Исследовательская работа по теме «Магические квадраты»

МБОУ лицей №7

Исследовательская работа по теме «Магические квадраты».

Выполнила: Антонов Артем, ученик 5 класса Г

Преподаватель: Ольховая Татьяна Николаевна

СОДЕРЖАНИЕ.

1. Введение…………………………………………………………………...3

2. Что такое «магический квадрат» …………….…………………..……....3

3. История появления магических квадратов….…………………………….3

4. Магический квадрат 3*3………………………………………………..…..4

5.Виды магических квадратов………………………………………..………4

6. Количество решений магических квадратов………………………….…..5

7. Методы заполнения магических квадратов…………………..…………..5

8. Применение магических квадратов………………………………….……6

9. Вывод по теме………………………………………………………………6

10. Приложени1…………………………………...…………………………..7

11. Приложение 2……………………………….…………………………….8

12. Приложение 3……………………………………………………….…….9

13. Список литературы и Интернет-ресурсов……………………….……..10

1. Введение.

Магические квадраты.… От этого словосочетания сразу веет волшебством. Великие учёные древности считали количественные отношения основой сущности мира. Они увидели, что числа имеют какую-то самостоятельную жизнь, свои тайны. Позже выяснилось, что располагая числа правильными рядам, в случае «магии» можно, складываю слева направо и сверху вниз, каждый раз получаются равные числа. Так в ходе времени образовался магический квадрат, который мы встречаем по сей день.

Проблема: заполнение магических квадратов.

Цель: изучение магических квадратов: их видов, способов заполнения и применения на практике.

Задачи:

• познакомиться с историей появления магических квадратов;

• выяснить виды магических квадратов и способы их заполнения;

• выявить области применения  магических квадратов.

Актуальность выдвинутой мной проблемы заключается в привлечении учащихся к решению нестандартных задач, которые часто можно встретить в современных учебниках по математике. Я считаю, что магический квадрат является одной из наиболее интересных головоломок.

1. Что такое «магический квадрат»?

Магическим квадратом n-го порядка называется квадратная таблица размером n х n, заполненная натуральными числами от 1 до n², суммы которых по всем строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковы. Различают магические квадраты четного и нечетного порядка (в зависимости oт четности n), Поля таблицы, в которые записывают числа, называются клетками магического квадрата, а сумма чисел, стоящих в любой строке, столбце или на диагонали, - его постоянной. (рис. 1)

”Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые некото­рыми планетными, а другими - магическими»” - писал о них Пьер де Ферма.

1. История появления магических квадратов.

По легенде магический квадрат появился около 2200 лет до нашей эры в Древнем Китае, когда на берег из реки Ло вылезла большая черепаха, на панцире которой был странный узор из точек, упорядочив который обнаружили 9 секторов с цифрами, расположенными в определенной последовательности. Причем при последовательном соединение линиями цифр от 1 до 9  получается символ "печать планеты Сатурн", который использовался в древнекитайской магии. Этот символ также называется символом Девяти императоров, считается, что он обладает очень мощной защитной силой и в качестве талисмана способен защитить хозяина от преждевременной смерти. (рис. 2)

Жители Поднебесной считали таблицу Ло Шу священной, у них даже не возникало мысли о составлении аналогичных квадратов большего размера, поэтому последние стали появляться только три тысячелетия спустя.

Название «магические» квадраты получили от арабов, Из Китая магические квадраты распространи­лись сначала в Индию, затем в Японию и другие страны. На востоке их считали волшебными, полными тайного смысла символами, и использовали при заклинаниях.

В древности магические квадраты очень уважали и приписывали им различные мистические свойства. Говорят, если надо было решиться на какое-то опасное дело, их с магическими целями рисовали на бумажке и съедали. Такое же кушанье предлагали в качестве панацеи от всех болезней. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

1. Магический квадрат 3*3.

Полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени.

Магических квадратов 2*2 не существует, т.к. квадрат с таким количеством клеток должен был бы состоять и чисел 1,2,3,4. Значит постоянная такого квадрата должна равняться 5. Что бы квадрат был магическим, нужно составить 6 комбинаций( слева направо(начиная от верхнего левого квадратика, сверху вниз, справа на лево, снизу вверх и о двум диагоналям). Для числа 5 существует только 2 комбинации (1+4 и 2+3)из этого следует, что такой квадрат составить нереально. Поэтому считается, что квадрат 3-го порядка самый простой. Он единственный, т.к. другой квадрат будет образован перемещением строк или столбцов, поворотом на 90 или 180.

1. Виды магических квадратов.

Нормальный МК - магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n2. (рис. 3)

Полумагический квадрат - квадрат, заполненный числами от 1 до n2, если сумма чисел по горизонталям и вертикалям равна магической постоянной, а по диагоналям это условие не выполняется. (рис.4)

Aссоциативный, или симметричный МК, такой магический квадрат, у которого сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, равна одному и тому же числу: 1+n2. (рис. 5)

Пандиагональный (дьявольский) МК - такой магический квадрат, в котором сумма чисел по разломанным диагоналям также равна константе квадрата. Существует 48 дьявольских квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений, но только 3 существенно различных квадрата. (рис. 6)

Идеальный МК - магический квадрат, который одновременно пандиагональный и ассоциативный. (рис.7)

Совершенный МК - магический пандиагональный квадрат порядка 4k, обладающий дополнительными свойствами.
Бимагический квадрат - такой магический квадрат, который остаётся магическим при замене всех его элементов на их квадраты. Бимагических квадратов3,4,5порядканесуществует.
Мультимагический квадарат –обобщение бимагических квадратов на произвольную степень n.

Нетрадиционный - если в таблицу заносится не строго натуральный ряд чисел. (рис. 8)

Латинским квадратом называется квадрат n х n клеток, в которых написаны числа 1, 2,…, n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу. (рис. 9)

1. Количество решений магических квадратов.

Изучая литературу по теме, мы установили, что с увеличением размеров квадрата

быстро растет количество возможных магических квадратов. Так, например,

для 3 порядка – единственный

для 4 - 880

для 5 – приближается к четверти миллиона.

1. Методы заполнения магических квадратов.

Магические квадраты нечетного порядка.

1. Метод достроения, на примере МГ 5*5.

• Построим квадрат с 25 клетками и временно построим его до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры. Достроенные клеточки обозначим символом * (рис. 10)

• В полученной фигуре расположим по порядку косыми рядами сверху-вниз-направо 25 целых чисел от 1 до 25. (рис. 11)

• Каждое число, расположенное вне исходного (выделенного) квадрата следует перенести вдоль того же ряда или столбца ровно на столько клеток от той клетки, которую оно занимает, каков порядов квадрата, в нашем примере – на пять.

1 - вниз под 13 5 - влево

2 - вниз под 14    4 – влево

6 - вниз под 18 10 - влево

21 - вправо за 13 25 - вверх

22 - вправо за 14 24 - вверх

16 - вправо за 8 20 – вверх

• Таким образом, все ячейки квадрата заполнены. Сумма чисел в столбцах, строках и диагоналях равна 65. (рис 12)

Магические квадраты четно-четного порядка.

1. Порядок 2ⁿ. Этот метод удобно рассматривать на примере магического квадрата 8*8.

• Исходный  квадрат  разделю  на     соответствующее число квадратов порядка 4. В данном случае таких квадратов будет 4. В каждом подквадрате отмечу диагональные элементы символом. Остальные элементы построчно заполню порядковыми целыми числами в направлении слева-направо и сверху-вниз. Числа, приходящиеся на выделенные диагональные элементы, должны быть пропущены. (рис. 13)

• Отмеченные * диагональные элементы квадрата заполняю пропущенными целыми числами в порядке возрастания в направлении справа-налево и снизу-вверх, причем числа, приходящиеся на недиагональные элементы, должны быть пропущены. Сумма чисел по строкам, столбцам и диагоналям равна 260. (рис. 14)

1. Метод Раус – Бола. Для примера возьму квадрат 8-го порядка.

• Квадрат заполняется слева направо и сверху вниз числами от 1 до n² в их естественном порядке. Разделить заполненный числами от 1 до 64  квадрат на четыре равных квадрата порядка 4. (рис. 15)

• В каждой строке и столбце верхнего левого квадрата порядка 4 отметить2 (8=2*2*2) клетки ( всего 8 клеток). Это можно сделать, применив "шахматный" порядок. (рис. 16)

• Для каждой из отмеченных клеток отметить симметричную ей относительно вертикальной оси клетку. (рис. 17)

• Содержимое каждой из отмеченных клеток переставить с содержимым соответствующей центрально-симметричной ей клетки. После этих перестановок получится магический квадрат. Сумма его элементов равна 260. (рис. 18)

Магические квадраты четно-нечетного порядка.

Диагональный метод.   Для примера возьмем квадрат 10*10.

• Разделить заполненный числами от 1 до 100 квадрат на четыре квадрата порядка 5 осями симметрии. (рис. 19)

• В левом верхнем квадрате закрашу разным цветом три группы клеток, при этом в каждой строке и в каждом столбце отмечу по две клет­ки из первой группы и по одной — из второй и третьей групп. Одинаковым цветом выделю клет­ки, расположенные вдоль диагонали квадрата и прямых, ей параллельных. (рис. 20)

• Клетки, симметричные клеткам первой груп­пы относительно вертикальной оси, закрашу та­ким же цветом. (рис. 21)

• Число, стоящее в каждой из отмеченных в пункте 2 клеток, переставлю с числом из соответ­ствующей центрально-симметричной клетки. (рис. 22)

• Содержимое каждой клетки второй группы обменяю с содержимым симметричной ей относительно горизонтальной оси клетки. (рис. 23)

• Содержимое каждой клетки третьей группы обменяю с содержимым симметричной ей относительно вертикальной оси клетки. Получится четно-нечетный магический квадрат с суммой, равной 505. (рис. 24)

1. Применение магических квадратов.

1)Защита информации.

Сегодня очень актуальна проблема защиты информации. С помощью магического квадрата можно закодировать информацию. Например, (рис. 25) получится : «буду в семь».

2)Судоку – Мудрость Востока. Считается, что популярная игра «судоку» берет свое начало именно из магического квадрата. (рис. 26)

3)Магические квадраты находят своё применение и в агротехнике.

9. Вывод по теме.

• Магический квадрат – древнекитайского происхождения.

• Универсального способа заполнения магических квадратов нет.

• Способ заполнения магического квадрата зависит от его порядка

• МГ является популярной головоломкой, часто встречается в олимпиадных заданиях.

• С помощью МГ можно кодировать информацию.

• Существует много видом МГ.

• Для каждого МГ определенного порядка существуют различные способы заполнения.

Приложение 1.

Рис. 1 рис. 2 рис. 3

Рис.4 рис. 5

Рис. 6 рис. 7

Рис.8 рис. 9

Приложение 2.

Рис . 10 рис. 11 рис. 12

Рис. 13 рис. 14 рис. 15

Рис. 16 рис. 17 рис. 18

Рис. 19 рис. 20 рис. 21

Приложение 3.

Рис. 22 рис. 23 рис. 24

Рис. 25 рис. 26

Список литературы и Интернет-ресурсов:

1. http://ru.wikipedia.org/wiki/%CC%E0%E3%E8%F7%E5%F1%EA%E8%E9_%EA%E2%E0%E4%F0%E0%F2

2. http://xreferat.ru/54/540-1-magicheskie-kvadraty.html

3. Энциклопедический словарь юного математика. М., Педагогика, 1999г.

4. http://www.informio.ru/publications/id192

5. http://www.coolreferat.com/Магические_квадраты_часть=3

9