Применение теоремы синусов и косинусов

Урок геометрии в 9 классе

Обучающая:

Познакомить учащихся с измерительными работами на местности, основанными на использовании теорем синусов и косинусов;

Развивающая:

Развивать внимание, речь, абстрактное и логическое мышление учащихся

Воспитательная:

Формировать познавательную активность, дисциплинированность, ответственность, аккуратность и культуру поведения

• Организационный момент
• Актуализация знаний
• Изучение новой темы
• Закрепление изученного
• Постановка домашнего задания
• Итоги урока

ТЕОРЕМА СИНУСОВ

Стороны треугольника прямо пропорциональны синусам противолежащих углов.

Отношение стороны

треугольника к синусу

противолежащего угла

равно диаметру

описанной

окружности .

C

b

a

A

c

B

?

=" width="640"

ПРИМЕР:

C

Дано : ΔАВС, с = АВ = 3 см ,

a = ВС = 5 см , sinА =

Найти: sin С

b

a

A

c

B

Решение :

= =

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

C

Это частный

с лучай теоремы

Пифагора.

Почему?

b

a

A

c

B

а 2 =b 2 +c 2 - 2bc cosA

?

ПРИМЕР:

C

Дано : ΔАВС, b = АC = 5 см ,

a = ВС = 4 см , cosC =

Найти: AB

b

a

A

c

B

Решение :

ЗАДАЧИ

Задача №3

Задача №2

В классе №4

Произведем несколько измерительных работ на местности вместе, а остальные вы произведете самостоятельно в классе и дома

Задача №1

В классе №5

Д/З №15

Д/З п. 109-112

Д/З №16

Решени е задач и №1

Условие.

Футбольный мяч находится в точке А футбольного поля на расстояниях 23 м и 24 м от оснований В и С стоек ворот (рис.1). Футболист направляет мяч в ворота. Найдите угол  попадания мяча в ворота, если ширина ворот равна 7 м.

Решение.

Рассмотрим треугольник АВС, вершинами которого являются точка А расположения мяча и точки В и С в основаниях стоек ворот. По условию задачи с = АВ = 23 м, b = АС = 24 м и а = ВС = 7 м. Эти данные позволяют решить треугольник АВС и найти угол  , равный углу А. С помощью теоремы косинусов определяем cosA :

Угол  находим по таблице:   16  57  .

1

1 .

Решени е задач и №2

Измерение высоты предмета

Предположим, что требуется определить высоту АН какого-либо предмета (рис. 2). Для этого отметим точку В на определенном расстоянии  от основания Н предмета и измерим угол АВН:  АВН=  . По этим данным из прямоугольного треугольника АВН находим высоту предмета: АН = а tg  .

Если основание предмета недоступно, то можно поступить так: на прямой, проходящей через основание Н предмета, отметим две точки В и С на определенном расстоянии  друг от друга и измерим углы АВН и АСВ:  АВН=  и  АСВ=  (рис. 2). Эти данные позволяют определить все элементы треугольника АВС, в частности АВ. В самом деле,  АВН- внешний угол треугольника АВС, поэтому  А=  -  .

Используя теорему синусов, находим АВ:

Из прямоугольного треугольника АВН находим высоту АН предмета:

АН=АВ  sin  . Итак, АН=

Решени е задач и №3

Измерение расстояния до недоступной точки

Предположим, что нам надо найти расстояние d от пункта А до недоступного пункта С (рис. 3). Напомним, что эту задачу мы уже решали в 8 классе с помощью признаков подобия треугольников. Рассмотрим теперь другой способ решения задачи – с использованием формул тригонометрии.

На местности выберем точку В и измерим длину с отрезка АВ. Затем измерим, например с помощью астролябии, углы А и В:  А=  и  В=  . Эти данные, т. е. с,  и  , позволяют решить треугольник АВС и найти искомое расстояние d = AC .

Сначала находим  С=180  -  -  ,

Sin С = sin (180  -  -  )= sin (  +  ).

Затем с помощью теоремы синусов находим d . Так как ,

АС= d , AB = c ,  B =  , то d = .

3

Реш ите задач у №4

Для определения ширины реки отметили два пункта А и В на берегу реки на расстоянии 70 м друг от друга и измерили углы САВ и АВС, где С – дерево, стоящее на другом берегу у кромки воды. Оказалось, что  САВ=12  30  ,  АВС=72  42  . Найдите ширину реки.

C

A

х

?

70 м

B

Решени е задач и №4

C

 C=180 ° - (  A+  B)

•  C=180 ° - (  A+  B)

sin  C = sin(  A+  B) = =sin(12°30 ' +72°42') = sin 85°12'

• sin  C = sin(  A+  B) = =sin(12°30 ' +72°42') = sin 85°12'

A

х

70 м

B

ОТВЕТ: Ширина реки равна 15,2 м.

Реш ите задач у №5

Наблюдатель находится на расстоянии 50 м от башни, высоту которой хочет определить. Основание башни он видит под углом 2  к горизонту, а вершину – под углом 45  к горизонту. Какова высота башни?

?

Решени е задач и №5

D

1) АВКС - прямоугольник, ВК = АС = 50 м

2)  В D К:  В = 45 ° ;  К = 90 ° ,  D = 45 ° следовательно  В DK равнобедренный,

т. е. ВК = D К = 50 м

3)  ВКС;  В=2 ° , ВК=50 м

 С=180-(2+90)=88 °

По теореме синусов

, то ;

м,

D С=50+2=52 м

45 °

В

К

2 °

С

А

ОТВЕТ:

Высота башни равна 52 м.

Домашнее задание

№ 15, № 16

Каждая задача

требует чертёж и

дополнительные

пояснения.

Помните об этом.