Степени

СТЕПЕНИ .

3 *3*3*3*3*3*3 =

• Определение. Степенью числа

с натуральным показателем ,

называют произведение множителей,

каждый из которых равен :

Где

- основание степени

- показатель степени.

ИСТОРИЯ СТЕПЕНЕЙ.

• Понятие степени с натуральным показателем сформировалось ещё у древних народов. Квадрат и куб числа использовались для вычисления площадей и объемов. Степени некоторых чисел использовались при решении отдельных задач учеными Древнего Египта и Вавилона.

В III веке вышла книга греческого ученого Диофанта “Арифметика”, в которой было положено начало введению буквенной символики. Диофант вводит символы для первых шести степеней неизвестного и обратных им величин. В этой книге квадрат обозначается знаком с индексом r; куб – знаком k c индексом r и т.д.

1) Все началось с Древнегреческого ученого Пифагора. У него была целая школа, и всех его учеников называли пифагорейцами. Они придумали, что каждое число можно представить в виде фигур . Например, числа 4, 9 и 16 они представляли в виде квадратов.

• 2) Вавилоняне пошли дальше: составляли и пользовались таблицами квадратов и кубов чисел.

число В Первой Во Второй В Третьей

1 1 1 1

2 2 4 8

3 3 9 27

4 4 16 64

5 5 25 125

6 6 36 216

7 7 49 343

8 8 64 512

9 9 81 729

• 3) Индийские ученые независимо от всех остальных открыли и оперировали степенями с натуральными показателями до 9 включительно, называя их с помощью комбинации трех слов:
• “ ва” (2-я степень, от слова “варга” – квадрат),
• “ гха” (3-я степень, от “гхана” - куб) и
• “ гхата” (слово указывающее на сложение показателей).

Например, 4 степень – “ва-ва”, 5-ая – “ва-гха- гхата”, 6-ая – “ва-гха”.

• 4) XVI век . В этом веке понятие степени расширилось: его стали относить не только к конкретному числу, но и к переменной. Как тогда говорили «к числам вообще»
• Английский математик С. Стевин придумал запись для обозначения степени: запись 3(3)+5(2)–4 обозначала такую современную запись 3 3 + 5 2 – 4.

С. Стевин

• Дробные показатели степени и наиболее простые правила действии над степенями с дробными показателями встречаются у французского математика Николая Орема (1323–1382 гг.) в его труде “Алгоризм пропорций”.

• Равенство, 0

= 1

(для а не равного 0)

применял в своих трудах в начале ХV века самаркандский ученый Гиясаддин Каши Джемшид.

Независимо от него нулевой показатель был введен Николаем Шюке в ХV веке. Известно, что Николай Шюке (1445–1500 гг.), рассматривал степени с отрицательными и нулевым показателями.

• Позже дробные и отрицательные , показатели встречаются в “Полной арифметике” (1544 г.) немецкого математика М.Штифеля и у

С. Стевина. 1/n

• С.Стевин предположил подразумевать под

корень.

С.Стевин М.Штифель

• В конце ХVI века Франсуа Виет ввел буквы для обозначения не только переменных, но и их коэффициентов. Он применял сокращения: N, Q, C – для первой, второй и третьей степеней.
• Но современные обозначения (типа 4, 5)

в XVII в ввел Рене Декарт.

Франсуа Виет. Рене Декарт .

• Современные определения и обозначения степени с нулевым, отрицательным и дробным показателем берут начало от работ английских математиков
• Джона Валлиса (1616–1703) и

Исаака Ньютона

(1643–1727).

0 Б) , где а3. Укажите область значений функции: А) В) Б) Г)" width="640"

1. Вычислите :

Г)

Ж)

А)

Д)

Б)

Е)

В)

2. Упростите выражения :

В)

А)

, где а0

Б)

, где а

3. Укажите область значений функции:

А)

В)

Б)

Г)

1 . Простейшие показательные уравнения

2. Метод приведения к одному основанию

3. Способ подстановки

4. Метод почленного деления

5. Способ группировки

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ.

• Степенной функцией называется функция

вида Х где - заданное действительное число.

• Функции вида F = С Х , где С – постоянная играют важную роль в математике и ее приложениях.
• При а = 1 эти функции выражают прямую пропорциональность,
• При а = - 1 – обратную пропорциональность .

ГРАФИКИ РАЗЛИЧНЫХ ФУНКЦИЙ

УПРАЖНЕНИЯ

• Найти области определения и области значений известных элементарных функций

y = x - 4, у = 1/х - 4, у = (х - 4) 2 , у = (х - 4) 3.

Схематично построить графики функций:

• а) у = 2х 2 +4;
• б) у = -2(х-8) 2 +4;
• в) у = -2х 2 -4;
• г) у = 2(х-4) 2-3 .
• д) у = 2(х+6) 2 ;

СПАСИБО ЗА ПРОСМОТР!!! : )