Конспект урока по алгебре и началам анализа «Определенный интеграл. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»

Тема урока: «Определенный интеграл. Вычисление площадей плоских фигур

с помощью определенного интеграла»

Цель урока: научить учащихся находить площади плоских фигур с помощью определённого интеграла.

Задачи:

Образовательные:

- выявить незаменимую роль первообразной и интеграла в решении многих задач науки и практики;

- формировать знания и умения  учащихся в области применения первообразной и интеграла;

- способствовать формированию умения составлять математические модели реальных ситуаций.

Воспитательные:

- способствовать воспитанию творческой активности учащихся;

- формировать ответственное и добросовестное  отношение к порученным обязанностям;

- формировать умения работать в коллективе, принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях;

- воспитать культуру делового общения.

Развивающие:

- способствовать развитию познавательных интересов учащихся;

- развивать навыки коллективной и самостоятельной работы;

- содействовать развитию мышления, самостоятельности, наблюдательности, творческих способностей.

Технологии: технология проблемного обучения, технология обучения в сотрудничестве.

Методы обучения: проблемный, частично-поисковый.

Ход урока

Конфуций говорил: «Три пути ведут к знанию: путь размышления – это путь самый благородный, путь подражания – это путь самый лёгкий и путь опыта – это путь самый горький».

Вам самим предстоит выбрать свой путь, а моя задача помочь продвигаться вам по этому пути.

Итак, в путь….

Повторение изученного материала:

Работа с учебником: № 49. 3 (г), 49.5 (г)

Одной из задач, которую мы ставим с вами на каждом уроке, успешное прохождение итоговой аттестации в форме ЕГЭ.

На занятии по подготовке к ЕГЭ мы уже разобрали два основных типа заданий по теме «Первообразная» (на распечатках это задания под номерами 4,5, их я вам подобрала для закрепления, их необходимо будет решить дома самостоятельно к следующему занятию по подготовке к ЕГЭ)

Подготовка к ЕГЭ

1. B 8.

На рисунке изображён график функции .

Функция  — одна из первообразных функции .

Найдите площадь закрашенной фигуры.

1. B 8.  

На рисунке изображён график некоторой функции . Функ­ция  — одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение.

Най­дем фор­му­лу, за­да­ю­щую функ­цию гра­фик ко­то­рой изоб­ражён на ри­сун­ке.

Сле­до­ва­тель­но, гра­фик функ­ции по­лу­чен сдви­гом гра­фи­ка функ­ции на еди­ниц влево вдоль оси абс­цисс. По­это­му ис­ко­мая пло­щадь фи­гу­ры равна пло­ща­ди фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции и от­рез­ком оси абс­цисс. Имеем:

Ответ: 4.

Еще не­сколь­ко спо­со­бов рас­суж­де­ний по­ка­жем на при­ме­ре сле­ду­ю­щей за­да­чи.

Ответ: 4

1. B 8.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик не­ко­то­рой функ­ции Поль­зу­ясь ри­сун­ком, вы­чис­ли­те опре­де­лен­ный ин­те­грал

1. B 8.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции  — одной из пер­во­об­раз­ных не­ко­то­рой функ­ции , опре­делённой на ин­тер­ва­ле . Поль­зу­ясь ри­сун­ком, опре­де­ли­те ко­ли­че­ство ре­ше­ний урав­не­ния на от­рез­ке .

1.  В8.

 На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик не­ко­то­рой функ­ции (два луча с общей на­чаль­ной точ­кой). Поль­зу­ясь ри­сун­ком, вы­чис­ли­те , где  — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции .

Изучение нового материала:Ре­ше­ние.

И.В.Гете говорил: «Каждый слышит только то, что понимает»

Изучая геометрию Евклида, мы научились вычислять площади многих фигур (прямоугольник, квадрат, трапеция, ромб, …, находить площади сложных фигур как сумму или разность их частей), но не любой.

Нам необходим новый метод вычисления площадей плоских фигур. Это вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.

Основные случаи расположения плоской фигуры и соответствующие формулы площадей (презентация)

1. Фигура ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной функции , осью абсцисс и прямыми .

1. Фигура ограниченная графиком непрерывной и неположительной функции , осью абсцисс и прямыми .

1. Фигура ограниченная графиками двух непрерывных функций и на и прямыми , где .

4. Фигура ограниченная графиками двух и более непрерывных функций на .

С учетом проделанной работы, сформулируем и запишем алгоритм решения задач по теме урока.

Алгоритм:

1. Определяем границы плоской фигуры.

2. Если границы не указаны, то находим их, решая уравнение f(x) =0 или f(x)=g(х).

3. Строим график функции (функций).

4. Записываем формулу Ньютона-Лейбница.

5. Находим первообразную функции.

6. Вычисляем значение по формуле.

Закрепление изученного материала:

Отработка алгоритма:

1. Дано: , х=-1, х=2, у=0.

Найти: S_тр.

Решение: Построим график и выделим площадь, которую необходимо найти.

S =

= 3 + 3 = 6 (кв.ед.)

Ответ: S = 6 кв.ед.

2)

Дано: y = x², y = x + 2.

Найти: S_тр.

Работа в парах.

Задание: вычислите площадь заштрихованной фигуры.

Карточка для пары №1

Карточка для пары №2

Карточка для пары №3

Карточка для пары №4

Подведение итогов урока:

Отметить положительные моменты урока, отметить недостатки. Прокомментировать оценки.

Рефлексия:

Мне сегодня на уроке понравилось….

Я сегодня испытывал затруднение в ……

Мне сегодня было интересно узнать о….

Мне сегодня было легко…..

Мне сегодня было трудно….Опре­де­лен­ный ин­те­грал от функ­ции по от­рез­ку дает зна­че­ние пло­ща­ди под­гра­фи­ка функ­ции на от­рез­ке. Об­ласть под гра­фи­ком раз­би­ва­ет­ся на пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, пло­щадь ко­то­ро­го и пря­мо­уголь­ник, пло­щадь ко­то­ро­го Сумма этих пло­ща­дей дает ис­ко­мый ин­те­грал

Ответ:12.

Ответ: 12

Домашнее задание:

Н. И. Лобачевский говорил: «Математика – язык, на котором говорят все точные науки».

Найти в сети Интернет, в каких дисциплинах и какие величины можно вычислить с помощью определенного интеграла.

П.49, №49.1- 49.4 (а)