Вычисление площадей с помощью интеграла

Учитель Рожкова Любовь Михайловна

МОУ СОШ №15 г.Тверь

Урок алгебры и начал анализа в 11 классе
по учебнику Алимова Ш.А.

Вычисление площадей с помощью интегралов.

По данной теме это третий урок из четырёх.

На первом уроке - изучение нового материала и решение типовых задач на нахождение площадей с помощью интегралов.

На втором уроке - нахождение площадей фигур, состоящих из двух криволинейных трапеций, симметричных фигур.

На третьем уроке - решение разнообразных задач по теме.

На четвёртом уроке – обобщение, самостоятельная работа.

Тип урока: урок применения знаний и умений учащихся.

Цели и задачи урока:

-формировать умение решать задачи на вычисление площадей плоских фигур

с помощью определенного интеграла;

-отрабатывать навыки вычисления определенных интегралов;

- развивать познавательные интересы и способности учащихся;

-развивать умения выделять главное в материале;

-развивать умения логически излагать мысли:

-реализовывать дифференцированный подход к учащимся;

-воспитывать аккуратность изображения графиков функций и выполнения записей в тетради и на доске.

Оборудование:

Презентация для данного урока

Мультимедийный проектор

Компьютер.

Основные этапы урока:

1) организационный момент;

2) проверка домашнего задания;

3) проверка знаний и умений учащихся для подготовки к решению задач;

4) постановка цели занятия перед учащимися;

5) организация восприятия и осмысления новой информации;

6) первичная проверка понимания;

7) организация усвоения способов деятельности путем воспроизведения информации и упражнений в ее применении;

8) домашнее задание.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент-тема, цели, задачи урока (1мин.).

1. Проверяем домашнее задание (3 мин.).

• Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций

.

• Доказать, что площади фигур, ограниченные графиком функции

и отрезками , равны.

• Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций

и прямой .

• Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций,

при и прямой (слайды 2-5):

1. Устно фронтально (7 мин.).

• Как найти площадь выделенной фигуры?

, (слайды 6-11):

1. Класс самостоятельно выполняет задачи, которые можно решить с помощью одного чертежа (первый ряд - а), второй ряд - б), третий ряд - в)) с последующей проверкой (8 мин):

• Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

а) и осью Ох;

б);

в) и осью Оу (слайды 12-14):

Убеждаемся, что для успешного решения задач на нахождение площади фигуры необходимо не только верно схематически изобразить графики функций, ограничивающие фигуру, но и верно выделить искомую фигуру на чертеже.

Одновременно на боковых досках четыре ученика выполняют индивидуальные задания, которые показывают (3мин.) всему классу:

• Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций

, и прямой .

• Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций

, и прямыми , .

• Фигура ограничена графиками функции и

прямыми . Прямая делит фигуру

на две части. Равны ли их площади?

• Используя геометрическую интерпретацию, вычислите интегралы: , (слайды 15-18):

1. Далее на уроке рассматриваем следующую задачу (устно, по готовому решению) (3мин.):

• Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции

, касательной к графику в точке с абсциссой и осью (слайд 19):

2)

А дальше вместе решаем (10 мин.):

• Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции и касательной, проведённой к графику функции в точке с абсциссой (слайд 20):

2)

Следующая задача выглядит так (8 мин):

• Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

f(x), f(x) и F(x),проходящей через точку (2;4), если f(x)=2x (слайд 21):

1)

2);

;

1. Дополнительно предлагаются такие задачи:

• При каком значении графики функций и ограничивают фигуру с площадью 9?

• Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функций

и графиком её первообразной, проходящей через точку М (1;1).

(если понадобится, слайд 22)

1. Итог урока. Домашнее задание (2 мин.).

Придумать фигуру, используя известные формулы графиков функций, изобразить

её и найти площадь полученной фигуры.

Как пример-слайд 23.

1. Список литературы:

Алимов Ш.А.

Алгебра и начала анализа 10-11.

Учебник. Просвещение.2012

Ядренко М.И., Дороговцев А.Я.

Варианты экзаменационных заданий по математике.

Справочное пособие. Киев «Вища школа». 1983

2

Урок алгебры и начал анализа в 11 классе по учебнику Алимова Ш.А. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛА

Учитель математики МОУ СОШ №15 г.Тверь Рожкова Л.М

ПРОВЕРЯЕМ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

S=?

ПРОВЕРЯЕМ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Доказать, что площади фигур, ограниченные и отрезками и , равны.

ПРОВЕРЯЕМ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

S=?

или

ПРОВЕРЯЕМ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

S=?

Найти площадь выделенной фигуры

Найти площадь выделенной фигуры

Найти площадь выделенной фигуры

Найти площадь выделенной фигуры

Найти площадь выделенной фигуры

Найти площадь выделенной фигуры

, ось Ох

S=?

S=?

ось Оу

S=?

S=?

S=?

Прямая х=4 делит фигуру на две части. Равны ли их площади?

Используя геометрическую интерпретацию, вычислите интегралы:

касательная в точке ,

ось Оу

S=?

1)

2)

3)

касательная к в точке

S=?

, проходящей через точку

S=?

Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функции и её первообразной, проходящей через точку .

M(1;1).

S=?

Список литературы

Алимов Ш.А.

Алгебра и начала анализа 10-11.

Учебник. Просвещение.2012

Ядренко М.И., Дороговцев А.Я.

Варианты экзаменационных заданий по математике.

Справочное пособие. Киев «Вища школа». 1983