Математические модели

Математические модели

Экономические проблемы, возникающие перед специалистами в большинстве своем сложные. Они зависят от множества различных, иногда противоречащих друг другу факторов, изменяются с течением времени и влияют на другие проблемы и процессы.

Для принятия обоснованного решения необходимо иметь и обработать большое количество информации, определяемое иногда астрономическими цифрами. Принятие ответственных решений, как правило, связано с большими материальными ценностями. В настоящее время недостаточно знать путь, ведущий к достижению цели. Необходимо из всех возможных путей выбрать наиболее экономичный, который наилучшим образом соответствует поставленной задаче.

Появление цифровых вычислительных машин и персональных компьютеров создало огромные возможности для развития науки, совершенствования методов планирования и управления производством. Однако без строгих формулировок задач, без математического описания процессов современный уровень управления и планирования не может быть достигнут.

Впервые математические модели были использованы для решения практической задачи в 30-х годах в Великобритании при создании систем противовоздушной обороны. Для разработки данной системы были привлечены ученые различных специальностей. Система создавалась в условиях неопределенности относительно возможных действий противника, поэтому исследования проводились на адекватных математических моделях. В это время впервые был применен термин «операционное исследование», подразумевавший исследования военной операции. В последующие годы операционные исследования или исследования операций развиваются как наука, результаты которой применяются для выбора оптимальных решений при управлении реальными процессами и системами.

Математическая модель выражает существенные черты объекта или процесса языком уравнений и других математических средств. Собственно говоря, сама математика обязана своим существованием тому, что она пытается отразить, т.е. промоделировать, на своем специфическом языке закономерности окружающего мира.

Определение 1. Математическая модель-это система математических соотношений, приближенно, в абстрактной форме описывающих изучаемый процесс или систему.

Определение 2. Экономико-математическая модель-это математическая модель, предназначенная для исследования экономической проблемы.

В настоящее время математические модели применяются для анализа, прогнозирования и выбора оптимальных решений в различных областях экономики. Это планирование и оперативное управление производством, управление трудовыми ресурсами, управление запасами, распределение ресурсов, планировка и размещение объектов, руководство проектом, распределение инвестиций и т.п.

Классификация моделей

ММ можно классифицировать следующим образом: (см. схему)

По числу критериев эффективности ММ делятся на однокритериальные и многокритериальные. Многокритериальные содержат 2 или более критерия.

По учету неизвестных факторов математические модели делятся на детерминированные, стохастические и модели с элементами неопределенности.

В детерминированных моделях не учитываются неизвестные факторы. Несмотря на кажущуюся простоту этих моделей, к ним сводятся многие практические задачи, в том числе большинство экономических. По виду целевой функции и ограничений детерминированные модели делятся на линейные, нелинейные, динамические и графические.

В линейных моделях целевая функция и ограничения линейны по управляющим переменным.

Построение и расчет линейных моделей являются наиболее развитым разделом ММ, поэтому часто к ним стараются свести и другие задачи либо на этапе постановки, либо в процессе решения.

Нелинейные модели – это модели, в которых либо целевая функция, либо какое–нибудь из ограничений (либо все ограничения нелинейные по управляющим переменным. (т. е. переменная не в первой степени). Для нелинейных моделей нет единого метода расчета и поэтому можно предложить различные способы решения. Однако может случиться так, что для поставленной нелинейной задачи вообще не существует метода расчета. В этом случае задачу следует упростить, сведя его к известным линейным моделям.

В динамических моделях в отличие от линейных и нелинейных моделей учитывается фактор времени. Критерий оптимальности в этих моделях может быть самого общего вида(и вообще не быть функцией), однако для него должны выполняться определенные свойства. Расчет динамических моделей сложен, и для каждой конкретной задачи необходимо разрабатывать специальный алгоритм решения.

Классификация моделей

Графические модели используются тогда, когда задачу удобно представить в виде графической структуры.

В стохастических моделях неизвестные факторы - случайные величины, для которых известны функции распределения и различные статистические характеристики ( математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение и т.п.). среди них можно выделить:

- модели стохастического программирования, в которых либо в целевую функцию, либо в ограничения входят случайные величины;

- модели теории случайных процессов, предназначенные для изучения процессов, состоятие которых в данный момент времени является случайной величиной;

- модели теории массового обслуживания, в которой изучаются многоканальные системы, занятые обслуживанием требований.

Модели с элементами неопределенности предназначены для моделирования ситуаций, зависящих от факторов, для которых невозможно собрать статистические данные и значения которых неопределены. В моделях теории игр задача представляется в виде игр, в которой участвуют несколько игроков, преследующих различные цели, например организация предприятия в условиях конкуренции.

В имитационных моделях реальный процесс разворачивается в машинном времени, и прослеживаются результаты случайных воздействий на него, например организация производственного процесса.

Основные этапы построения математических моделей

1. Определение цели, т.е чего хотят добиться решая поставленную задачу.

2. Определение параметров модели, т.е. заранее известных фиксированных факторов, на значения которых исследователь не влияет.

3. Формирование управляющих переменных, изменяя значение которых можно приближаться к поставленной цели. Значения управляющих переменных и являются решениями задачи.

4. Определение области допустимых решений, т.е. тех ограничений, которым должны удовлетворять управляющие переменные.

5. Выявление неизвестных факторов, т.е. величин, которые могут изменяться случайным и неопределенным образом.

6. Выражение цели через управляющие переменные, параметры и неизвестные факторы, т.е. формирование целевой функции, называемой также критерием эффективности или критерием оптимальности задачи.

Постановка задачи линейного программирования

Определение1: Линейное программирование – наука о методах исследования и отыскания экстремальных (наибольших и наименьших) значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения.

Линейная функция называется целевой, а ограничения, которые математически записываются в виде уравнений и неравенств, называются системой ограничений.

Определение 2: Математическое выражение целевой функции и ее ограничений называется математической моделью экономической задачи.

В общем виде математическая модель задачи линейного программирования (ЛП) записывается так:

при ограничениях:

.

Все или некоторые уравнения системы ограничений могут быть записаны в виде неравенств.

Математическая модель в более краткой записи имеет вид:

при ограничениях:

.

Определение 3: Допустимым решением (планом) задачи линейного программирования называется вектор .

Множество допустимых решений образует область допустимых решений (ОДР).

Определение 4: Допустимое решение, при котором целевая функция достигает своего экстремального значения, называется оптимальным решением задачи линейного программирования и обозначается .