Графический метод решения задач линейного программирования

Графический метод

Графический метод является наиболее простым и наглядным методом линейного программирования.

Применяется для решения задач линейного программирования с 2-мя переменными.

С геометрической точки зрения в задаче ищется такая угловая точка или набор точек из допустимого множества решений, на котором достигается самая верхняя или нижняя линия уровня или точка выхода линии уровня из области допустимых решений.

Для нахождения экстремального значения целевой функции при графическом методе используют вектор, показывающий направление наискорейшего изменения целевой функции С.

Алгоритм решения задач ГМ.

1. Находим область допустимых решений системы ограничений задачи.

1. Строим вектор С.

2. Проводим линию уровня L_0, которая перпендикулярна С.

3. Линию уровня перемещаем по направлению вектора С для задач на максимум и в направлении противоположном С, для задач на минимум.

Перемещение линии уровня производится до тех пор, пока у нее не окажется только одна общая точка с областью допустимых решений. Эта точка, определяющая единственное решение задачи, и будет точкой экстремума. Если окажется, что линия уровня параллельна одной из сторон ОДР, то в таком случае экстремум достигается во всех точках соответствующей стороны, а задача будет иметь бесчисленное множество решений.

5.Находим координаты точки экстремума и значение целевой функции в ней.

Возможны следующие случаи ОДР:

Пример. Выбор оптимального выпуска изделий.

Фирма выпускает 2 вида мороженого: сливочное и шоколадное. Для изготовления мороженого используются 2 вида продукта: молоко и наполнители, расходы которых на 1 кг мороженого и суточные запасы заданы в таблице.

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на сливочное мороженое превышает спрос на шоколадное не более чем на 100 кг. Кроме того, установлено, что спрос на шоколадное мороженое не превышает 350 кг в сутки. Розничная цена 1 кг сливочного мороженого 16 руб., шоколадного – 14 руб.

Какое количество мороженого каждого вида должна производить фирма, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Решение.

Обозначим: х1 – суточный объем выпуска сливочного мороженого, кг; х2 - суточный объем выпуска шоколадного мороженого, кг.

Составим математическую модель задачи.

Целевая функция будет иметь вид:

L(x) = 16x1+14x2 – max при ограничениях:

0,8 x1+ 0,5x2 400,

0,4x1+0,8x2 365,

x1-x2100,

x2350,

x10, x20.

OABDEF – область допустимых решений. Строим вектор с(1;1). Линия уровня задается уравнением L₀ = 16x1+14x2=const.

Перемещаем линию уровня по направлению вектора с. Точкой выхода L₀ из области допустимых решений является точка D, ее координаты определяются как пересечение прямых, заданных уравнениями:

0,8х1+0,5х2=400

0,4х1+0,8х2 = 365.

Решая систему, получим координаты точки D ( 312,5; 300), в которой и будет оптимальное решение, т.е Х_опт =(312,5; 300), при этом

L(x)_max = 16*312,5 + 14*300 = 9200.

Таким образом, фирма должна выпускать в сутки 312,5 кг сливочного мороженого и 300 кг шоколадного мороженого, при этом доход от реализации составит 9200 рублей.