Методическая разработка учебного занятия Тема Элементы комбинаторики. Дисциплина ОУД.04 Математика Специальность 34.02.01 Сестринское дело

Министерство здравоохранения Московской области

Государственное бюджетное профессиональное образовательное

учреждение Московской области

«Московский областной медицинский колледж № 1»

Сергиево-Посадский филиал

Методическая разработка учебного занятия

Тема Элементы комбинаторики.

Дисциплина ОУД.04 Математика

Специальность 34.02.01 Сестринское дело

форма обучения – очная

Подготовил:

Преподаватель Крылова И.К.

2023г.

Тема Элементы комбинаторики.

Тип занятия: Урок «открытия нового знания», и первичного закрепления знаний и способов действий.

Вид занятия – теоретическое

Форма занятия - комбинированный урок

Цели занятия изучить:

1. Основные понятия комбинаторики.

2. Правила комбинаторики. Размещения, перестановки, сочетания.

3. История развития комбинаторики. Комбинаторика в медицине.

Задачи:

Образовательные:

- формирование знаний по основным понятиям комбинаторики: размещения из n элементов по m, сочетания из n элементов по m, перестановки из n элементов;

- формирование умений и навыков вычисления значений комбинаторных выражений по формулам, решения простейших комбинаторных задач и уравнений.

Развивающие:

- развитие концентрации, устойчивости и переключения внимания, абстрактно - логического мышления, самостоятельности мышления;

- создать условия для развития у обучающихся умения формулировать проблемы, предлагать пути их решения;

- развивать интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность обучающихся, математическую речь, память, внимание; вырабатывать самостоятельность в освоении новых знаний;

- развивать навыки самоконтроля.

Воспитательные:

- воспитание интереса к дисциплине, честности, аккуратности, эстетического отношения к оформлению математических решений;

- приучать к умению общаться и выслушивать других.

Формируемые результаты

Предметные:

Знают: понятие комбинаторики, элементы комбинаторики.

Умеют: организовывать поиск, сбор и получение информации о элементах комбинаторики; решать разного вида комбинаторные задачи.

Личностные: формировать целостное мировоззрение, соответствующее современному уровню развития науки и общественной практики.

Метапредметные: формировать умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни.

Методы обучения: учебно - дидактический, создание проблемной ситуации.

Формы организации труда: фронтальная, индивидуальная работа.

Оборудование и материалы к занятию:

-оборудование и приборы для демонстраций: мультимедиа проектор, экран, презентация;

- дидактические материалы, лекционный материал;

- программное обеспечение: РП ОУД.04, КТП ОУД.04.

Учебная литература:

1) Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учеб. Для общеобразоват. организаций: базовый уровень /Ш.А. Алимов и др. – 19-е изд. – М.: Просвещение.

2) Интернет-ресурсы

https://urok.1sept.ru/articles/416112

План:

I. Организационный момент.

II. Актуализация опорных знаний

Проверка домашнего задания. (Фронтальная проверка решения письменного задания).

III. Изучение нового материала.

1. Понятие комбинаторики

2. Правила сложения и умножения в комбинаторике

3. Основные формулы комбинаторики

1) Перестановки

2) Размещения

3) Сочетания и их свойства.

IV. Итог. Ответы на вопросы.

V. Домашнее задание.

Ход занятия

I. Организационный момент.

Эмоциональный настрой и готовность преподавателя и обучающихся на урок. Сообщение темы занятия. Целеполагание на занятие совместно с обучающимися, обсуждение и постановка задач.

II. Актуализация опорных знаний

Проверка домашнего задания. (Фронтальная проверка решения письменного задания).

1) Повторите теоретический материал – учебник стр.3-21, стр.34-50.

2) Выполните в тетради письменно решение задач: учебник стр. 58 №207

III. Изучение нового материала.

1. Понятие комбинаторики

1) Доклады 2-х студентов. (Темы доклада даны по желанию студентов и заранее в качестве домашнего задания).

2) Объяснение преподавателя.

Группы, составленные из каких - либо элементов, называются соединениями.

Задачи, в которых производится подсчет возможных различных соединений, составленных из конечного числа элементов по некоторому правилу, называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся их решением, - комбинаторикой.

Различают три вида соединений: размещения, перестановки и сочетания.

Рассмотрим эти три основных вида соединений и формулы вычисления их количества. Для этого сначала рассмотрим 2 задачи, которые помогут нам сосредоточиться на сути новых понятий.

Создание проблемной ситуации (Преподаватель дает студентам под запись тексты двух задач):

Задача 1. В некотором учреждении имеются две различные вакантные должности, на каждую из которых претендуют три сотрудника: A, B, C. Сколькими способами из этих трех кандидатов можно выбрать два лица на эти должности?

Задача 2. Для участия в соревнованиях требуется выбрать двоих спортсменов из трех кандидатов: A, B, C. Сколькими способами можно осуществить этот выбор?

Студентам предлагается два проблемных задания:

1) установить различие между этими двумя внешне схожими задачами и

2) предположить, в какой задаче результат будет больше, и почему. После этого предлагается решить эти задачи методом перебора всевозможных вариантов.

Решение задачи 1: AB, BA, BC, CB, AC, CA (всего шесть способов).

Решение задачи 2: AB, BC, AC (всего три способа).

Преподаватель обращает внимание студентов на то, что эти задачи оказались похожими только внешне, из - за того, что в обеих присутствуют два числа: n = 3 – общее количество элементов и m = 2 – количество выбранных элементов. Но в первой задаче составляются упорядоченные соединения, тогда как во второй задаче порядок следования элементов в соединении не имеет значения.

2. Правила сложения и умножения в комбинаторике

1. Правило суммы.

Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m-способами, а действие В – n-способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m-способами.

Пример 1.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?

Решение: Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.

По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.

Ответ: 26 способов

2. Правило произведения.

Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие n2 способами, третье – n3 способами и так до k-го действия, которое можно выполнить nk способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:

Пример 2.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?

Решение

Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16 + 10 = 26 способами.

После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.

По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами

Ответ: 650 способов.

3. Основные формулы комбинаторики

1) Перестановки

1. Теоретическое восприятие (формирование знаний и умений)

Пусть имеется n различных объектов.

Будем переставлять их всеми возможными способами (число объектов остается неизменными, меняется только их порядок). Получившиеся комбинации называются перестановками, а их число равно

Говорят: произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут n! = 1 · 2 · 3 · ... · (n – 1) · n.

Символ n! называется факториалом

Свойства: 0! =1, 1! =1

Пример 1. Вычислить: а) 3!; б) 7! – 5!

а) 3! = 3∙2∙1= 6

б) 7! – 5! = 7∙6∙5∙4∙3∙2∙1 - 5∙4∙3∙2∙1 = 42 ∙ 5∙4∙3∙2∙1 - 5∙4∙3∙2∙1 = 5∙4∙3∙2∙1 ∙ (42-1) = 41 ∙ 120 = 4920

Пример 2. Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова «брак»?

Решение: Генеральной совокупностью являются 4 буквы слова «брак» (б, р, а, к). Число «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е.

Ответ: 24 слова

2. Практическое применение (формирование навыков решения задач на Правило произведения и формулу перестановок)

Задача № 1 (о квартете). В знаменитой басне Крылова «Квартет» «Проказница мартышка, Осел, Козел да косолапый Мишка» исследовали влияние взаимного расположения музыкантов на качество исполнения.

Зададим вопрос: Сколько существует способов, чтобы рассадить четырех музыкантов?

Решение: Всего 4 места и 4 музыканта. На первое место - 4 способа посадки музыкантов, на второе место - 3, на третье место - 2 и на четвертое - 1, то есть 4*2*3*1=24 способа.

Ответ: 24 способа

Задачи по учебнику

1) стр. 318 № 1043 (2.3,5)

2) стр. 321-322 № 1060, № 1065 (2,3,5); № 1066 (2,3)

2) Размещения

1. Теоретическое восприятие (формирование знаний и умений).

Пусть имеется n различных объектов.

Будем выбирать из них m объектов и переставлять всеми возможными способами между собой (то есть меняется и состав выбранных объектов, и их порядок). Получившиеся комбинации называются размещениями из n объектов по m, а их число равно

Размещения учитывают порядок следования предметов. Так, например, наборы и являются различными, хотя состоят из одних и тех же элементов {1,2,3}

Пример 3. В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

Решение. В данной задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:

Ответ: 11880 способа

2. Практическое применение (формирование навыков решения задач на размещения)

Решение задач по учебнику

Учебник стр.325 №1072(1,2,3,4,5), № 1073(1), № 1075(1), №1076(1,4)

3) Сочетания и их свойства

1. Теоретическое восприятие (формирование знаний и умений).

Пусть имеется n различных объектов.

Б удем выбирать из них m объектов все возможными способами (то есть меняется состав выбранных объектов, но порядок не важен). Получившиеся комбинации называются сочетаниями из n объектов по m, а их число равно

Пример 4. Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Р ешение: Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:

Ответ: 210 способов

Важно: 1) Сочетаний всегда меньше чем размещений (так как при размещениях порядок важен, а для сочетаний – нет.

2) При решении задач подсчет количества комбинаций производят исходя из смысла задачи.

Для решения задач можно использовать дополнительную формулу:

Свойства - учебник стр. 328 (запишем в тетрадь)

Пример учебник стр. 328 (разбор задачи 3)

2. Практическое применение (формирование навыков решения задач на сочетания и их свойства)

Решение задач по учебнику

Учебник стр. 329 №1080(5,10,15); №1085(1); № 1090(1,5).

IV. Итог. Ответы на вопросы. Рефлексия.

V. Домашнее задание. Решение задач:

1) стр. 318 № 1043 (1,4,6), №1051, № 1062, №1065(1,4,6,8)

2) стр.325 №1072(6,7,8), № 1073(2), №1076(2,3),

3) стр. 329 №1080(1,2,3,4), №1081.

1