Алгебраические тождества

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Определение. Алгебраическим выражением называется выражение, получаемое из постоянных и переменных при помощи операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня.

Примеры алгебраических выражений:

Определение. Областью допустимых значений (сокращенно ОДЗ) алгебраического выражения E(x₁, x₂, ..., x_n) (D(E)) называется множество всех наборов (x₁, x₂, ..., x_n), для которых выражение E(x₁, x₂, ..., x_n) имеет смысл.

Например, ОДЗ выражения является D(E) = {(x,y)  |  x  R,   y  R,   xy ≠ 0}, ОДЗ выражения является множество {(x,y,z)  |  x, y, z  R,   xy ≥ 0}.

Определение. Алгебраические выражения E₁ и E₂ называются тождественно равными на множестве M  D(E₁)D(E₂), если при любых значениях переменных из M соответствующие числовые значения этих выражений равны.

Например, на множестве [0;+),   на множестве (-;0],   на множестве R\{-1},   (x + y)² = x² + 2xy + y² на множестве {(x,y)  |  x  R,   y  R}.

Определение. Тождественным преобразованием алгебраического выражения на множестве M  D(E) называется замена этого выражения на тождественно равное ему на множестве M

Замечание. Отметим, что иногда опускают множество, на котором алгебраические выражения тождественно равны, имея при этом ввиду их тождественное равенство на пересечении областей допустимых значений.

Например,

При выполнении тождественных преобразований оказываются полезными следующие формулы.

I. Формулы сокращенного умножения

1. (a ± b)² = a² ± 2ab + b²,

2. (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³,

3. a² - b² = (a - b)(a + b),

4. a³ ± b³ = (a ± b)(a² ab + b²).

Эти формулы получаются как следствия из более общих формул:

1. aⁿ - bⁿ = (a - b)(a^n-1 + a^n-2b + ... + ab^n-2 + b^n-1)     (n  N),

2. a²ⁿ⁺¹ + b²ⁿ⁺¹ = (a + b)(a²ⁿ - a^2n-1b + ... - ab^2n-1 + b²ⁿ)     (n  N),

3. (бином Ньютона)

где n  N,         n! = 1·2·3·...·n,     0! = 1.

II. Свойства степеней

Следующие свойства справедливы для любых положительных чисел a и b и любых действительных чисел  и .

1. a⁰ = 1;

2. a^{ + } = a^ · a^;

3. 

4. (a^)^ = a^;

5. (ab)^ = a^ · b^;

6. 

7. 

Замечание 1. Отметим, что отрицательные числа также можно возводить в некоторые степени (целые и, более общо, рациональные вида где m - целое, n - натуральное).