Производная. Физический и геометрический смысл производной.

Производная

Содержание

• Задачи, приводящие к понятию производной
• Понятие производной.
• Алгоритм нахождения производной.
• Примеры.
• Таблица производных.
• Физический смысл производной.
• Геометрический смысл производной
• Правила нахождения производных.
• Непрерывность функции.

Задачи, приводящие к понятию производной

Задача 1 (о скорости движения)

• По прямой, на которой заданы начало отсчета, единица измерения (метр) и направление, движется некоторое тело (материальная точка).
• Закон движения задан формулой s=s (t), где t — время (в секундах), s (t) — положение тела на прямой (координата движущейся материальной точки) в момент времени t по отношению к началу отсчета (в метрах).
• Найти скорость движения тела в момент времени t (в м/с).

Задачи, приводящие к понятию производной

N

М

О

Предположим, что в начальный момент времени t тело находилось в точке M , её координата – s(t).

за время  t оно прошло путь М N .

Координата точки N – s(t +  t) .

Тогда М N =  s = s(t +  t) – s(t)

Нетрудно найти среднюю скорость движения тела за промежуток времени [ t; t+∆t] :

Задачи, приводящие к понятию производной

А что такое скорость v (t) в момент времени t (её называют иногда мгновенной скоростью)?

Можно сказать так: это средняя скорость движения за промежуток времени [t; t+∆t]

при условии , что ∆t выбирается все меньше и

меньше;

иными словами, при условии, что ∆t→0.

Это значит , что

Задача 2: Определить положение касательной (tg φ )

у

Будем перемещать точку М вдоль графика, приближая её к точке М 0. Соответственно будет меняться положение секущей ММ 0

Пусть дан график функции f(x). Необходимо определить тангенс угла наклона касательной, проведённой к этому графику в точке с абсциссой х 0

Отметим точку М, координаты которой рассмотрим как приращение координат точки М 0

=f(x 0 +∆x)

f(x)

М

Через точки М и М 0 проведём секущую, которая образует с осью ОХ угол 

А к какому углу будет стремиться угол  ?

К чему будет стремиться приращение аргумента?

При этом координата х точки М будет стремиться к х 0

∆ f

М 0

f(x 0 )



х

φ

х 0

0

х

=x 0 + ∆x

∆ x

Секущая , поворачиваясь вокруг точки М0,

приближается к положению касательной

Предельным положением секущей МоМ,

когда М неограниченно приближается к Мо, является касательная

Понятие производной

Производной функции у = f(x) , заданной на некотором интервале ( a; b) , в некоторой точке х этого интервала называют предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

∆ f

f ′(x) = lim

∆ x

∆ x →0

Нахождение производной называют дифференцированием

Понятие производной

у

∆ f

f ′(x) = lim

∆ x

∆ x →0

f(x 0 )

у = f(x)

∆ f

f(x 0 + ∆ х)

∆ х

х 0

х

0

х 0 + ∆ х

Алгоритм нахождения производной

• Зафиксировать значение х 0 , найти f(x 0 ) .

• Дать аргументу х 0 приращение ∆ х , перейти в новую точку х 0 + ∆ х , найти f(x 0 + ∆ х ) .
• Найти приращение функции: ∆ f = f(x 0 + ∆ х ) – f(x 0 ) .
• Составить отношение .
• Вычислить lim .
• Этот предел и есть f ′ (x 0 ) .

∆ f

∆ х

∆ f

∆ х

∆ x→0

Примеры

1. Найти производную функции y = kx + b в точке х o

Примеры

2. Найти производную функции y = C (C – const) в точке х o

Примеры

3. Найти производную функции y = x 2 в точке х o

Примеры

4. Найти производную функции y = √x в точке х o

Примеры

4. Найти производную функции y = √x в точке х o

Примеры

5. Найти производную функции y = 1/x в точке х o

Примеры

5. Найти производную функции y = 1/x в точке х o

Таблица производных

f (x)

f ′(x)

C

0

kx + b

k

x 2

2x

x n

nx n–1

Таблица производных

f (x)

f ′(x)

sin x

cos x

cos x

– sin x

e x

e x

a x

a x lna

Таблица производных

f (x)

f ′(x)

tg x

ctg x

ln x

log a x

Физический ( механический ) смысл производной

Если при прямолинейном движении путь s , пройденный точкой, есть функция от времени t , т.е. s = s(t) , то скорость точки есть производная от пути по времени, т.е. v(t) = s′(t) .

Производная выражает мгновенную скорость в момент времени t .

Геометрический смысл производной

Производная функции в данной точке численно равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику через эту точку, к положительному направлению оси ОХ .

Правила нахождения производной

1. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их сумма u(x) + v(x) также имеет в этой точке производную, причем

(u + v)′ = u′ + v′

2. Если функция u(x) имеет в точке х производную и С – данное число, то функция С ∙ u(x) также имеет в этой точке производную, причем

(Сu)′ = С∙u′

Правила нахождения производной

3. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их произведение u(x) ∙ v(x) также имеет в этой точке производную, причем

(u ∙ v)′ = u′∙v + u∙v′

4. Если функция v(x) имеет в точке х производную и v(x) ≠ 0 , то функция также имеет в этой точке производную, причем

1

v(x)

v′

( )

′

1

= –

v

v 2

23

Правила нахождения производной

5. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные и v(x) ≠ 0 , то функция также имеет в этой точке производную, причем

u(x)

v(x)

( )

u

u′v – uv′

′

=

v

v 2

24

Производная сложной функции

( f ( g(x) ) ) ′ = f′ ( g(x) ) ∙g′(x)

Примеры:

1. ( (5x – 3) 3 ) ′ = 3(5x – 3) 2 ∙(5x – 3) ′ =

= 3(5x – 3) 2 ∙ 5 = 15(5x – 3) 2

2. ( sin(4x + 8) ) ′ = cos(4x + 8)∙(4x + 8) ′ =

= cos(4x + 8)∙4 = 4 cos(4x + 8)

Если функция имеет производную (дифференцируема) в точке х , то она непрерывна в этой точке.