Презентация к уроку по теме "Целые уравнения высших степеней и способы их решения".

Урок алгебры в 9 классе

Девиз урока:

«Чем больше я знаю, тем больше умею.»

Эпиграф

Кто ничего не замечает,

Тот ничего не изучает.

Кто ничего не изучает,

Тот вечно хнычет и скучает.

(поэт Р.Сеф).

2х+5=10х-4

Х 2 -5х+6=0

Х 3 -6х=0

3х 3 -х 2 +18х-6=0

Х 4 -7х+12=0

Х 4 +х 3 -5х 2 +6х-2=0

Способы решения целых уравнений

Способы решения:

Разложение на множители

Введение новой переменной

Графический

вынесение общего множителя за скобки

способ группировки

тождества сокращенного умножения

Тема урока :

Целые уравнения высших степеней и способы их решения.

Уравнение → способ

1. х 4 -2х 2 -8=0

2. х 3 -4х 2 -9х+36=0

3. х 3 -3х-2=0

4. х 3 -8х 2 +13х-2=0

Биквадратное уравнение.

Введение новой переменной

Разложение на множители способом группировки

Графический способ

Цели урока :

• узнать новые способы решения целых уравнений высших степеней

• научиться применять новые способы при решении целых уравнений.

• Теорема 1 . Если уравнение a 0 x n + a 1 x n-1 + … + a n-1 x + a n = 0 имеет целые коэффициенты, причём свободный член отличен от нуля, то целыми корнями такого уравнения могут быть только делители свободного члена.

• Теорема 2. ( теорема Безу ). Если число а является корнем многочлена

Р(х)= a 0 x n + a 1 x n-1 + … + a n-1 x + a n = 0, то этот многочлен можно без остатка разделить на двучлен (х-а) и представить его в виде произведения (х-а)Р 1 (х),где Р 1 (х)-многочлен n-1ой степени.

Алгоритм решения целых уравнений с помощью теорем:

1. Найти делители свободного члена.

2.Среди делителей найти корень уравнения путем проверки.

3.Разделить многочлен правой части уравнения на выражение ( х-а), где а – найденный путем подбора корень уравнения.

4.Разложить многочлен на множители.

5. Найти корни уравнения.

6.Записать ответ.

Физкультминутка

Посмотри внимательно!

  х 4 -5х 3 +6х 2 -5х+1=0

Определение. Если коэффициенты целого уравнения, равноудалённые от концов , равны, то такое уравнение называется возвратным.

Алгоритм решения возвратных уравнений

1.Разделить обе части уравнения на х 2 .

2.Сгруппировать слагаемые (первый с последним, второй с четвёртым).

3. Ввести новую переменную t=x+ ,тогда

= + 2x +

  - 2= +

4. Выполнить подстановку и решить квадратное уравнение.

5.Вернуться к замене и решить получившиеся уравнения.

6.Записать ответ.

(х+1)(х+2)(х+4)(х+5) = 40

Уравнения вида

  (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = А, где а + d = c + b называются симметрическими .

1+5=2+4

( х+1)(х+2)(х+4)(х+5) = 40

Решение.

1+5=2+4

(х+1)(х+5)(х+2)(х+4)=40

(х 2 +6х+5)(х 2 +6х+8)=40

Пусть х 2 +6х=t,тогда получим

(t+5)(t+8)=40

t 2 +13t+40=40

t 2 +13t=0

t=0 или t=-13

х 2 +6х=0 х 2 +6х=-13

х=0 х=-6 х 2 +6х+13=0

Д=-16˂0,корней нет

Ответ: -6;0.

Решить уравнение самостоятельно!

(х-1)(х-3)(х+5)(х+7) = 297

Проверим решение! (х-1)(х-3)(х+5)(х+7) = 297

-1+5=-3+7

(х-1)(х+5)(х-3)(х+7)=297

(х 2 +4х-5)(х 2 +4х-21)=297

Пусть t=х 2 +4х, тогда

(t-5)(t-21)=297

t 2 -26t -192=0

D=676+768=1444

t 1 =-6 t 2 =32

x 2 +4x=-6 x 2 +4x=32

x 2 +4x+6=0 x 2 +4x-32=0

D=-8˂0 корней нет х=-8 х=4

Ответ: -8; 4.

Подведение итогов.

• Какие цели мы ставили в начале урока?
• Наши цели достигнуты?
• Что нового вы узнали на уроке?
• Как вы можете оценить свою работу?

« Мне приходиться делить своё время между политикой и уравнениями. Однако уравнение, по – моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнение будет существовать вечно».

  (Эйнштейн)

Спасибо за урок!

До свидания !