Проектная деятельность по теме "Комбинаторика"

Урок по математике в 5 классе

МБОУ СОШ села Бикмурзино

Мастер-класс для учителей математики Неверкинского района

Тема: Проектная деятельность по теме «Комбинаторика» (Перебор возможных вариантов, правило умножения)

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Цели:

• Обобщить, систематизировать и закрепить знания учащихся по отдельной теме комбинаторики.

• Развивать логическое мышление, внимание, исследовательские умения, речь.

• Воспитывать владение интеллектуальными умениями и мыслительными операциями.

Программное обеспечение: мультимедийный проектор, компьютер.

Методическое обеспечение: презентации.

Ход урока:

1. Организационный момент.

(Ознакомить с темой урока с целью)

1. Минутка повторения:

-Комбинаторика – это? ( раздел математики, в котором

изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций можно составить)

- Назовите методы решения комбинаторных задач.

(перебор возможных вариантов, один из способов – построение дерева возможных вариантов, метод умножения)

- Что называется «эн факториалом» ? ( произведение чисел от 1 до n)

1. Разминка (устный счет):

Игра « Пчелка»

1,2	2,4	3,6
4,3	5,8	6,2
7,5	8,6	9,7

-Пчелка сидит на крайней левой клетке, она перелетела на одну клетку вправо, на две клетки вниз. Задача - сложить числа тех квадратов, на которые перелетает пчелка. (1,2+2,4+8,6=12,2) .

- Пчелка сидит на крайней правой клетке, она перелетела на две клетки в лево, на одну клетку вниз. Задача – сложить числа тех квадратов, на которые перелетает пчелка. ( 3,6+1,2+4,3=9,1)

Задачка:

В клетки таблицы по некоторому правилу записали несколько чисел. Определить, что за правило и заполнить две последние клетки таблицы.

2

7

4

9

6

11

8

?

?

Ответ: 13,10(-5 ; +3)

Задачка:

Требуется определить арифметическое действие, с помощью которого с двух крайних чисел получено среднее, вместо знака «?» вставить пропущенное число.

а) 42 (47) 5 б) 36 (25) 11 в) 6 (66) 11 г) 48 (4) 12

31 (?) 8 48 (?) 12 5 (?) 12 100 (?) 5

Ответ: а) сложение, 39; б) вычитание, 36; в) умножение, 60; г) деление, 20.

4.Актуализация знаний.

Сегодня мы с вами будем решать задачи на изученные правила по комбинаторике, выполним самостоятельную работу, а также творческую. Познакомим наших гостей с нашим проектом, как мы его создавали и небольшим результатом этого проекта. Но это все потом. А сейчас мы с вами отправимся в путешествие по задачам комбинаторики.

Задача 1. Наверное, вы знаете фильм «Кин-дза-дза». Жители планеты Кин-дза-дза обходились для всех случаев одним словом «ку». А если бы алфавит у них состоял из двух букв К и У, то сколько слов было бы у них в словаре, при условии, что буквы в слове могут повторяться, и слова состоят только из двух букв?

Решение: Можно составить слова: «Ку», «Кк», «Уу», «Ук».

Задача 2. У жителей планеты АХО в алфавите три буквы: А,О,Х. Слова в языке состоят из трех букв. Какое наибольшее количество слов может быть в словаре жителей этой планеты?

Решение: «Аох», «Ахо», «Оах», «Оха», «Хао», «Хоа».

Вывод учителя: В этих задачах нам пришлось перебрать все возможные варианты, или, как обычно говорят в таких случаях – все возможные комбинации. Поэтому подобные задачи называют комбинаторными.

1. Творческая работа учащихся.

Я вам раздам цветные полоски: белую, синюю и красную. Составьте их них флаг Российской Федерации.

-Что означает каждый цвет нашего флага? ( белый – мир, чистота, совершенство; синий – цвет веры и верности; красный – энергия, сила, кровь, пролитую за Отечество.)

Поменяйте местами полоски и приклейте к листу. Оказывается, не только флаг РФ имеет три цвета. Есть государства, где также флаги с такими цветами. Уважаемые гости, назовите пожалуйста страны у которых встречаются эти цвета? Это страны Европы.

Нидерланды Франция Югославия

Видим, что от перестановок цветных полосок, можно получить другой флаг. Как подсчитать, сколько таких флагов мы можем составить из трех цветных полосок?

Решение этой задачи можно записать двумя способами:

1. Перебор возможных вариантов:

КБС КСБ

БСК БКС

СБК СКБ

1. Дерево вариантов:

красный белый синий

Б С С К Б К

Найдем правило решения таких задач путем логического рассуждения.

Разберем на примере цветных полосок. Возьмем белую полоску – её можно переставить 3 раза, возьмем синюю полоску – её можно переставить только 2 раза, т.к. одно из мест уже занято белой, возьмем красную полоску – её можно положить только 1 раз.

ИТОГО: 3 х 2 х 1=6

Основное правило: Правило умножения: если первый элемент в комбинации можно выбрать а способами, после чего второй элемент – b способами, то общее число комбинаций будет равно а х b.

Оказывается, такие задачи могут нам встретиться в любом предмете. Например в литературе.

Возьмем произведение русского писателя, баснописца, журналиста Ивана Андреевича Крылова – «Квартет».

Проказница-Мартышка, Осёл, Козёл

Да косолапый Мишка

Затеяли сыграть Квартет.

Достали нот, баса, альта, две скрипки

И сели на лужок под липки, —

Пленять своим искусством свет.

Ударили в смычки, дерут, а толку нет.

«Стой, братцы, стой! — кричит Мартышка. —

Погодите!

Как музыке идти? Ведь вы не так сидите.

Ты с басом, Мишенька, садись против альта,

Я, прямо, сяду против фторы;

Тогда пойдет уж музыка не та:

У нас запляшут лес и горы!»

Расселись, начали Квартет;

Он все-таки на лад нейдёт.

«Постойте ж, я сыскал секрет? —Кричит Осёл,

— мы, верно, уж поладим, коль рядом сядем».

Послушались Осла: уселись чинно в ряд;

А все-таки Квартет нейдёт на лад.

Вот пуще прежнего пошли у них разборы

И споры, кому и как сидеть.

Случилось Соловью на шум их прилететь.

Тут с просьбой все к нему, чтоб их решить сомненье.

«Пожалуй, — говорят, — возьми на час терпенье,

Чтобы Квартет в порядок наш привесть:

И ноты есть у нас, и инструменты есть,

Скажи лишь, как нам сесть!» —

«Чтоб музыкантом быть, так надобно уменье

И уши ваших понежней, — Им отвечает Соловей, —

А вы, друзья, как ни садитесь;

Всё в музыканты не годитесь».

- Кто участники этого музыкального коллектива? (козел, осел, мартышка,

мишка).

- Что они делали? (играли на музыкальных инструментах)

- Получалась у них музыка? (нет)

- Что они для этого делали? (пересаживались)

- Почему музыка опять не получалась? (они не умели играть)

Сколько существует различных способов посадки этих животных?

Используя правило умножения, как решить эту задачу?

Давайте рассуждать:

- Почему назвали басню «Квартет»?

(квартет – это исполнители из 4 человек)

Давайте рассуждать:

Мишка может сесть на одно из 4 мест,

Козел может сесть на одно из 3 мест,

Осел может сесть на одно из 2 мест,

Мартышка может сесть на оставшееся 1 место.

Итого: 4 х 3 х 2 х 1 х =24 варианта.

- Даже сказочные герои нам задают похожие задачи.

В некотором царстве, в некотором государстве жил-был Иван-царевич. Пошел он Василису Прекрасную спасать. Дошел он до Кикиморы. От Кикиморы до Бабы Яги три дорожки ведут, а от Бабы Яги до Кощея – две.

Вопрос: Сколько вариантов есть у Ивана – царевича, чтобы дойти до Кощея?

Решение: 3 х 2 = 6

1. Физкультминутка для глаз.

1. Формирование умений и навыков.

А теперь перейдем к математическим задачам.

Задача 1. Сколько двузначных чисел можно составить,

используя цифры 1,4 и 7?

Решим задачу двумя способами – это построим дерево вариантов и с помощью правила умножения.

Полученные числа: 11, 14, 17, 41, 44, 47, 71, 74, 77.

На первое место цифру можно выбрать тремя способами, после чего на второе место – тоже тремя способами. Значит всего таких чисел по правилу умножения будет 3 х 3 = 9.

Задача 2. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 9, 7 и 0 ?

Попробуйте самостоятельно построить дерево возможных вариантов.

Сколько чисел получилось?

Полученные числа: 99, 97, 90, 79, 77, 70

Вывод: на первое место цифру можно выбрать двумя способами, кроме нуля, после чего на второе место – тремя способами. Значит всего таких чисел по правилу умножения будет 2 х 3 = 6

1. Самостоятельная работа учащихся.

Задания для самостоятельной работы сформулированы по принципу тестов. (240, 600)

1-й вариант

В розыгрыше первенства страны по футболу принимает участие 16 команд. Сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряные медали?

Выберите букву правильного ответа.

а) 256 б) 31 в) 240 г) 16

2 вариант

В классе 25 учащихся, сколькими способами можно выбрать старосту класса и его заместителя ?

Выберите букву правильного ответа.

а) 25 б) 600 в) 49 г) 625

Переходим к проектной деятельности.

1. Итог урока

2. Оценивание учащихся.

3. Домашнее задание: составить задачу о своем классе

Проект

«Заряжай мозги!»

Учитель математики

МОУ СОШ села Бикмурзино

Неверкинского района

Пензенской области

Николаева Наталия Владимировна

Исследование данной работы лежит в области математики и посвящена одному из ее разделов – комбинаторике.

Авторы проекта: учитель математики МОУ СОШ с.Бикмурзино –

Николаева Наталия Владимировна

учащиеся 5 класса

Творческое название проекта: «Заряжай мозги!»

Тема в учебном плане: Общая тема: Элементы комбинаторики.

Она включает в себя несколько учебных тем, в

частности: перебор возможных вариантов

правило умножения.

Дидактические цели учебного проекта:

• Формировать грамотности в сфере элементарной комбинаторики.

• Приобретение навыков самостоятельной работы с информационными ресурсами.

• Формирование навыков коллективной работы.

• Развитие творческих способностей.

• Создание методички по комбинаторике в 5 классе «Заряжай мозги!»

Основополагающие и проблемные вопросы учебного проекта.

Основополагающий вопрос: Нужна ли в нашей жизни комбинаторика?

Вопросы учебной темы (проблемные):

Где применяется комбинаторика?

-Составление своих задач по комбинаторике.

Самостоятельные исследования учащихся в рамках учебного проекта.

• История комбинаторики..

• Просмотр различных задач по комбинаторике в учебнике 5 класса

• Составление своих задач с различными способами решения.

• Создание методички «Заряжай мозги!»

Предметные области:

• Литература.

• География.

• История.

• Информационные технологии.

Актуальность исследования состоит в том, что с развитием компьютерной техники применение комбинаторных методов все больше используется в экономике, лингвистике и при разработке методов защиты информации.

Социальная значимость проекта заключается в популяризации среди учащихся данного раздела математики.

Практическая значимость проекта состоит в том, что составленная методичка может успешно применятся при изучении темы, для проверки знаний по комбинаторике учащихся 5 класса и развитию логического мышления детей.

Предмет исследования – перебор возможных вариантов и правило умножения для решения определенного класса задач по комбинаторике.

Гипотеза исследования заключается в недостаточном количестве материала для изучения учащимися 5 класса раздела под названием «Комбинаторика»

Для подтверждения выдвинутой гипотезы были поставлены следующие задачи:

• Изучить историю комбинаторики.

• Разобрать методы решения комбинаторных задач с

использованием некоторых правил комбинаторики.

• Выбрать задачи с помощью описанных правил.

• Решить отобранные задачи.

• Составление своих задач.

• Создание методички «Заряжай мозги!»

Краткая аннотация проекта:

Проект предназначен для изучения темы «Комбинаторика» в 5 классе. Материал направлен на активизацию исследовательской деятельности учащихся. Возможность выбора индивидуальных заданий позволяет поддерживать интерес к решению задач учащимися с разными способностями. Работа над проектом даст в дальнейшем возможность принять участие в конференции, способствует развитию навыков самостоятельной экспериментальной деятельности и навыков коллективной работы. Проект предполагает творческое освоения ребятами ряда учебных тем, а именно: применение комбинаторики. В рамках проекта часть уроков отводится под обсуждение в классе основных теоретических положений в рамках учебных тем с использованием методических материалов учителя. Ожидается, что самостоятельная работа по проектному методу позволит заинтересовать ребят, в результате чего они лучше овладеют основными теоретическими положениями учебных тем и разовьют в себе исследовательские навыки.

Продолжительность работы над проектом

4 урока по 45 минут и 6 часов домашней работы

Работы учащихся

Составленные учащимися задачи (красочно оформленные, с решениями)

Критерии оценивания работ учащихся:

• Оценивается активность участников исследования.

• Контроль знаний посредством опросов, тестов.

• Оценивается итоговое творческое задание.