Презентация подготовлена к открытому уроку на фестивале педагогического мастерства в 2015 году. Основная дидактическая цель урока – обобщить и систематизировать знания учащихся по определению методов решения квадратных уравнений. Задачи урока: актуализировать и расширить полученные ранее знания учащихся по данной теме,
обобщить и систематизировать знания учащихся,
совершенствовать умения и навыки учащихся по выбору метода решения квадратного уравнения,
установить внутрипредметные связи изученной темы с другими темами курса алгебры.
Тип урока – урок обобщения и систематизации знаний.
Технические средства: мультимедийный проектор, экран. Технологии: ИКТ-технологии, технология проблемного обучения.
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Просмотр содержимого документа
«Рациональные методы решения квадратных уравнений »
Квадратные уравнения
Методы решения
8 класс
Разгадываем шифр
-3; 3
нет корней
E
P
1; 4
1/3; 3
1; 11/6
T
S
0
R
пробел
-2; -5
0; 2
I
O
2; 5
M
A
x2- 5x + 4 =0
x2- 9 = 0
x2- 2x =0
16x2+ 4 =0
-1,21x2=0
6x2- 17x + 11 =0
x2+ 7x + 10 =0
8. 14 - 2x2=0
9. x2+ 12 =0
10. x2- 7x + 10 =0
11. (х-1)(6х-11) =0
12. 3x2- 10x + 3 =0
13. 45 - 5x2= 0
TEMPORI PARSE
Береги время….
… искусство, которое я излагаю, ново… Все математики знали, что под их алгеброй были скрыты несравненные сокровища, но не сумели их найти: задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко решаются с помощью нашего искусства”.
Современная запись кубического уравнения:
х3+3bх=d
Запись этого же уравнения в обозначениях 16 века:
Acubus +Вplanum inA3 aequaturDsolido
Рациональные методы решенияквадратных уравненийЦ ель: обобщить опыт решения квадратных уравнений, научиться выбирать рациональный путь решения.
Виды квадратных уравнений
Неполное неприведенное
Неполное приведенное
Полное неприведенное
Полное приведенное
Способы решенияквадратных уравнений
Неполное:
разложение на множители – вынесение обшего множителя за скобки, ФСУ.
Полное неприведенное :
общая формула корней с использованием дискриминанта
выделение полного квадрата
разложение на множители группировкой или с помощью ФСУ
графический
Дискриминант
Термин образован от латинского discrimino — «разбираю», «различаю».
Термин ввёл известный английский математик
Джеймс Джозеф Сильвестр.
Теорема Виета
Сумма корней приведенного квадратного трехчлена x2 + px + q= 0 равна его второму коэффициенту p, взятому с противоположным знаком, а произведение – свободному члену q .
x1 + x2 = –p и x1x2 = q
1) Вычисление корней по теореме, обратной к т.Виета
Так, еще не зная, как вычислить корни уравнения:
x2 + 2x – 8 = 0 ,
мы, тем не менее, можем сказать, что их сумма должна быть равна – 2 , а произведение должно равняться –8 .
Т., обратная к т. Виета позволяет находить устно целые корни квадратного трехчлена .
Пример 1
Так, находя корни квадратного уравнения
x2- 7x + 12 =0 ,
надо попытаться разложить свободный член 12 на два множителя так, чтобы их сумма равнялась числу 7. Причем, знаки у них одинаковые . Т.к. их сумма x 1 + x 2 = +7, значит, они положительны . Какие это пары?
1 и 12, 2 и 6, 3 и 4.
Но только 3+4=7, значит, корни x1=3, x2=4.
Пример 2
x2+ x — 12 =0.
Корни имеют разные знаки , т.к. их произведение равно -12.
Например, такие пары: 1 и -12 или -1 и 12 или 2 и -6 или -2 и 6 или 3 и -4 или -3 и 4.
Проверим, какая пара в сумме дает -1. Это 3 и - 4.
Ответ: x1=3, x2= - 4.
№
1
Уравнение
2
Корни
x2- 11x + 28 = 0
x2- 103x + 300 = 0
3
4
x2- 17x + 52 = 0
5
x2- 6x - 40 = 0
6
x2+16x + 63 = 0
7
x2- 12x + 27 = 0
x2+ 12x + 32 = 0
8
9
x2- 11x + 18 = 0
10
x2+ 4x - 32 = 0
11
x2+ 8x - 20 = 0
12
x2- x - 6 = 0
x2+ 6x + 8 = 0
№
+
1
+
Уравнение
2
Корни
x2- 11x + 28 = 0
+
4; 7
x2- 103x + 300 = 0
3
±
4
3; 100
—
x2- 17x + 52 = 0
+
5
x2- 6x - 40 = 0
3; 14
6
—
-4; 10
x2+16x + 63 = 0
7
+
x2- 12x + 27 = 0
-7; -9
3; 9
±
x2+ 12x + 32 = 0
8
9
±
-4; -8
x2- 11x + 18 = 0
10
±
2; 9
x2+ 4x - 32 = 0
11
—
-8; 4
x2+ 8x - 20 = 0
12
-10; 2
x2- x - 6 = 0
-2; 3
x2+ 6x + 8 = 0
-4; -2
Составьте приведенные уравнения по заданным корням
№
Уравнение
1
Корни
2
5;6
3
2;7
4
-2;14
5
-3;-5
6
-6;-11
-5;4
Составьте приведенные уравнения по заданным корням
№
Уравнение
1
Корни
x2- 11x + 30 = 0
2
x2- 9x + 14 = 0
5; 6
3
4
x2- 12x - 28 = 0
2; 7
x2+ 8x + 15 = 0
5
-2; 14
-3; -5
x2+17x + 66 = 0
6
x2+ x - 20 = 0
-6; -11
-5; 4
Оцените плюсы и минусы использования теоремы,
обратной т.Виета
+
-
?
?
2) Использование свойств коэффициентов a, b, c
Если в полном квадратном уравнении a+b+c =0 , то один из корней равен 1, а второй по теореме Виета равен
Если в квадратном уравнении a+c=b , то один из корней равен -1, а второй по теореме Виета равен
Пример 3
157х2+20х-177=0a = 157, b = 20, c = -177a + b + c = 157 + 20 - 177 = 0x1= 1,x2=
Пример 4
203х2+220х+17=0a = 203, b = 220, c = 17a + c = 203 + 17 = 220 = bx1= -1,x2=
№
1
Уравнение
2
Корни
24x2- 11x - 13 = 0
6x2- 19x + 13 = 0
3
4
x2- 19x + 18 = 0
7x2- 6x - 13 = 0
5
6
10x2+63x + 53 = 0
7
5x2- 12x + 7 = 0
8x2+ 11x + 3 = 0
8
9
999x2- 998x - 1 = 0
x2+ 4x +3 = 0
10
11
x2+ 8x - 9 = 0
12
x2- 5x - 6 = 0
19x2+ 6x - 25 = 0
№
1
Уравнение
2
Корни
24x2- 11x - 13 = 0
3
6x2- 19x + 13 = 0
1; -13/24
1; 13/6
4
x2- 19x + 18 = 0
1; 18
7x2- 6x - 13 = 0
5
-1; 13/7
6
10x2+63x + 53 = 0
7
5x2- 12x + 7 = 0
-1; -5,3
1; 7/5
8x2+ 11x + 3 = 0
8
-1; -3/8
9
999x2- 998x - 1 = 0
1; -1/999
x2+ 4x +3 = 0
10
11
-1; -3
x2+ 8x - 9 = 0
12
1; -9
x2- 5x - 6 = 0
-1; 6
19x2+ 6x - 25 = 0
1; -25/19
Оцените плюсы и минусы использования для решения свойств коэффициентов
+
-
?
?
3) Решение уравнений способом «переброски»
Рассмотрим квадратное уравнение
ах2+ bх + с = 0,гдеа ≠ 0.
а2х2+ аbх + ас = 0.
Пусть ах = у , тогда приходим к уравнению
у2+ by + ас = 0
Найдем его корни у1 и у 2 .
Окончательно получаем х1= у1/а и х1= у2/а .
Пример 5
2х2– 11х + 15 = 0.
«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение
у2– 11у + 30 = 0.
Согласно т., обратной к т. Виета у1= 5; у2= 6
х1= 5/2; x2= 6/2.
Ответ: 2,5; 3.
Пример 6
6x2– 7x – 3 = 0.
y 2 – 7y – 3 · 6 = 0;
y2– 7y – 18 = 0.
y 1 = 9; y 2 = - 2.
x 1 = 9/6; x 2 = - 2/6.
После сокращения будем иметь x 1 = 1,5; x 2 = - 1/3.
