Презентация "Интересный модуль"

• Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).
• Модуль числа 5 равен 5 так как точка В(5) удалена от начала отсчета на 5 единичных отрезков. Пишут: |5| = 5
• Расстояние точки М(-6) от начала отсчета О равно 6 единичным отрезкам. Число 6 называют модулем числа -6. Пишут: |-6| = 6

• Модулем неотрицательного действительного числа a называют само это число:
• |а| = а
• Модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число:
• |а| = - а
• Короче это записывают так:

• Модуль числа не может быть отрицательным. Для положительного числа и нуля он равен самому числу, а для отрицательного – противоположному числу. Противоположные числа имеют равные модули:

• |-а| = |а|
• |-а| = |а|

• Модуль числа 0 равен 0, так как точка с координатой 0 совпадает с началом отсчета 0, т.е. удалена от нее на 0 единичных отрезков:
• |0| = 0

0 |а| = | - а| |а + b| ≤ |а| + |b| |а·q| = q·|а| , где q - положительное число |а|2 = а2 Значение |a - b|  равно расстоянию на числовой прямой между точками, изображающими числа a и b." width="640"

• На практике используют различные свойства модулей:
• |а| ≥ 0
• |а·b| = |а| · |b|
• |а|n = аn , n є Z, a ≠ 0, n 0
• |а| = | - а|
• |а + b| ≤ |а| + |b|
• |а·q| = q·|а| , где q - положительное число
• |а|2 = а2
• Значение |a - b|  равно расстоянию на числовой прямой между точками, изображающими числа a и b.

Пример 1.

│√ 2 - √5│ = √5 - √2, т.к. √2 - √5

√ (1 - √3)² = │√1 - √3│ = √3 – 1, т.к. 1 - √3

Пример 2.

Упростить выражение 

, если a

Решение.

Так как по условию а

Ответ : 

Для решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины,

мы будем основываться на определении модуля числа и свойствах

абсолютной величины числа. Мы решим несколько примеров одним

и тем же способом и посмотрим, какой из способов окажется проще

для решения уравнений, содержащих модуль.

0, то х – 2 = 3, х = 5 Если х – 2 Ответ: х = 5; - 1. Вывод: если модуль некоторого выражения равен действительному Положительному числу а, тогда выражение под модулем равно либо а, либо – а." width="640"

Пример 1.

Решим аналитически и графически уравнение │х - 2│ = 3

Если х – 2 0, то х – 2 = 3, х = 5

Если х – 2

Ответ: х = 5; - 1.

Вывод: если модуль некоторого выражения равен действительному

Положительному числу а, тогда выражение под модулем равно либо

а, либо – а.

Графическое решение

Одним из способов решения уравнений, содержащих модуль является графический способ. Суть этого способа заключается в том, чтобы построить графики данных функций. В случае, если графики пересекутся, точки пересечений данных графиков будут являться корнями нашего уравнения. В случае, если графики не пересекутся, мы сможем сделать вывод, что уравнение корней не имеет. Этот способ, вероятно, реже других применяют для решения уравнений, содержащих модуль, так как, во-первых, он занимает достаточно много времени и не всегда рационален, а, во-вторых, результаты, полученные при построении графиков, не всегда являются точными.

Другой способ решения уравнений, содержащих модуль- это способ разбиения числовой прямой на промежутки. В этом случае нам нужно разбить числовую прямую так, что по определению модуля, знак абсолютной величины на данных промежутках можно будет снять. Затем, для каждого из промежутков мы должны будем решить данное уравнение и сделать вывод, относительно получившихся корней(удовлетворяют они нашему промежутку или нет). Корни, удовлетворяющие промежутки и дадут окончательный ответ.

Графическое решение уравнения │х – 2 │= 3

Для решения уравнения графическим способом надо построить графики функций

у = │х – 2 │и у = 3.

Прямая графика функции у = 3 пересеклась с графиком функции у = │х – 2 │ в точках с координатами (-1;3) и (5;3), следовательно решениями уравнения будут абсциссы точек

х = 5, х = -1

Ответ: х=5, х= -1

Пример 2.

Решим уравнение │х - 2│= 0

х – 2 =0, х = 2

Ответ: х = 2

Вывод: если модуль некоторого выражения равен 0, тогда выражение под модулем равно 0.

Пример 3.

Решим уравнение │х - 2│= - 2

Это уравнение не имеет корней, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным числом.