Презентация по геометрии 9 класс "Метод координат"

Координатный метод

Геометрия 9класс

Содержание

• Координаты точки
• Расстояние между точками
• Уравнение окружности
• Координаты середины отрезка
• Уравнение прямой
• Заключение

Координаты точки

y

Говорят, что на плоскости задана прямоугольная система координат , если через некоторую точку О плоскости проведены две взаимно перпендикулярные прямые, на каждой из которых выбрано направление (которое на рисунке отмечается стрелкой) и одна и та же единица измерения отрезков. Точка O называется началом координат , а прямые с выбранными на них направлениями – осями координат . Одна из осей координат называется осью абсцисс , а другая – осью ординат . Ось абсцисс обозначается Ox , а ось ординат – Oy .

1

x

O

1

Прямоугольная система координат:

• O – начало;
• Ox – ось абсцисс;
• Oy – ось ординат;
• Ox ┴ Oy
• на осях выбран масштаб (единичный отрезок)

y

Положительные

полуоси

1

x

O

1

Отрицательные

полуоси

Для каждой из осей определены два противоположных луча с началом в точке O . Луч, направление которого совпадает с направлением координатной оси, называется положительной полуосью , а другой – отрицательной полуосью .

Y

абсцисса

M (x; y)

y

ордината

1

X

O

x

1

Если на плоскости задана прямоугольная система координат, то в этой системе координат каждой точке M плоскости соответствует упорядоченная пара чисел x , y . Эта пара чисел называется координатами точки M . Первая координата называется абсциссой , вторая – ординатой .

Пусть M 1 и M 2 – точки пересечения осей координат Ox и Oy с прямыми, проходящими перпендикулярно им через точку M соответственно. Тогда координаты x , y точки M определяются следующим образом:

• x = OM 1 , если точка M 1 принадлежит положительной полуоси; x = 0 , если M 1 совпадает с точкой O ; x = – OM 1 , если точка M 1 принадлежит отрицательной полуоси; y = OM 2 , если M 2 принадлежит положительной полуоси; y = 0 , если M 2 совпадает с точкой О ; y = – OM , если точка M 2 принадлежит отрицательной полуоси.
• x = OM 1 , если точка M 1 принадлежит положительной полуоси;
• x = 0 , если M 1 совпадает с точкой O ;
• x = – OM 1 , если точка M 1 принадлежит отрицательной полуоси;
• y = OM 2 , если M 2 принадлежит положительной полуоси;
• y = 0 , если M 2 совпадает с точкой О ;
• y = – OM , если точка M 2 принадлежит отрицательной полуоси.

y

M

M 2

1

O

x

M 1

1

Координаты точки M записываются в скобках после обозначения точки: M (x; y) (на первом месте записывается абсцисса, на втором записывается ордината).

Если точка M лежит на оси Ox , то она имеет координаты (x; 0) , если M лежит на оси Oy , то ее координаты – (0; y) .

y

y

M (0; y)

1

1

M (x; 0)

x

O

O

x

1

1

Рассмотрим примеры.

y

Пусть ABCD – квадрат, длина стороны которого равна двум единицам длины, а прямоугольная система координат выбрана так, как показано на рисунке 1. Тогда в выбранной системе вершины квадрата имеют координаты:

A (0; ); B ( ; 0); C (0; – ); D (– ; 0) .

A

x

D

O

B

C

Рис . 1

y

1

D (-1; 1)

A (1; 1)

Если система координат выбрана так, как показано на рисунке 2, то координаты вершин данного квадрата в этой системе имеют координаты:

A (1; 1); B (1; –1); C (–1; –1); D (–1; 1) .

-1

O

x

1

B (1; -1)

C (-1; -1)

-1

Рис. 2

Расстояние между точками

Рассмотрим вопрос о нахождении расстояния между точками, если известны их координаты. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат и известны координаты точек A и B в этой системе координат: A ( x 1 ; y 1 ) и B ( x 2 ; y 2 ) . Тогда расстояние d ( A , B ) = AB между точками A и B можно найти по формуле

y

A (x 1 ; y 1 )

y 1

B ( x 2 ; y 2 )

y 2

O

x

x 1

x 2

Докажем формулу для случая, когда и , т. е. когда отрезок AB не параллелен ни одной из координатных осей. Пусть C – точка пересечения прямых l 1 и l 2 , которые проходят через точки A , B соответственно и параллельны осям Oy , Ox . Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC . Длины сторон AC и BC равны: AC = , BC = . Тогда по теореме

Пифагора

или

l 1

y

A

l 2

C

B

x

O

Заметим, что формула верна и для случаев:

а) х 1 = х 2 , y 1 y 2 (отрезок параллелен оси Oy , рисунок 1);

б) х 1 х 2 , у 1 = у 2 (отрезок параллелен оси Ox , рисунок 2);

в) х 1 = х 2 , у 1 = у 2 (точки A и B совпадают).

В случае а) d (A, B) = AB = .

В случае б) d (A, B) = AB = .

Если точки A и B совпадают, то d (A, B) = 0 .

y

y

A ( x; y 1 )

B ( x 2 ; y )

y 1

A ( x 1 ; y )

O

x

y 2

x 1

x 2

B ( x; y 2 )

x

Рис. 2

O

x

Рис. 1

Рассмотрим пример.

Пусть необходимо вычислить площадь квадрата ABCD , две вершины которого имеют координаты A (8; 8) и B (5; 5) . Площадь квадрата равна квадрату длины стороны.

Следовательно, S ABCD = AB ² . Для вычисления длины стороны AB воспользуемся формулой расстояния между двумя точками

Таким образом, площадь квадрата S ABCD = AB = 18 кв. ед .

Ответ: 18 кв. ед.

Уравнение окружности

Рассмотрим вопрос об уравнении

окружности.

Уравнение с двумя переменными называется уравнением фигуры , если ему удовлетворяют координаты любой точки этой фигуры и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих данной фигуре.

Составим уравнение окружности с центром в точке O ( x 0 ; y 0 ) и радиусом R .

Пусть точка M ( x; y ) принадлежит окружности. Тогда в силу определения окружности СM = R . Следовательно, квадрат расстояния между точками С и M равен квадрату радиуса:

( x – x 0 ) 2 + ( y – y 0 ) 2 = R 2 .

y

M ( x; y )

C

y 0

O

x 0

x

Пусть точка M 1 ( x 1 ; y 1 ) не принадлежит окружности, тогда СM 1 ≠ R , а значит, ( x – x 1 ) 2 + ( у – у 1 ) 2 ≠ R 2 , т. е. если точка не принадлежит окружности, то еe координаты не удовлетворяют уравнению

( x – x 0 ) 2 + ( у – у 0 ) 2 = R 2 .

Таким образом, уравнение

( x – x 0 ) 2 + ( у – у 0 ) 2 = R 2

есть уравнение окружности с центром в точке С ( x 0 ; y 0 ) и радиусом R .

Заметим, что если центр окружности совпадает с началом системы координат, то уравнение окружности имеет вид

x 2 + y 2 = R 2 .

y

R

x

O

y

Задача . Составьте уравнение фигуры на плоскости, состоящей из всех точек, сумма квадратов расстояний которых от точек A ( –6; 0 )

и B ( 6; 0 ) равна 104.

Решение.

M

A

B

x

O

1) Пусть M ( x; y ) – точка, принадлежащая фигуре, уравнение которой необходимо составить. Тогда по условию задачи AM 2 + BM 2 = 104 .

2) Воспользуемся формулой для нахождения расстояния между точками, координаты которых известны. Получаем:

3) По условию задачи (x + 6) 2 + y 2 + (x – 6) 2 + y 2 = 104. После упрощения получаем x 2 + y 2 = 16.

Если точка M ( x; y ) не принадлежит фигуре, о которой идет речь в задаче, то AM 2 + BM 2 ≠ 104 , а значит, координаты точки M ( x; y ) не удовлетворяют уравнению x 2 + y 2 = 16. Таким образом, уравнение фигуры имеет вид x 2 + y 2 = 16 и фигура является окружностью с центром в начале координат и радиусом 4.

Координаты середины отрезка

Рассмотрим вопрос о вычислении координат середины отрезка, если известны координаты концов этого отрезка.

Пусть A ( x 1 ; y 1 ) и B ( x 2 ; y 2 ) – произвольные точки плоскости, а точка C ( x 0 ; y 0 ) – середина отрезка AB . Найдем координаты х 0 и y 0 .

Найдем координату x 0 .

1) Пусть отрезок AB не параллелен оси Oy , т. е. x 1 ≠ x 2 . Проведем через точки A , B и C прямые, параллельные оси Oy , которые пересекают ось Ox в точках A 1 ( x 1 ; 0 ) , B 1 ( x 2 ; 0 ) и C 0 ( x 0 ; 0 ) соответственно. Тогда по теореме Фалеса точка C 0 ( x 0 ; 0 ) – середина отрезка A 1 B 1 , т. е. A 1 C 0 = C 0 B 1 или |x 0 – x 1 | = |x 0 – x 2 | . Отсюда следует, что либо x 0 – x 1 = x 0 – x 2 , либо x 0 – x 1 = –(x 0 – x 2 ) . Так как x 1 ≠ x 2 , то первое равенство невозможно, а значит, верно второе равенство, из которого получаем, что

y

A

C

B

O

x

A 1

C 0

B 1

y

2) Пусть отрезок AB параллелен оси Oy , т. е. x 1 = x 2 . В этом случае все точки A 1 , B 1 , C 0 имеют одну и ту же абсциссу, а следовательно, формула

верна и в этом случае (рис. 1).

Координата y 0 точки C 0 находится аналогично. В этом случае рассматриваются прямые, параллельные оси Oх (рис. 2 ), а соответствующая формула имеет вид

A

C

B

x

O

Рис. 1

y

A

C

B

O

x

Рис. 2

y

A ( x 1 ; y 1 )

y 1

C ( x 0 ; y 0 )

y 0

B ( x 2 ; y 2 )

y 2

x 2

x 1

O

x 0

x

Середина C отрезка AB , где A ( x 1 ; y 1 ) , B ( x 2 ; y 2 ) :

Задача. Концами отрезка служат точки A ( –8; –5 ) , B ( 10; 4 ) . Найдите координаты точек C и D , которые делят отрезок AB на три равные части.

Решение.

Пусть точки C и D имеют координаты ( x C ; y C ) и ( x D ; y D ) .

1) Найдем абсциссы точек C и D .

Так как точка C – середина отрезка AD , то выполняется равенство

так как точка D – середина отрезка CB , то

Решив систему 2x C = x D – 8 ,

2x D = 10 + x C ,

находим x C = –2 , x D = 4 .

2) Найдем ординаты точек С и D .

Для нахождения ординат точек С и D воспользуемся равенствами

Решив систему

2y C = y D – 5 ,

2y D = y C + 4 ,

находим y C = –2 , y D = 1 .

Ответ: C ( –2; –2 ), D ( 4; 1 ).

Уравнение прямой

l

y

Выведем уравнение прямой, проходящей через две точки, координаты которых известны.

Пусть на плоскости дана прямая l и выбрана прямоугольная система координат. Рассмотрим две различные точки A ( x 1 ; y 1 ) и B ( x 2 ; y 2 ) такие, что прямая l является серединным перпендикуляром для отрезка AB .

M

A

B

O

x

1) Если точка M ( x; y ) лежит на прямой l , то AM = BM . Следовательно, координаты точки M удовлетворяют уравнению

( x – x 1 ) 2 + ( y – y 1 ) 2 = ( x – x 2 ) 2 + ( y – y 2 ) 2 ,

которое после преобразования принимает вид

ax + by + c = 0 ,

где a = 2 ( x 1 – x 2 ) , b = 2 ( y 1 – y 2 ) , c = x 2 2 + y 2 2 – x 1 2 – y 1 2 . Заметим, что хотя бы один из коэффициентов a , b уравнения ax + by + c = 0 не равен нулю, т. к. точки A и B различные, а значит, хотя бы одна из разностей x 1 – x 2 , y 1 – y 2 не равна нулю.

Таким образом, если точка M лежит на прямой l , то ее координаты удовлетворяют уравнению ax + by + c = 0 , где коэффициенты a и b одновременно не равны нулю.

y

l

2) Если точка M ( x; y ) не лежит на прямой l , то AM ≠ BM и AM 2 ≠ BM 2 , а следовательно, координаты точки M не удовлетворяют уравнению ax + by + c = 0 .

M

A

B

O

x

Таким образом, уравнением прямой в прямоугольной системе

координат является уравнение первой степени

ax + by + c = 0 ,

где a и b одновременно не равны нулю.

• Если a = 0 , то y = c 1 – прямая || Ox .
• Если b = 0 , то y = c 2 – прямая || Oy .
• Если с = 0 , то прямая проходит через O ( 0; 0 ) .

Задача. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ACB с

прямым углом при вершине C . Найдите множество точек M плоскости, для каждой из которых выполняется условие AM 2 + BM 2 = 2CM 2 .

Решение.

Рассмотрим систему координат, начало которой совпадает с вершиной C , а вершины A и B расположены на осях Ox и Oy , как показано на рисунке. Если катет данного треугольника равен a , тогда ( 0; 0 ) , ( a; 0 ) , ( 0; a ) – координаты точек C , A и B в выбранной системе координат соответственно. Пусть ( x; y ) – координаты точки M , принадлежащей искомому множеству точек.

y

B

A

x

C

Воспользуемся формулой для нахождения расстояния между точками, если известны их координаты:

По условию задачи AM 2 + BM 2 = 2CM 2 , следовательно,

( x – a ) 2 + y 2 + x 2 + ( y – a ) 2 = 2 ( x 2 + y 2 ) .

Отсюда получаем уравнение x + y – a = 0 .

Если точка M ( x; y ) не принадлежит искомому множеству точек, то

AM 2 + BM 2 ≠ 2CM 2 , а значит, координаты точки M не удовлетворяют

уравнению x + y – a = 0 . Таким образом, x + y – a = 0 есть уравнение

искомого множества точек и это множество есть прямая, на которой

лежит гипотенуза AB данного треугольника.

Заключение

Суть координатного метода заключается в том, что введение системы координат позволяет записать условие задачи в координатах и решать еe, используя знания по алгебре.