kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Урок по теме "Элементы комбинаторики"

Нажмите, чтобы узнать подробности

Урок математики в 9 классе  по теме "Элементы комбинаторики: перестановки". В  презентации дано определение перестановки из n-элементов  и подробно разобран алгоритм решения задач на нахождениечисла перестановок из n-элементов. Приведены примеры для самостоятельного решения с использованием формулы перестановки.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Урок по теме "Элементы комбинаторики"»

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. ПЕРЕСТАНОВКИ

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ.

ПЕРЕСТАНОВКИ

План занятия

План занятия

  • Перестановки (определение).
  • Формула числа перестановок из n элементов.
  • Факториал.
  • Решение задач.
Определение          Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества, являются перестановки .

Определение

Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества, являются перестановки .

Пример.   Пусть имеются три книги. Обозначим их буквами  a , b и с. Эти книги можно расставить на полке по-разному.  Если первой поставить книгу a , то возможны такие расположения книг: abc , acb .  Если первой поставить книгу b , то возможными являются такие расположения: bac, bca .  И наконец, если первой поставить книгу с, то получим такие расположения: cab , cba .     Каждое из этих расположений называют   перестановкой из трёх элементов.

Пример.

Пусть имеются три книги. Обозначим их буквами a , b и с. Эти книги можно расставить на полке по-разному. Если первой поставить книгу a , то возможны такие расположения книг: abc , acb . Если первой поставить книгу b , то возможными являются такие расположения: bac, bca . И наконец, если первой поставить книгу с, то получим такие расположения: cab , cba . Каждое из этих расположений называют перестановкой из трёх элементов.

Определение     Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определённом порядке.  Число перестановок из n элементов обозначают символом   (читается «Р из n »).

Определение Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определённом порядке. Число перестановок из n элементов обозначают символом (читается «Р из n »).

Пусть мы имеем n элементов.  На первое место можно поставить любой из них. Для каждого выбора первого элемента на второе место можно поставить один из оставшихся n -1 элементов. Для каждого выбора первых двух элементов на третье место можно поставить один из оставшихся  n -2 элементов и т.д. В результате получим, что    Р n = n ( n - 1) ( n – 2) … 3 ·2·1 = n !  (читается « n факториал»).  Например, 2!= 2 ·1=2 ; 5!= 5 ·4·3·2·1= 120.  По определению считают, что 1!=1.

Пусть мы имеем n элементов.

  • На первое место можно поставить любой из них.
  • Для каждого выбора первого элемента на второе место можно поставить один из оставшихся n -1 элементов.
  • Для каждого выбора первых двух элементов на третье место можно поставить один из оставшихся

n -2 элементов и т.д.

  • В результате получим, что

Р n = n ( n - 1) ( n – 2) … 3 ·2·1 = n !

(читается « n факториал»).

Например, 2!= 2 ·1=2 ; 5!= 5 ·4·3·2·1= 120.

По определению считают, что 1!=1.

Таким образом, число всевозможных перестановок из  n элементов вычисляется по формуле:   = n != 1 · 2 · 3 · … · ( n-2)(n-1)n

Таким образом, число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле: = n != 1 · 2 · 3 · … · ( n-2)(n-1)n

Пример 1.  Сколькими способами могут быть расставлены 8 участников финального забега на восьми беговых дорожках?

Пример 1.

Сколькими способами могут быть расставлены 8 участников финального забега на восьми беговых дорожках?

Решение.

Решение.

  • Число способов равно числу перестановок из 8 элементов.
  • По формуле числа перестановок находим, что P 8 =8!=1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 ·8 = 40 320.
  • Значит, существует 40 320 способов расстановки участников забега на восьми беговых дорожках.
Пример 2.  Сколько различных четырёхзначных чисел,  в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6?

Пример 2.

Сколько различных четырёхзначных чисел,

в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6?

Решение.  Из цифр 0, 2, 4, 6 можно получить Р 4 перестановок. Из этого числа надо исключить те перестановки, которые начинаются с 0, так как натуральное число не может начинаться с цифры 0. Число таких перестановок равно Р 3. Значит, искомое число четырёхзначных чисел (без повторения цифр), которые можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, равно  Р 4 - Р 3 = 4! – 3! = 24 – 6 = 18.

Решение.

Из цифр 0, 2, 4, 6 можно получить Р 4 перестановок. Из этого числа надо исключить те перестановки, которые начинаются с 0, так как натуральное число не может начинаться с цифры 0. Число таких перестановок равно Р 3. Значит, искомое число четырёхзначных чисел (без повторения цифр), которые можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, равно

Р 4 - Р 3 = 4! – 3! = 24 – 6 = 18.

Пример3.  Имеется девять различных книг, четыре из которых – учебники.  Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?

Пример3.

Имеется девять различных книг, четыре из которых – учебники.

Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?

Решение.  Сначала будем рассматривать учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не девять, а шесть книг. Это можно сделать Р 6 способами. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р 4 перестановок учебников. Значит, искомое число способов расположения книг на полке равно произведению Р 6 · Р 4. Получаем:  Р 6 · Р 4 = 6! · 4! = = 17 280.

Решение.

Сначала будем рассматривать учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не девять, а шесть книг. Это можно сделать Р 6 способами. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р 4 перестановок учебников. Значит, искомое число способов расположения книг на полке равно произведению Р 6 · Р 4. Получаем:

Р 6 · Р 4 = 6! · 4! = = 17 280.

Задачи на закрепление пройденного материала.

Задачи на закрепление пройденного материала.

  • Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу: 1) 3 человека; 2) 5 человек?
  • Сколько существует вариантов рассаживания вокруг стола: 1) 6 гостей на 6 стульях; 2) 7 гостей на 7 стульях?
  • Сколькими способами можно с помощью букв K, L, M и N обозначить вершины четырехугольника?
  • Сколько различных пятизначных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 4, 5, 6, 7 и 8?
  • Сколькими способами можно расставить на полке 8 книг, среди которых 2 книги одного автора, которые при любых перестановках должны стоять рядом?
  • В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, биология, история, физкультура, химия. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли рядом?
Вычислить:

Вычислить:


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 9 класс

Скачать
Урок по теме "Элементы комбинаторики"

Автор: Сакунова Ирина Владимировна

Дата: 05.04.2016

Номер свидетельства: 315215

Похожие файлы

object(ArrayObject)#853 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(182) "Методическая разработка для проведения промежуточной аттестации по теме "Элементы комбинаторики" "
    ["seo_title"] => string(111) "mietodichieskaia-razrabotka-dlia-proviedieniia-promiezhutochnoi-attiestatsii-po-tiemie-eliemienty-kombinatoriki"
    ["file_id"] => string(6) "228112"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "testi"
    ["date"] => string(10) "1441116702"
  }
}
object(ArrayObject)#875 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(108) "Контрольная работа по теме Элементы комбинаторики, 11 класс"
    ["seo_title"] => string(63) "kontrol_naia_rabota_po_tiemie_eliemienty_kombinatoriki_11_klass"
    ["file_id"] => string(6) "464520"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "testi"
    ["date"] => string(10) "1522578449"
  }
}
object(ArrayObject)#853 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(251) "Методическая разработка учебного занятия Тема Элементы комбинаторики. Дисциплина ОУД.04 Математика Специальность 34.02.01 Сестринское дело"
    ["seo_title"] => string(80) "metodicheskaia_razrabotka_uchebnogo_zaniatiia_tema_elementy_kombinatoriki_distsi"
    ["file_id"] => string(6) "640695"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1700994916"
  }
}
object(ArrayObject)#875 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(87) "Проектная деятельность по теме "Комбинаторика" "
    ["seo_title"] => string(50) "proiektnaia-dieiatiel-nost-po-tiemie-kombinatorika"
    ["file_id"] => string(6) "223426"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1437662410"
  }
}
object(ArrayObject)#853 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(144) "Конспект урока алгебры в 11 классе Комбинаторика. Правило суммы и произведения."
    ["seo_title"] => string(78) "konspekt_uroka_algebry_v_11_klasse_kombinatorika_pravilo_summy_i_proizvedeniia"
    ["file_id"] => string(6) "587987"
    ["category_seo"] => string(7) "algebra"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1633340937"
  }
}


Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

Распродажа видеоуроков!
1750 руб.
2500 руб.
1680 руб.
2400 руб.
1850 руб.
2640 руб.
1580 руб.
2260 руб.
ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Проверка свидетельства