Презентация на тему "Способы решения систем уравнений"

Способы решения систем уравнений

Автор:

Кудряшова Любовь Александровна, учитель математики.

МОУ СОШ № 9г. Переславль-Залесский, 2010 г

Цель

Рассмотреть различные способы решения систем уравнений

Из истории решения системы уравнений

В древневавилонских текстах, написанных в III — II тысячелетиях до н. э., содержится немало задач, решаемых с помощью составления систем уравнений. Например: «Площади двух своих квадратов я сложил: Сторона второго квадрата равна стороны первого

и еще 5 ».

Соответствующая система уравнений в современной записи имеет вид:

Хотя вавилоняне и не имели алгебраической

символики, они решали задачи алгебраическим

методом.

Из истории решения системы уравнений

Диофант, который не имел обозначений для многих неизвестных, прилагал немало усилий для выбора неизвестного таким образом, чтобы свести решение системы к решению одного уравнения.

Задача 21.

«Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а сумма их квадратов — 208»

Различные способы решения систем уравнений

• метод подстановки
• метод сложения
• метод введения новых переменных
• графический метод

Метод подстановки

• Одно из уравнений системы преобразуют к виду, в котором y выражено через х ( или х через y )
• Полученное выражение подставляют вместо y (или вместо х ) во второе уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной
• Находят корни этого уравнения
• Воспользовавшись выражением y через х(или х через y ), находят соответствующие значения х (или y )

Метод сложения

• Преобразовать коэффициенты так, чтобы коэффициенты при х или у были противоположными числами
• Сложить получившиеся уравнения
• Решить уравнение с одной переменной

Метод введения новых переменных

• Замени одно или два выражения в уравнениях системы новыми переменными так, чтобы вновь полученные уравнения стали более простыми.
• Реши полученную систему уравнений методам наиболее подходящим для э той системы уравнений.
• Сделай обратную замену, для того, чтобы найти значения первоначальных переменных.
• Запиши ответ в виде пар значений ( x , y ), которые были найдены на третьем шаге.

Графический метод

• Выразить в обоих уравнениях системы переменную у через переменную х
• Построить графики функций в одной системе координат.
• Отметить точки пересечения графиков, выписать их координаты.
• Записать в ответ полученные пары

чисел (х;у).

Способ подстановки

Решить систему уравнений:

Решение:

xy = -3;

Если z =9, то ,

z =1, то

-3,-1,1,3 отличны от нуля, значит, они являются корнями уравнения:

Ответ: (3;-1), (-3;1), (-1;3), (1;-3)

Метод сложения

Решить систему уравнений:

Умножу первое уравнение системы на число 2,

а второе на число -3, получу

Сложу уравнение системы:

Решу уравнение:

Подставлю найденное число вместо n в первое уравнение исходной системы:

Решу уравнение относительно m :

• Система имеет одно решение: (-0,5;1)

• Ответ: ( - 0,5;1)

Преимущества и недостатки метода

Преимущества:

• Систему уравнений легче решать методом сложения, когда коэффициенты при X и Y сразу являются противоположными числами .
• Метод позволяет быстро исключить одну из неизвестных переменных и найти другую.

Недостатки:

• Метод сложения невозможно применить , когда у переменных в двух уравнениях разные

показатели степени.

• показатели степени.

Метод введения новых переменных

и учитывая, что

Пусть

получим:

или

Если u=-3, то

Т огда получим:

и

Полученные системы тоже являются симметричными системами, которые уже решали.

Итак, (3;1), (-1;3), (-3;1),(1;-3) - решения данной системы.

Графический способ

В одной системе координат построим графики уравнений: ху= -3 и

Г рафиком уравнения ху=-3 является гипербола, в етви которой расположены во II и IV координатных четвертях.

Г рафиком уравнения является окружность с центром в точке (0;0) и радиусом

Графики пересекаются в четырех точках (они обозначены буквами А, В, С, Д), следовательно, данная система уравнений имеет четыре решения:

(3;-1), (-3;1), (-1;3), (1;-3).

Ответ: (3;-1), (-3;1), (-1;3), (1;-3).

Преимущества и недостатки метода

Графический метод решения систем , как и графический метод решения уравнений , красив , но ненадежен :

• во-первых , потому , что графики уравнений мы сумеем построить далеко не всегда;
• во-вторых , даже если графики уравнений удалось построить , точки пересечения могут быть не такими «хорошими» , как в специально подобранных примерах учебника, а то и вовсе могут оказаться за пределами чертежа.

Проверь себя

• Реши систему уравнений, используя метод подстановки:
• Реши систему уравнений, используя метод сложения:
• Реши систему уравнений , используя графический способ:
• Реши систему уравнений, используя метод подстановки:

Вывод

Мы рассмотрели четыре различных способов решения систем уравнений. Каждый выберет для себя способ, который ему больше всего понравился, самое главное - что каждый из Вас научился решать системы такого вида и поэтому эпиграфом могли служить слова Б.В.Гнеденко:

«Ничто так не содействует усвоению предмета, как действие с ним в разных ситуациях»

Информационные источники

• http :// festival .1 september . ru / articles /515367/
• http://revolution.allbest.ru/mathematics/00029395_0.html
• http://www.schoolife.ru/education/algebra/eqs-ineqs/sistemy-yravnenii.html