Конспект урока алгебры в 11 классе Комбинаторика. Правило суммы и произведения.

11 класс Урок№ Дата_________________

Комбинаторика. Правило суммы и произведения.

Основные дидактические цели:

Обучающая: воспроизводить общие правила комбинаторики ; уметь применять теоретические знания для решения задач.

Развивающая: развивать мыслительную деятельность учащихся, основанную на операциях анализа, сравнения, обобщения, систематизации.

Воспитательная: формировать мировоззренческие взгляды учащихся, воспитывать чувство ответственности за полученный результат, чувство успеха.

Планируемые результаты:

личностные: умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры;

критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания, отличать гипотезу от факта;

метапредметные :

познавательные УУД: умение соотносить свои действия с планируемыми результатами, осуществлять контроль своей деятельности в процессе достижения результата развивать основы логического и алгоритмического мышления; расширять кругозор учащихся; учить произвольно и осознанно владеть приемами решения задач.

регулятивные УУД: определять способы действий в рамках предложенных условий и требований, формировать способность к мобилизации сил и энергии, к волевому усилию в преодолении препятствий, к осознанию уровня и качества усвоения результата.

коммуникативные УУД: учить строить высказывания, аргументировано доказывать свою точку зрения.

личностные УУД: формировать устойчивую мотивацию к изучению и закреплению учебного материала; формировать навыки самоанализа и самоконтроля, взаимоконтроля корректировать свои действия в соответствии с изменяющейся ситуацией;

предметные : знать: общие правила комбинаторики ; уметь применять теоретические знания для решения задач, иметь представление об основных понятиях, идеях и методах алгебры и математического анализа; владение методами доказательств и алгоритмов решения; умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;
Методы обучения: частично-поисковый, проблемный

Формы организации работы: фронтальная, индивидуальная

Оборудование: карандаш, линейка, тетрадь, дидактический материал (карточки-задания).

Ведущий метод обучения: словесно-информационный (рассказ), словесно-репродуктивный(опрос), практически-репродуктивный( выполнение заданий), наглядно-иллюстративный (карточки, учебник, раздаточный материал)

Ход урока

I этап: Организационно – мотивационный

Цель: Взаимное приветствие, определение отсутствующих, проверка готовности учащихся к уроку. Организация внимания - сообщение темы и цели урока.

Историческая справка

Из глубокой древности до современного человечества дошли сведения о том, что уже тогда люди занимались выбором объектов и расположения их в том или ином порядке и увлекались составлением различных комбинаций. Так, например, в Древнем Китае увлекались составлением квадратов, в которых заданные числа располагали так, что их сумма по всем горизонталям, вертикалям и главным диагоналям была одной и той же (магические квадраты или современная игра – задача “Судоку”). Такие задачи вы могли встречать в журналах и газетах. В Древней Греции подобные задачи возникали в связи c такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты и т. д.

Комбинаторика ставится самостоятельным разделом математики, по сути – самостоятельной наукой лишь во второй половине XVII века, - в период, когда возникла теория вероятностей.

Таким образом, - комбинаторика – это самостоятельный раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или условиям, можно составить из заданных объектов.

Термин “КОМБИНАТОРИКА” происходит от латинского слова “combina”, что в переводе на русский означает – “сочетать”, “соединять”.

Как трактует это слово Большой Энциклопедический Словарь?

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются простейшие “соединения”: перестановки, размещения, сочетания. Этот раздел иначе называют “комбинаторный анализ”.

Давайте вспомним известное вам из детства сказание о том, как богатырь или другой добрый молодец, доехав до развилки трех дорог, читает на камне: “Вперед поедешь – голову сложишь, направо поедешь – коня потеряешь, налево поедешь – меча лишишься”. А дальше уже говорится, как он выходит из того положения, в которое попал в результате выбора. Но выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Эти пути и варианты складываются в самые разнообразные комбинации. И целый раздел математики, именуемый КОМБИНАТОРИКОЙ, занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую.

Итак, комбинаторика – раздел математики, в котором изучается, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

II этап: Актуализация знаний

Цель: Организовать познавательную деятельность учащихся, подготовить их к усвоению нового материала.

III этап: Новый материал

Цель: Рассмотреть общие правила комбинаторики и типы соединений, способы решения задач.

При решении многих практических задач часто приходится имеющиеся предметы (элементы) соединять в разные наборы (комбинации). Например - парфюмерные наборы, конфеты, инструменты, спортивные команды. Задачи которые рассматривают такие соединения и находится число различных соединений, называют комбинаторными.

Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих заданному множеству. В каждой из них требуется подсчитать число возможных вариантов осуществления некоторого действия, ответить на вопрос «сколькими способами» Комбинаторика возникла и развивалась одновременно с теорией вероятностей. И первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр.

Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью следующих двух важных правил, называемых соответственно правилами умножения и сложения.

Общие правила комбинаторики

Правило суммы

Если некоторый объект А можно выбрать m способами, а объект В - k способами (не такими, как А), то объект либо А, либо В можно выбрать m + k способами.

Пример: В ящике имеется n разноцветных шариков. Произвольным образом вынимаем один шарик. Сколькими способами это можно сделать? Конечно, n способами.

Теперь эти n шариков распределены по двум ящикам: В первом m шариков, во втором k. Произвольно из какого-нибудь ящика вынимаем один шарик. Сколькими разными способами это можно сделать? Из первого ящика шарик можно вытянуть m различными способами, из второго k: различными способами, всего n = m + k способами.

Правило произведения

Если объект А можно выбрать m способами, а после каждого такого выбора другой объект Вможно выбрать (независимо от выбора А) k способами, то пары объектов А и В можно выбрать m·k способами.

Задача: В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать, для выполнения различных заданий, двух студентов одного пола?

По правилу умножения двух девушек можно выбрать 14 ·13 = 182 способами, а двух юношей 6·5 = 30 способами. Следует выбрать двух студентов одного пола: двух студентов или студенток. Согласно правилу сложения таких способов выбора будет 182 + 30 = 212.

Задача: Сколько можно записать двузначных чисел в десятичной системе счисления?

Поскольку число двузначное, то число десятков (m) может принимать одно из девяти значений: 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Число единиц (k) может принимать те же значения и может, кроме того быть равным нулю. Отсюда следует, что m = 9, а k= 10. Всего получим двузначных чисел n = m ·k = 9·10 =90.

Следствие

Правило произведения справедливо и для любого конечного числа объектов.

Если некоторый объект А_i (i = 1, 2, … , n) можно выбрать К_i (i = 1, 2, … , n) способами (причем, каждый следующий объект выбирается независимо от выбора предыдущего объекта), то объекты А₁, А₂, … , А_n можно выбрать k = k₁ · k₂ ·…· k_n способами.

Например, сколькими способами можно составить трехзначное число, делящееся на 5? Число имеет три позиции, каждую из которых мы назовем событием:

• событие А₁ –число сотен, их можно выбрать k₁ =9 (все цифры, кроме 0) способами;

• событие А₂ – число десятков, их можно выбрать k₂ = 10 (все цифры, включая 0) способами;

• событие А₃ – число единиц, которым удовлетворяет только две цифры: 0 и 5, следовательно, k₃ = 2. Таким образом, всего получаем n = k₁ · k₂ · k₃ = 9 · 10 · 2 = 180 чисел.

IV этап: Закрепление и проверка усвоения материала

Цель: Закрепить в памяти учащихся те знания и умения, которые необходимы им для самостоятельной работы по новому материалу. Добиться в ходе закрепления повышения уровня осмысления материала, глубины его понимания.

V Домашняя работа

VI Итог урока