kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Применение теоремы синусов и косинусов

Нажмите, чтобы узнать подробности

Каждая область знаний- физика, химия, биология и др. - имеет свои объекты изучениия, устанавливает свойства и взаимосвязи между этими объектами. На нашем уроке мы постараемся вспомнить и увидеть, где находит применение теоремы синусов и косинусов. 

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Применение теоремы синусов и косинусов»

Урок геометрии в 9 классе

Урок геометрии в 9 классе

Обучающая:  Познакомить учащихся с измерительными работами на местности, основанными на использовании теорем синусов и косинусов; Развивающая:  Развивать внимание, речь, абстрактное и логическое мышление учащихся Воспитательная:  Формировать познавательную активность, дисциплинированность, ответственность, аккуратность и культуру поведения

Обучающая:

Познакомить учащихся с измерительными работами на местности, основанными на использовании теорем синусов и косинусов;

Развивающая:

Развивать внимание, речь, абстрактное и логическое мышление учащихся

Воспитательная:

Формировать познавательную активность, дисциплинированность, ответственность, аккуратность и культуру поведения

Организационный момент Актуализация знаний Изучение новой темы Закрепление изученного Постановка домашнего задания Итоги урока
  • Организационный момент
  • Актуализация знаний
  • Изучение новой темы
  • Закрепление изученного
  • Постановка домашнего задания
  • Итоги урока
ТЕОРЕМА СИНУСОВ  Стороны треугольника прямо пропорциональны синусам противолежащих углов.  Отношение стороны  треугольника к синусу  противолежащего угла равно диаметру описанной окружности . C b a A c B ?

ТЕОРЕМА СИНУСОВ

Стороны треугольника прямо пропорциональны синусам противолежащих углов.

Отношение стороны

треугольника к синусу

противолежащего угла

равно диаметру

описанной

окружности .

C

b

a

A

c

B

?

=" width="640"

ПРИМЕР:

C

Дано : ΔАВС, с = АВ = 3 см ,

a = ВС = 5 см , sinА =

Найти: sin С

b

a

A

c

B

Решение :

= =

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ  Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. C Это частный с лучай  теоремы Пифагора. Почему? b a A c B  а 2 =b 2 +c 2 -  2bc cosA ?

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

C

Это частный

с лучай теоремы

Пифагора.

Почему?

b

a

A

c

B

а 2 =b 2 +c 2 - 2bc cosA

?

ПРИМЕР: C Дано : ΔАВС,  b = АC = 5 см ,  a = ВС = 4 см ,  cosC = Найти: AB b a A c B Решение :

ПРИМЕР:

C

Дано : ΔАВС, b = АC = 5 см ,

a = ВС = 4 см , cosC =

Найти: AB

b

a

A

c

B

Решение :

ЗАДАЧИ Задача №3 Задача №2        В классе №4 Произведем несколько измерительных работ на местности вместе, а остальные вы произведете самостоятельно в классе и дома Задача №1 В классе №5 Д/З №15 Д/З п. 109-112 Д/З №16

ЗАДАЧИ

Задача №3

Задача №2

В классе №4

Произведем несколько измерительных работ на местности вместе, а остальные вы произведете самостоятельно в классе и дома

Задача №1

В классе №5

Д/З №15

Д/З п. 109-112

Д/З №16

Решени е задач и №1  Условие. Футбольный мяч находится в точке А футбольного поля на расстояниях 23 м и 24 м от оснований В и С стоек ворот (рис.1). Футболист направляет мяч в ворота. Найдите угол  попадания мяча в ворота, если ширина ворот равна 7 м. Решение. Рассмотрим треугольник АВС, вершинами которого являются точка А расположения мяча и точки В и С в основаниях стоек ворот. По условию задачи с = АВ = 23 м, b = АС = 24 м и а = ВС = 7 м. Эти данные позволяют решить треугольник АВС и найти угол  , равный углу А. С помощью теоремы косинусов определяем cosA : Угол  находим по таблице:    16  57  . 1 1 .

Решени е задач и №1

Условие.

Футбольный мяч находится в точке А футбольного поля на расстояниях 23 м и 24 м от оснований В и С стоек ворот (рис.1). Футболист направляет мяч в ворота. Найдите угол  попадания мяча в ворота, если ширина ворот равна 7 м.

Решение.

Рассмотрим треугольник АВС, вершинами которого являются точка А расположения мяча и точки В и С в основаниях стоек ворот. По условию задачи с = АВ = 23 м, b = АС = 24 м и а = ВС = 7 м. Эти данные позволяют решить треугольник АВС и найти угол  , равный углу А. С помощью теоремы косинусов определяем cosA :

Угол  находим по таблице:   16  57  .

1

1 .

Решени е задач и №2  Измерение высоты предмета Предположим, что требуется определить высоту АН какого-либо предмета (рис. 2). Для этого отметим точку В на определенном расстоянии  от основания Н предмета и измерим угол АВН:  АВН=  . По этим данным из прямоугольного треугольника АВН находим высоту предмета: АН = а tg  . Если основание предмета недоступно, то можно поступить так: на прямой, проходящей через основание Н предмета, отметим две точки В и С на определенном расстоянии  друг от друга и измерим углы АВН и АСВ:  АВН=  и  АСВ=  (рис. 2). Эти данные позволяют определить все элементы треугольника АВС, в частности АВ. В самом деле,  АВН- внешний угол треугольника АВС, поэтому  А=  -  . Используя теорему синусов, находим АВ: Из прямоугольного треугольника АВН находим высоту АН предмета: АН=АВ  sin  .  Итак, АН=

Решени е задач и №2

Измерение высоты предмета

Предположим, что требуется определить высоту АН какого-либо предмета (рис. 2). Для этого отметим точку В на определенном расстоянии  от основания Н предмета и измерим угол АВН:  АВН=  . По этим данным из прямоугольного треугольника АВН находим высоту предмета: АН = а tg  .

Если основание предмета недоступно, то можно поступить так: на прямой, проходящей через основание Н предмета, отметим две точки В и С на определенном расстоянии  друг от друга и измерим углы АВН и АСВ:  АВН=  и  АСВ=  (рис. 2). Эти данные позволяют определить все элементы треугольника АВС, в частности АВ. В самом деле,  АВН- внешний угол треугольника АВС, поэтому  А=  -  .

Используя теорему синусов, находим АВ:

Из прямоугольного треугольника АВН находим высоту АН предмета:

АН=АВ  sin  . Итак, АН=

Решени е задач и №3  Измерение расстояния до недоступной точки Предположим, что нам надо найти расстояние d от пункта А до недоступного пункта С (рис. 3). Напомним, что эту задачу мы уже решали в 8 классе с помощью признаков подобия треугольников. Рассмотрим теперь другой способ решения задачи – с использованием формул тригонометрии. На местности выберем точку В и измерим длину с отрезка АВ. Затем измерим, например с помощью астролябии, углы А и В:  А=  и  В=  . Эти данные, т. е. с,  и  , позволяют решить треугольник АВС и найти искомое расстояние d = AC . Сначала находим  С=180  -  -  , Sin С = sin (180  -  -  )= sin (  +  ). Затем с помощью теоремы синусов находим d . Так как , АС= d , AB = c ,  B =  ,  то d =   . 3

Решени е задач и №3

Измерение расстояния до недоступной точки

Предположим, что нам надо найти расстояние d от пункта А до недоступного пункта С (рис. 3). Напомним, что эту задачу мы уже решали в 8 классе с помощью признаков подобия треугольников. Рассмотрим теперь другой способ решения задачи – с использованием формул тригонометрии.

На местности выберем точку В и измерим длину с отрезка АВ. Затем измерим, например с помощью астролябии, углы А и В:  А=  и  В=  . Эти данные, т. е. с,  и  , позволяют решить треугольник АВС и найти искомое расстояние d = AC .

Сначала находим  С=180  -  -  ,

Sin С = sin (180  -  -  )= sin (  +  ).

Затем с помощью теоремы синусов находим d . Так как ,

АС= d , AB = c ,  B =  , то d = .

3

Реш ите задач у №4  Для определения ширины реки отметили два пункта А и В на берегу реки на расстоянии 70 м друг от друга и измерили углы САВ и АВС, где С – дерево, стоящее на другом берегу у кромки воды. Оказалось, что  САВ=12  30  ,  АВС=72  42  . Найдите ширину реки. C A х ? 70 м B

Реш ите задач у №4

Для определения ширины реки отметили два пункта А и В на берегу реки на расстоянии 70 м друг от друга и измерили углы САВ и АВС, где С – дерево, стоящее на другом берегу у кромки воды. Оказалось, что  САВ=12  30  ,  АВС=72  42  . Найдите ширину реки.

C

A

х

?

70 м

B

Решени е задач и №4 C  C=180 ° - (  A+  B)  C=180 ° - (  A+  B) sin  C = sin(  A+  B) = =sin(12°30 ' +72°42') = sin 85°12' sin  C = sin(  A+  B) = =sin(12°30 ' +72°42') = sin 85°12' A х 70 м B ОТВЕТ: Ширина реки равна 15,2 м.

Решени е задач и №4

C

 C=180 ° - (  A+  B)

  •  C=180 ° - (  A+  B)

sin  C = sin(  A+  B) = =sin(12°30 ' +72°42') = sin 85°12'

  • sin  C = sin(  A+  B) = =sin(12°30 ' +72°42') = sin 85°12'

A

х

70 м

B

ОТВЕТ: Ширина реки равна 15,2 м.

Реш ите задач у №5 Наблюдатель находится на расстоянии 50 м от башни, высоту которой хочет определить. Основание башни он видит под углом 2  к горизонту, а вершину – под углом 45  к горизонту. Какова высота башни? ?

Реш ите задач у №5

Наблюдатель находится на расстоянии 50 м от башни, высоту которой хочет определить. Основание башни он видит под углом 2  к горизонту, а вершину – под углом 45  к горизонту. Какова высота башни?

?

Решени е задач и №5 D 1) АВКС - прямоугольник, ВК = АС = 50 м 2)  В D К:  В = 45 ° ;  К = 90 ° ,  D = 45 ° следовательно  В DK равнобедренный, т. е. ВК = D К = 50 м 3)  ВКС;  В=2 ° , ВК=50 м  С=180-(2+90)=88 ° По теореме синусов  , то ;   м, D С=50+2=52 м 45 ° В К 2 ° С А ОТВЕТ:  Высота башни равна 52 м.

Решени е задач и №5

D

1) АВКС - прямоугольник, ВК = АС = 50 м

2)  В D К:  В = 45 ° ;  К = 90 ° ,  D = 45 ° следовательно  В DK равнобедренный,

т. е. ВК = D К = 50 м

3)  ВКС;  В=2 ° , ВК=50 м

 С=180-(2+90)=88 °

По теореме синусов

, то ;

м,

D С=50+2=52 м

45 °

В

К

2 °

С

А

ОТВЕТ:

Высота башни равна 52 м.

Домашнее задание   № 15, № 16 Каждая задача требует чертёж и дополнительные пояснения. Помните об этом.

Домашнее задание

15, № 16

Каждая задача

требует чертёж и

дополнительные

пояснения.

Помните об этом.


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 9 класс.
Урок соответствует ФГОС

Скачать
Применение теоремы синусов и косинусов

Автор: Галиакберова Танзиля Рафиковна

Дата: 05.11.2017

Номер свидетельства: 436994

Похожие файлы

object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(113) "Урок с применением новых технологий - "Решение треугольников" "
    ["seo_title"] => string(70) "urok-s-primienieniiem-novykh-tiekhnologhii-rieshieniie-trieughol-nikov"
    ["file_id"] => string(6) "163196"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1422453481"
  }
}
object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(28) "Синус и косинус"
    ["seo_title"] => string(15) "sinus_i_kosinus"
    ["file_id"] => string(6) "342454"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1473131722"
  }
}
object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(83) "Конспект урока математики "Теорема Пифагора" "
    ["seo_title"] => string(47) "konspiekt-uroka-matiematiki-tieoriema-pifaghora"
    ["file_id"] => string(6) "138707"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1417594919"
  }
}
object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(59) "Тригонометрия. Подготовка к ГИА "
    ["seo_title"] => string(34) "trighonomietriia-podghotovka-k-gia"
    ["file_id"] => string(6) "223130"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1437304779"
  }
}
object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(129) "Учебный проект  "Тригонометрия в окружающем нас мире и жизни человека" "
    ["seo_title"] => string(84) "uchiebnyi-proiekt-trighonomietriia-v-okruzhaiushchiem-nas-mirie-i-zhizni-chielovieka"
    ["file_id"] => string(6) "116932"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1412659901"
  }
}


Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства