Уравнения с одной переменной

Уравнение и его корни

Алгебра 7 класс

Уравнение с одной переменной

Задача.

На нижней полке в 4 раза больше книг, чем на верхней.

Если с нижней полки переставить на верхнюю 15 книг, то книг станет поровну. Сколько книг на верхней полке?

х + 15

х

На нижней полке в 4 раза больше книг,

чем на верхней.

Если с нижней полки переставить на

верхнюю 15 книг…,

то книг станет поровну:

4х – 15 = х + 15

- уравнение с одной

переменной.

Сколько переменных содержит данное уравнение?

Равенства, содержащие переменную,

называют уравнениями с одной переменной

или уравнениями с одним неизвестным

4х – 15

4х

Решение уравнения

Задача.

На нижней полке в 4 раза больше книг, чем на верхней.

Если с нижней полки переставить на верхнюю 15 книг, то книг станет поровну. Сколько книг на верхней полке?

Свойства уравнений:

левая правая

4х – 15 = х + 15

Слагаемое можно переносить из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.

х

4х = + 15

– 15

– х

+ 15

Решение уравнения

Задача.

На нижней полке в 4 раза больше книг, чем на верхней.

Если с нижней полки переставить на верхнюю 15 книг, то книг станет поровну. Сколько книг на верхней полке?

Свойства уравнений:

левая правая

4х – 15 = х + 15

Слагаемое можно переносить из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.

4х – x = 15 + 15

:3

3 х = 30

Обе части уравнения можно умножить или разделить

на одно и то же число, отличное от нуля, получится уравнение равносильное данному.

х = 10

Проверка: х=10, то 4 10 – 15 = 10 + 15, 25=25 – верно 10 – корень уравнения.

Корнем уравнения называется значение переменной,

при котором уравнение обращается в верное числовое

равенство

Ответ: 10 книг .

Сколько корней имеет данное уравнение?

Уравнение с одной переменной

Существуют уравнения, которые имеют более одного корня.

– это уравнение имеет три корня

х = 4, х = 5, х = 8

(х –5)

(х – 4)

(х – 8)=0

Проверка:

х = 4, то ( 4 – 4)( 4 – 5)( 4 – 8) = 0,

4

0 = 0 – верно 4 - корень

уравнения.

-4

-1

0

х = 5, то ( 5 – 4)( 5 – 5)( 5 – 8) = 0,

0 = 0 – верно 5 - корень

уравнения.

5

-3

1

0

8

0 = 0 – верно 8 - корень

уравнения.

х = 8, то ( 8 – 4)( 8 – 5)( 8 – 8) = 0,

0

3

4

;

.

Ответ:

;

Уравнение с одной переменной

Решим уравнение :

(х –5)

(х – 4)

(х – 4)

(х –5)

(х – 8)

(х – 8)=0

левая правая

левая правая

левая правая

или

или

х – 8

х –5

= 0

= 0

х – 4

= 0

5

8

4

4

0

0

0

х

– 5

– 8

=

=

=

х

5

х

– 4

8

+ 5

+ 8

+ 4

;

;

.

Ответ:

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Решите уравнение: (5х+60)(-42х+13)=0

Уравнение с одной переменной

Решите уравнение: х + 2 = х

левая правая

Решение:

х + 2

= х

х

+ 2

х

=

– на нуль делить нельзя

2

х

| :0

0 х = 2

решений нет

решений нет

.

Ответ:

Решить уравнение – значит найти все его корни

или доказать, что корней нет

Уравнение с одной переменной

Найдите корни уравнения х 2 = 9 .

Ответ: 3, -3.

Найдите корни уравнения (х-3)(х+3)=0.

Ответ: 3, -3.

Сравните полученные корни.

х 2 = 9 и (х-3)(х+3)=0 – равносильные уравнения.

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными.

Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными.