Решение задач оптимизации

18. Решение задачи линейного программирования графическим методом

Необходимо найти минимальное значение целевой функции F = 9x₁+2x₂ → min, при системе ограничений:

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Построим уравнение 11x₁-3x₂ = 24 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x₁ = 0. Находим x₂ = -8. Для нахождения второй точки приравниваем x₂ = 0. Находим x₁ = 2.18. Соединяем точку (0;-8) с (2.18;0) прямой линией.
Построим уравнение 9x₁+4x₂ = 110 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x₁ = 0. Находим x₂ = 27.5. Для нахождения второй точки приравниваем x₂ = 0. Находим x₁ = 12.22. Соединяем точку (0;27.5) с (12.22;0) прямой линией.
Построим уравнение -2x₁+7x₂ = 15 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x₁ = 0. Находим x₂ = 2.14. Для нахождения второй точки приравниваем x₂ = 0. Находим x₁ = -7.5. Соединяем точку (0;2.14) с (-7.5;0) прямой линией.

или

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 9x₁+2x₂ → min.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 9x₁+2x₂ = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление минимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (9; 2). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Равный масштаб

Область допустимых решений представляет собой треугольник.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке A. Так как точка A получена в результате пересечения прямых (1) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
11x₁-3x₂=24
-2x₁+7x₂=15

Решив систему уравнений, получим: x₁ = 3, x₂ = 3
Откуда найдем минимальное значение целевой функции:
F(X) = 9*3 + 2*3 = 33

2) Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = 9x₁+2x₂ → max, при системе ограничений:

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 9x₁+2x₂ → max.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 9x₁+2x₂ = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (9; 2). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Область допустимых решений представляет собой треугольник.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (2) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
9x₁+4x₂≤110
-2x₁+7x₂≥15

Решив систему уравнений, получим: x₁ = 10, x₂ = 5
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(X) = 9*10 + 2*5 = 100

Ответ: наименьшее значение =33, наибольшее значение =100.

38. Решение:

Составим математическую модель. Пусть х- количество изделий А, у – количество изделий В. Тогда прибыль составит: 2х+5уmax

Ограничения: - по сырью 1-го вида 3х+5у≤453

- по сырью 2-го вида 4х+8у≤616

- по сырью 3-го вида 3х+11у≤627

По смыслу задачи, х≥0 и у≥0.

Графическое решение: Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = 2x₁+5x₂ → max, при системе ограничений:

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Построим уравнение 3x₁+5x₂ = 453 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x₁ = 0. Находим x₂ = 90.6. Для нахождения второй точки приравниваем x₂ = 0. Находим x₁ = 151. Соединяем точку (0;90.6) с (151;0) прямой линией.
Построим уравнение 4x₁+8x₂ = 616 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x₁ = 0. Находим x₂ = 77. Для нахождения второй точки приравниваем x₂ = 0. Находим x₁ = 154. Соединяем точку (0;77) с (154;0) прямой линией.
Построим уравнение 3x₁+11x₂ = 627 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x₁ = 0. Находим x₂ = 57. Для нахождения второй точки приравниваем x₂ = 0. Находим x₁ = 209. Соединяем точку (0;57) с (209;0) прямой линией.

или

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 2x₁+5x₂ → max.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 2x₁+5x₂ = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (2; 5). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Область допустимых решений представляет собой многоугольник

Прямая F(x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (2) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
4x₁+8x₂=616
3x₁+11x₂=627

Решив систему уравнений, получим: x₁ = 88, x₂ = 33
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(X) = 2*88 + 5*33 = 341

Для получения максимальной прибыли в 341руб. необходимо производить 88 единиц изделия А и 33 единицы изделия В.

Симплекс-метод.

Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 2x₁ + 5x₂ при следующих условиях-ограничений.
3x₁ + 5x₂≤453
4x₁ + 8x₂≤616
3x₁ + 11x₂≤627
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₃. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₄. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₅.
3x₁ + 5x₂ + 1x₃ + 0x₄ + 0x₅ = 453
4x₁ + 8x₂ + 0x₃ + 1x₄ + 0x₅ = 616
3x₁ + 11x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 1x₅ = 627
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.
Экономический смысл дополнительных переменных: дополнительные перемены задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана.
Решим систему уравнений относительно базисных переменных:
x₃, x₄, x₅,
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,453,616,627)
Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Итерация №0.
1. Проверка критерия оптимальности.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
2. Определение новой базисной переменной.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₂, так как это наибольший коэффициент по модулю.
3. Определение новой свободной переменной.
Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i2
и из них выберем наименьшее:
min (453 : 5 , 616 : 8 , 627 : 11 ) = 57
Следовательно, 3-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (11) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

4. Пересчет симплекс-таблицы.
Формируем следующую часть симплексной таблицы.
Вместо переменной x₅ в план 1 войдет переменная x₂.
Строка, соответствующая переменной x₂ в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x₅ плана 0 на разрешающий элемент РЭ=11
На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.
В остальных клетках столбца x₂ плана 1 записываем нули.
Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x₂ и столбец x₂.
Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (11), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

Получаем новую симплекс-таблицу:

Итерация №1.
1. Проверка критерия оптимальности.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
2. Определение новой базисной переменной.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₁, так как это наибольший коэффициент по модулю.
3. Определение новой свободной переменной.
Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i1
и из них выберем наименьшее:
min (168 : 1⁷/₁₁ , 160 : 1⁹/₁₁ , 57 : ³/₁₁ ) = 88
Следовательно, 2-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (1⁹/₁₁) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

4. Пересчет симплекс-таблицы.
Формируем следующую часть симплексной таблицы.
Вместо переменной x₄ в план 2 войдет переменная x₁.
Строка, соответствующая переменной x₁ в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x₄ плана 1 на разрешающий элемент РЭ=1⁹/₁₁
На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1.
В остальных клетках столбца x₁ плана 2 записываем нули.
Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x₁ и столбец x₁.
Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

Получаем новую симплекс-таблицу:

1. Проверка критерия оптимальности.
Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.
Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Оптимальный план можно записать так:
x₁ = 88
x₂ = 33
F(X) = 2•88 + 5•33 = 341

Ответ: Для получения максимальной прибыли в 341руб. необходимо производить 88 единиц изделия А и 33 единицы изделия В.

48.

Решение:

Составим математическую модель. Пусть х- количество изделий А, у – количество изделий В. Тогда стоимость составит: 4х+6у≥260

Ограничения: - по использованию оборудования 1-го типа 1х+2у≤453

- по использованию оборудования 2-го типа 4х+2у≤220

Загрузка оборудования 1-го типа должна быть минимальной: 1х+2уmin

По смыслу задачи, х≥0 и у≥0.

Необходимо найти минимальное значение целевой функции F = x₁+2x₂ → min, при системе ограничений:

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).
Построим уравнение 4x₁+6x₂ = 260 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x₁ = 0. Находим x₂ = 43.33. Для нахождения второй точки приравниваем x₂ = 0. Находим x₁ = 65. Соединяем точку (0;43.33) с (65;0) прямой линией.
Построим уравнение x₁+2x₂ = 453 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x₁ = 0. Находим x₂ = 226.5. Для нахождения второй точки приравниваем x₂ = 0. Находим x₁ = 453. Соединяем точку (0;226.5) с (453;0) прямой линией.
Построим уравнение 4x₁+2x₂ = 220 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x₁ = 0. Находим x₂ = 110. Для нахождения второй точки приравниваем x₂ = 0. Находим x₁ = 55. Соединяем точку (0;110) с (55;0) прямой линией.

или

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.

Рассмотрим целевую функцию задачи F = x₁+2x₂ → min.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = x₁+2x₂ = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление минимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (1; 2). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Область допустимых решений представляет собой треугольник.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (1) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
4x₁+6x₂=260
4x₁+2x₂=220
Решив систему уравнений, получим: x₁ = 50, x₂ = 10
Откуда найдем минимальное значение целевой функции:
F(X) = 1*50 + 2*10 = 70

Симплекс-метод.

Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Определим минимальное значение целевой функции F(X) = x₁ + 2x₂ при следующих условиях-ограничений.
4x₁ + 6x₂≥260
x₁ + 2x₂≤453
4x₁ + 2x₂≤220
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x₃ со знаком минус. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₄. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₅.
4x₁ + 6x₂-1x₃ + 0x₄ + 0x₅ = 260
1x₁ + 2x₂ + 0x₃ + 1x₄ + 0x₅ = 453
4x₁ + 2x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 1x₅ = 220
Введем искусственные переменные x: в 1-м равенстве вводим переменную x₆;
4x₁ + 6x₂-1x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 1x₆ = 260
1x₁ + 2x₂ + 0x₃ + 1x₄ + 0x₅ + 0x₆ = 453
4x₁ + 2x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 1x₅ + 0x₆ = 220
Для постановки задачи на минимум целевую функцию запишем так:
F(X) = x₁+2x₂+Mx₆ → min
За использование искусственных переменных, вводимых в целевую функцию, накладывается так называемый штраф величиной М, очень большое положительное число, которое обычно не задается.
Полученный базис называется искусственным, а метод решения называется методом искусственного базиса.
Причем искусственные переменные не имеют отношения к содержанию поставленной задачи, однако они позволяют построить стартовую точку, а процесс оптимизации вынуждает эти переменные принимать нулевые значения и обеспечить допустимость оптимального решения.
Из уравнений выражаем искусственные переменные:
x₆ = 260-4x₁-6x₂+x₃
которые подставим в целевую функцию:
F(X) = x₁ + 2x₂ + M(260-4x₁-6x₂+x₃) → min
или
F(X) = (1-4M)x₁+(2-6M)x₂+(M)x₃+(260M) → min
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.
Экономический смысл дополнительных переменных: дополнительные перемены задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана.
Решим систему уравнений относительно базисных переменных:
x₆, x₄, x₅,
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,0,453,220,260)
Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Итерация №0.
1. Проверка критерия оптимальности.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты.
2. Определение новой базисной переменной.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₂, так как это наибольший коэффициент .
3. Определение новой свободной переменной.
Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i2
и из них выберем наименьшее:
min (260 : 6 , 453 : 2 , 220 : 2 ) = 43¹/₃
Следовательно, 1-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (6) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

4. Пересчет симплекс-таблицы.
Формируем следующую часть симплексной таблицы.
Вместо переменной x₆ в план 1 войдет переменная x₂.
Строка, соответствующая переменной x₂ в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x₆ плана 0 на разрешающий элемент РЭ=6
На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.
В остальных клетках столбца x₂ плана 1 записываем нули.
Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x₂ и столбец x₂.
Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (6), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

Получаем новую симплекс-таблицу:

Итерация №1.
1. Проверка критерия оптимальности.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты.
2. Определение новой базисной переменной.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₁, так как это наибольший коэффициент .
3. Определение новой свободной переменной.
Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i1
и из них выберем наименьшее:
min (43¹/₃ : ²/₃ , - , 133¹/₃ : 2²/₃ ) = 50
Следовательно, 3-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (2²/₃) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

4. Пересчет симплекс-таблицы.
Формируем следующую часть симплексной таблицы.
Вместо переменной x₅ в план 2 войдет переменная x₁.
Строка, соответствующая переменной x₁ в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x₅ плана 1 на разрешающий элемент РЭ=2²/₃
На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1.
В остальных клетках столбца x₁ плана 2 записываем нули.
Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x₁ и столбец x₁.
Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

Получаем новую симплекс-таблицу:

1. Проверка критерия оптимальности.
Среди значений индексной строки нет положительных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.
Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Так как в оптимальном решении отсутствуют искусственные переменные (они равны нулю), то данное решение является допустимым.
Оптимальный план можно записать так:
x₂ = 10
x₁ = 50
F(X) = 2•10 + 1•50 = 70

Ответ: Для получения стоимости не менее 260 руб. необходимо производить 10 единиц изделия А и 50 единиц изделия В.