Система уравнений.

Система уравнений

Система уравнений

• Определения
• Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что все уравнения должны выполняться одновременно
• Каждая пара значений переменных, которая одновременно является решением всех уравнений системы, называется решением системы
• Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство
• Решить систему уравнений - это значит найти все её решения или установить, что их нет

Методы решения системы уравнений :

1) Метод подстановки ; 2) Метод сложения ; 3) Графический метод

Метод подстановки

х + у = 10

4х + 5у = 44

Решаем систему так:

1. Из первого уравнения выражаем У через Х :

у = 10 – х.

2. Подставляем полученное выражение вместо У во второе уравнение системы : 4х + 5( 10 – х) = 44.

3. Решаем полученное уравнение:

4х + 5( 10 – х ) = 44

4х + 50 – 5х = 44

-х = - 6

х = 6

4. Подставляем полученное значение х в выражение для у :

у = 10 – х

у = 10 – 6 = 4.

5. Записываем ответ: х = 6, у = 4

или в виде цифровой пары ( 6;4 ).

6. Для уверенности делаем проверку : 6 + 4 = 10

4 ∙6 + 5∙4 = 44.

7. Записываем ответ задачи!

Алгоритм решения систем линейных уравнений методом подстановки.

1. Выражают из любого уравнения системы одну переменную через другую.

2. Подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной равное ей выражение.

3. Решают получившееся уравнение с одной переменной.

4. Находят соответствующее значение второй переменной.

ПРИМЕР: Решить систему уравнений способом подстановки.

у = 12 – 2х

7х – 2( 12 – 2х ) = 31

2х + у = 12

7х - 2у = 31

у = 2

х = 5

у = 12 – 2х

11х = 55

Метод сложения

х + у = 10

4х + 5у = 44

• Решим уравнение!

1.Умножим первое уравнение на -4:

-4х + (-4у) = -40

4х + 5у = 44

2.Теперь сложим эти уравнения:

у = 4

3.Подставим полученное значение в одно из уравнений: х + 4 = 10; х = 10 – 4 = 6.

4.Получаем решение ( 6;4 )

5.Проверяем. Записываем ответ.

Алгоритм решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом сложения .

1.Умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными.

2.Складывают почленно левые и правые части уравнений системы.

3.Решают получившееся уравнение с одной переменной.

4.Находят соответствующее значение второй переменной.

Графический метод

Решим уравнение

• 4Х + 5У = 44.

Х + У = 10

• Построим график уравнения 4х + 5у=44
• Функция линейная, графиком является прямая.
• Выразим У через Х:

5у = 44 – 4х

у = 8,8 - 0,8у .

Точки прямой:

х 1 10

у 8 0,8

• Построим график уравнения Х + У = 10.
• Это линейная функция и ее график – прямая.
• Выразим У через Х:

У = 10 – Х.

Найдем точки, принадлежащие графику:

х 0 10

у 10 0

у

.

10

.

8

.

( 6;4 )

4

.

.

1

х

6

1

10

Алгоритм решения графический способом

1.Нужно построить в одной системе

координат графики каждого

уравнения.

2 .Найти координаты точки их

пересечения

Спасибо за внимание!