теоретический материал по теме «Матрицы. Выполнение операций над матрицами».

› Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

› Ответить на контрольные вопросы.

1. Организационный момент.

Создание проблемной ситуации при постановке темы, цели и задач лекции.

В школьном курсе алгебры 7 – 9 классов рассматриваются различные способы решения систем линейных уравнений: метод подстановки, метод сложения, метод двойного сложения, графический метод, метод сравнения. Возникает вопрос, а существуют ли какие-либо другие способы решения данных систем. Действительно, кроме методов, изучаемых в школе, существуют и другие, доступные для учащихся старших классов методы решения систем линейных уравнений: метод Крамера, метод Гаусса, матричный метод. Эти методы способствуют развитию внимания, памяти. При применении этих методов встречаются новые понятия: «матрица», «определитель», «минор», «дополнение». Возникает необходимость уметь вычислять определители, миноры, дополнения.

При решении систем линейных уравнений методом Гаусса также нужно уметь выполнять преобразования над строками матриц.

Что же такое матрица, какие действия с ними можно выполнять?

2.Изучение нового материала.

Определение: Матрицей размеров mxn называется система mn чисел (элементов матрицы), расположенных в прямоугольной таблице из m строк и n столбцов. Если m=n, матрицу называют квадратной матрицей порядка n.

Обозначения: или

Или кратко: А=(а_ij)_mn или А=[a_ij]. Две матрицы А и В одинаковых размеров равны А=В, если а_ij=b_ijдля любых i, j.

Матрицы бывают: 0 = - нулевая матрица,

А = - матрица противоположная матрице А,

- матрица – строка, - матрица – столбец,

- верхняя треугольная матрица,

-нижняя треугольная матрица,- диагональная матрица,

Е = - единичная матрица.

Если все а_ij действительные, то матрица А называется действительной, если хотя бы одно из чисел а_ijкомплексное, то матрица называется комплексной.

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

1. Суммой матриц А = (а_ij) и В = (b_ij) одинаковых размеров называется матрица С = (с_ij) тех размеров, у которой с_ij = а_ij + b_ij, для любых i, j.

C = A + B

Свойства сложения матриц:

1. A+B = B + A

2. (A +B) +C = A + (B + C)

3. A + 0 = A

4. A + (-A) = 0, для любых А, В, С одинаковых размеров.

Транспонирование матриц.

А =А^т =

А^т – транспонированная матрица.

Свойства транспонирования:

1) 3)

2) 4)

Произведением матрицы А = (а_ij) на число k называется матрица С = (с_ij)

Тех же размеров, у которой с_ij = k·a_ijдля любых i,j.

C = k·A

Свойства умножения матрицы на число:

1)

2)

3)

4) для любых А,В одинаковых размеров, любых α, β R

Произведением матрицы А = (а_ik) размеров mn на матрицу В = (b_kj) размеров np называется матрица С = (с_ij) размеров mp, у которой

c_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + … + a_inb_nj.

C = AB

Свойства умножения матриц:

1. AE = EA = A

2. A0 = 0A = 0

3. (AB)D = A(BD)

4. 

5. (A + B)D = AD + BD

6. D(A + B) = DA + DB (при условии, что все указанные операции имеют смысл).

Для квадратных матриц АВ≠ВА

3.Закрепление нового материала.

Пример 1: Найти сумму матриц: А = и В = .

Решение: С = А + В С =

Чтобы вычесть из матрицы А матрицу В, надо к матрице А прибавить матрицу, противоположную матрице В.

А – В = А + (-В)

Пример 2: Найти разность матриц А – В: А = и В = .

Решение: С = А – В -В = С =

Пример 3: Дана матрица А =. Найти матрицу С = 2А.

Решение: С = 2А =

Пример 4: Даны матрицы: А = и В = .

Найти произведение матриц А и В.

Решение: С = АВ С = С =

4.Итог занятия. Рефлексия.

5.Домашнее задание. Учить определения, составить опорную схему конспекта. Выполнить упражнения:

1.Найти , если .

2.Даны матрицы .

3.Найти: а) б)

4.Найти матрицу , если

а)

б)

Составить самостоятельно пример на тему «Матрицы»

Таблица результатов

Преподаватель определяет следующие критерии: 1. Правильность составления алгоритма действий при вычислении матриц 2. Составление примера и его правильное решение	Оценка	Критерии оценки	Количество учеников
	«1»	Алгоритм не составлен Пример составлен с допущением ошибок и не решен	2
	«2»	Алгоритм составлен с допущением ошибок. Пример составлен и решен с допущением ошибок	9
	«3»	Алгоритм составлен очень кратко без пояснений. При решении примера допущены ошибки	2
	«4»	При составлении алгоритма допущена незначительная ошибка	5
	«5»	Алгоритм составлен подробно, правильно. Пример составлен самостоятельно и решен правильно	5