kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Презентация для занятия элективного курса "Схема Горнера и её применение"

Нажмите, чтобы узнать подробности

Занятие элективного курса предпрофильной подготовки в 9 классе.
Тема занятия: «Схема Горнера и её применения»

Цели: 1. В направлении личностного развития: развитие интереса к математическому творчеству и математических способностей
            2. В метапредметном предметном направлении: формирование общих способов интеллектуальной деятельности, характерных для математики и являющихся основой познавательной культуры, значимой для различных сфер человеческой деятельности
            3. В предметном направлении: овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми для продолжения обучения в старшей школе или иных общеобразовательных учреждениях, изучения смежных дисциплин, применения в повседневной жизни
Задачи:
Образовательные: 
•    научить находить значение многочлена, его корни, используя теорему Безу, схему Горнера; 
•    сформировать у учащихся умения и закрепить навыки решения алгебраических уравнений; 
•    научить  применять ключевые задачи не только в знакомой, но и в модифицированной и незнакомой ситуациях.
Развивающие 
•    развить умения самостоятельного решения уравнений и задач, связанных с преобразованием многочленов;
•    содействовать развитию устойчивого интереса к математике с помощью математической строгости умозаключения;
•    ознакомить с логическими приемами мышления.
Воспитательные: 
•    воспитать чувство ответственности, формировать навыки самооценки; 
•    содействовать желанию расширить и углубить знания, полученные на уроке, 
•    воздействовать на мотивацию к учению с помощью историко-математического материала;
•    содействовать повышению грамотности устной и письменной речи учащихся.
Тип урока: урок « открытия» новых знаний
Результаты обучения: 1. Личностные: Представление о математической науке как сфере человеческой деятельности, об этапах ее развития, о ее значимости для развития цивилизации
                                              2. Метапредметные: Умение применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, видеть различные стратегии решения задач;
Понимание сущности алгоритмических предписаний и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом;
                                      3. Предметные: Овладение символьным языком алгебры, приемами выполнения тождественных преобразований рациональных выражений, решения уравнений, систем уравнений, неравенств и систем неравенств; умение использовать идею координат на плоскости для интерпретации уравнений, неравенств, систем; умение применять алгебраические преобразования, аппарат уравнений и неравенств для решения задач из различных разделов курса;
                
Оборудование: компьютер, проектор, экран, маркерная доска, карточки с заданиями
Форма организации учебной деятельности: Индивидуальная, фронтальная, групповая, самопроверка.
План урока:
1. Организационный момент: вступительное слово учителя о цели занятия
2. Актуализация опорных знаний (10 мин.): 
1)    Повторение теории о многочленах: (вопросы учащимся)
a.    Что мы называем многочленом? ( Что называется одночленом? Когда одночлен  представлен в стандартном виде?)

Примеры: 2х2+3у;  7х5у3-5х2у+7х-5;   6х5+9х4-8х+6

b.    Сколько переменных может входить в многочлен? С многочленами скольких  переменных мы чаще всего  работаем?
c.    Когда многочлен представлен в стандартном виде?

Примеры:  6х4+х3-х;  х7+х6-6х5+х2-5х; х3+5х2+11х+7; 

2)    Как определить степень многочлена, находящегося в стандартном виде?
Определите степени многочленов.

Разложение многочлена на множители:
a.    Что значит разложить многочлен на множители?
b.    Какие способы разложения мы знаем?
Учащиеся у доски выполняют разложения: 
1.Вынесением за скобку общего множителя:
5х3+10х=5х(х2+2)

2.С помощью группировки:

х3+3х2-25х-75= (х2-25)(х+3)

3.С помощью формул сокращённого умножения:
25х2-36=(5х-6)(5х+6)
16х2-80х+25=(4х-5)2
3. Постановка проблемы.
Разложите многочлен на множители:  3х3+2х2-х-4=

Учитель: Эта задача не поддаётся известным способам, но выход есть. Нужно подбором найти хотя бы одно значение х, при котором значение многочлена равно нулю.
Учащиеся ищут значение х=1. Остальной ход смотрят на слайде 2.

3х3+2х2-х-4=(х-1)(3х2+5х+4)+0
Учитель: Наш многочлен разложился на два множителя. Всегда ли это возможно? Да, если х=а – корень многочлена.

 

4. Изучение нового  материала
 Учитель: Перепишем данное равенство в виде: (3х3+2х2-х-4) : (х-1)= (3х2+5х+4)
Говорят ещё, что многочлен 3х3+2х2-х-4 разделили на двучлен (х-1) нацело.
На это есть специальная теорема – теорема Безу( слайд 3)
Учащиеся записывают теорему в тетради.
 Понравился ли вам такой способ разложения? Очевидно, нет, из-за его трудоёмкости. Но есть два других способа, более лёгких.
1 способ. Деление «уголком»
Разбор метода на слайде 4.
Попробуйте самостоятельно выполнить такое разложение, предварительно отыскав корень многочлена.
 Кстати, его легко найти, зная тот факт, что он находится среди делителей свободного члена многочлена.
Задание1(выполняется на доске): 1. Разложить на множители многочлен: 
                                                                 х3-2х2-5х+6=(х-1)(х2-х-6)

                                                         2. Разложить на множители многочлен:

                                                               х3+5х2+11х+7=(х+1)(х2+4х+7)

Учитель: Но и это не предел! Есть способ ещё более быстрый и лёгкий. Это применение схемы Горнера.(СЛАЙД 4). 
Учащиеся разбирают схему Горнера, заносят в тетради алгоритм. Учитель рассказывает о Джордже Горнере(слайд 6)
С помощью схемы Горнера можно «автоматизировать» и процесс нахождения корней многочлена. Раньше вы искали их подбором, а теперь можно применить схему Горнера. Ведь если последнее число в таблице 0, то взятое число – корень многочлена. (Слайд8)

Задание2: Разложите многочлен на множители, используя схему Горнера:

х4+3х3-13х2-9х+30=(х-2)(х+5)(х2-3)

    1    3    -13    -9    30
1    1    4    -9    -18    12
-1    1    2    -15    6    24
2    1(х3)    5(х2)    -3(х)    -15    0
-2    1    3    -9    3    -6
3    1    8    21    48    144
-3    1    2    -9    3    -9
5    1    10    47    220    1100
-5    1(х2)    0(х)    -3    0    0
5. Актуализация  новых знаний.
 
Учитель: Ребята, а зачем мы раскладываем многочлен на множители?
Учащиеся дают ответы: чтобы сокращать дроби и т.д.
Учитель: А если мы приравняем многочлен к нулю, то что получим? Верно, уравнение. Уравнение той же степени, что и многочлен. 
Каких степеней уравнения мы умеем решать?( Первой, второй, биквадратные и некоторые третьей)
 Как мы их решаем? (по формулам)
 А если многочлен разложен на множители?(приравниваем к нулю каждый множитель).
Но теперь мы можем разложить любой многочлен на множители, а значит…можем решать уравнения высших степеней.
Учащиеся разбирают решение уравнения пятой степени(Слайд 9)

6. Практическое применение новых знаний

Задание 3.(на доске)
Решить уравнение, разложив на множители левую часть.
1)Х3+5х2+5х-3=0
Х=-3-корень, дальше по схеме Горнера 
    1    5    5    -3
-3    1    2    -1    0
   
Х3+5х2+5х-3=(х+3)(х2+2х-1)=0   ( Квадратное уравнение решаем по формуле.)
Ответ: { -3; -1-√2; -1+√2}
3)    Решить уравнение х4-3х3-8х2+12х+16=0
    1    -3    -8    12    16
1    1    -2    -10    2    18
-1    1    -4    -4    16    0

х4-3х3-8х2+12х+16=(х+1)(х3-4х2-4х+16)=0
    1    -4    -4    16
-1    1    -5    1    15
1    1    -3    -7    9
2    1    -2    -8    0

х4-3х3-8х2+12х+16=(х+1)(х-2)(х2-2х-8)=0   ( Квадратное уравнение решаем по формуле.)
Ответ: {-1;2;4;-2}

 

7. Самостоятельная работа в группах

Учащиеся объединяются в группы по 4 человека. Группы с нечётными номерами решают вариант 1, а группы с чётными номерами – вариант 2. 
Вариант 1.
Решить уравнение: х3-4х2+х+6=0

Вариант 2.
Решить уравнение: х3-3х2+6х-4=0

8. Рефлексия

Учащиеся ставят «+» возле смайликов: весёлого( всё понял), озабоченного( понял, но не всё), грустного(ничего не понял)
9.Подведение итогов.
Учитель: Какова же была цель нашего занятия?  Что вы научились делать на занятии?  С чего вы  начнёте дома решение уравнений высших степеней?  Объясните алгоритм действия Схемы Горнера.
10. Домашнее задание
1.Найти корни многочлена по схеме Горнера:
а) f (x) =  x 3 + 2 x 2 – 5 x – 6; 
б) f (x) =  x 5 – 5 x 4 + 6 x 3 – x 2 + 5 x – 6; 
2. Решить уравнения
а) х3 - 7 х + 6 = 0
б) 6 х3 + 11х2 +3 х – 2 = 0

Список используемых ресурсов

1.    Методика преподавания темы «Схема Горнера, теорема Безу и деление уголком». 
Из копилки приемов репетитора по математике Колпакова А.Н., 2010г.
http://www.ankolpakov.ru/
2.    «Схема Горнера » Е.А.Максименко, Южный федеральный университет, 2007 г.
3.     Исторические сведения: ВИКИПЕДИЯ

 

 

.

Просмотр содержимого документа
«Презентация для занятия элективного курса "Схема Горнера и её применение" »

Схема ГОРНЕРА  и её применения. Разработка учителя математики МОУ СОШ №3 г. Хвалынска Грибановой Т.А. 2014 год

Схема ГОРНЕРА и её применения.

Разработка учителя математики МОУ СОШ №3 г. Хвалынска Грибановой Т.А.

2014 год

X=1 – корень Представим P(x) в виде : 3x 3 +2x 2_ x-4 = 3x 2 (x-1) + 5x 2 -x-4 = 3x 3 -3x 2 = 3x 2 (x-1) + 5x (x-1)+ 4x-4 = 5x 2 -5x = 3x 2 (x-1)+ 5x (x-1)+ 4 (x-1)+ 0 = (x-1)( 3x 2 +5x+4 ). Заметим, что остаток 0 равен значению Р(1)" width="640"

Разложение многочлена на множители.

P(x)= 3x 3 +2x 2_ x-4 – многочлен

  • P(1)=3 ·1 3 +2·1 2 -1-4=0 = X=1 – корень
  • Представим P(x) в виде : 3x 3 +2x 2_ x-4 = 3x 2 (x-1) + 5x 2 -x-4 =

3x 3 -3x 2

= 3x 2 (x-1) + 5x (x-1)+ 4x-4 =

5x 2 -5x

= 3x 2 (x-1)+ 5x (x-1)+ 4 (x-1)+ 0 = (x-1)( 3x 2 +5x+4 ). Заметим, что остаток 0 равен значению Р(1)

Теорема Безу Безу Этьен (Bezout Etienne)    Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х-а равен значению этого многочлена при х=а, т.е. Р(а)=R. Следствие  Для того, чтобы многочлен Р(х) делился на двучлен х-а, необходимо и достаточно, чтобы при х=а он обращался в нуль.

Теорема Безу

Безу Этьен

(Bezout Etienne)

Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х-а равен значению этого многочлена при х=а, т.е. Р(а)=R.

Следствие

Для того, чтобы многочлен Р(х) делился на двучлен х-а, необходимо и достаточно, чтобы при х=а он обращался в нуль.

Таким образом, если а - корень многочлена, то его можно разложить на множители, один из которых х-а , а другой получается одним из способов: Схема Горнера Делением уголком 3x 3 +2x 2_ x- 4 x-1   ·x 3 + 3 - 4 2 3 - 4 · x - 1 ·x 2 2 - 1 P(x) = 1 1 X = - корень, Р (1)=0   + + +  3  5  4  0 × × × 3x 3 + 2x 2 –x- 4= (x-1) · ( 3x 2 +5x+4 )

Таким образом, если а - корень многочлена, то его можно разложить на множители, один из которых х-а , а другой получается одним из способов:

  • Схема Горнера
  • Делением уголком

3x 3 +2x 2_ x- 4 x-1

·x 3 +

3

- 4

2

3

- 4

· x

- 1

·x 2

2

- 1

P(x) =

1

1

X =

- корень, Р (1)=0

+

+

+

3

5

4

0

×

×

×

3x 3 + 2x 2 –x- 4= (x-1) · ( 3x 2 +5x+4 )

Разделим многочлен Р(х) на двучлен х-а, где а - любое число: Р(х) : (х-а) Согласно  теореме  Безу Остаток 0 Остаток = 0 Х = а – не корень  Р(а) = остаток Х = а- корень  Р(а) = 0   Алгоритм можно использовать для вычисления значения многочлена при любом значении переменной. Далее

Разделим многочлен Р(х) на двучлен х-а, где а - любое число:

Р(х) : (х-а)

Согласно

теореме

Безу

Остаток

0

Остаток = 0

Х = а – не корень

Р(а) = остаток

Х = а- корень

Р(а) = 0

Алгоритм можно использовать для вычисления значения многочлена при любом значении переменной.

Далее

Уильямс Джордж Горнер Горнер Вильямc Джордж (1786-22.9.1837) - английский математик. Окончил Бристольскую школу (1800). С 1800 преподавал там же, в 1809-1837 гг. работал в школах Бата.  Исследования относятся к теории алгебраических уравнений. Разработал (1819) способ приближенного решения уравнений любой степени, который несколько раньше предложил П. Руффини(этот способ был известен китайцам еще в XIII в.). Ввел существенно важный для алгебры способ деления многочлена на двучлен, названных схемой Руфини-Горнера.

Уильямс Джордж Горнер

Горнер Вильямc Джордж (1786-22.9.1837) - английский математик. Окончил Бристольскую школу (1800). С 1800 преподавал там же, в 1809-1837 гг. работал в школах Бата.

Исследования относятся к теории алгебраических уравнений. Разработал (1819) способ приближенного решения уравнений любой степени, который несколько раньше предложил П. Руффини(этот способ был известен китайцам еще в XIII в.). Ввел существенно важный для алгебры способ деления многочлена на двучлен, названных схемой Руфини-Горнера.

Вычисление значений многочлена Найдём значение f(x) = x 3 - 3 x 2 + 7 x - 5 в точке 3: 1 3 1 -3 7 0 -5 7 16 + + + ? ? ? ? Х ОТВЕТ: f(3) = 16

Вычисление значений многочлена

Найдём значение f(x) = x 3 - 3 x 2 + 7 x - 5 в точке 3:

1

3

1

-3

7

0

-5

7

16

+

+

+

?

?

?

?

Х

ОТВЕТ: f(3) = 16

Поиск целых корней многочлена Используя схему Горнера, найдём целые корни многочлена  f(x) = x 4  – 2 x 3  + 2 x 2  – x - 6 Целые корни многочлена с целыми коэффициентами нужно искать среди делителей свободного члена:  ±1, ±2, ±3, ±6. 2 -2 1 -1 -6 1 0 1 -1 1 -6 -1 1 0 -3 5 -6 -15 -4 9 1 -1 3 -1 0 1 2 F(x) = (x+1)(x 3 -3x 2 +5x-6) =(x+1)(x-2)(x 2 –x +3) Многочлен x 2 –x +3 не имеет целых корней (DОТВЕТ: {-1; 2}

Поиск целых корней многочлена

Используя схему Горнера, найдём целые корни многочлена f(x) = x 4 – 2 x 3 + 2 x 2 x - 6

Целые корни многочлена с целыми коэффициентами нужно искать среди делителей свободного члена:

±1, ±2, ±3, ±6.

2

-2

1

-1

-6

1

0

1

-1

1

-6

-1

1

0

-3

5

-6

-15

-4

9

1

-1

3

-1

0

1

2

F(x) = (x+1)(x 3 -3x 2 +5x-6) =(x+1)(x-2)(x 2 –x +3)

Многочлен x 2 –x +3 не имеет целых корней (DОТВЕТ: {-1; 2}

Решение алгебраических уравнений Решить уравнение : 4x 5 +4x 4 -13x 3 -6x 2 +9x+2=0 ПОДСКАЗКИ ПРОВЕРКА 1. Найдём целый корень уравнения из делителей свободного члена 2: ±1,±2 4 -2 4 4 -13 -4 -6 -5 9 4 2 1 0 4x 5 +4x 4 -13x 3 -6x 2 +9x+2=  (x+2)(4x 4 -4x 3 -5x 2 +4+1) ПРОВЕРКА 2. Найдём целый корень второго многочлена из делителей его свободного члена 1: ±1. 1 4 4 -4 0 -5 -5 4 -1 1 0 4x 5 +4x 4 -13x 3 -6x 2 +9x+2= ПРОВЕРКА  (x+2)(x-1)(4x 3 -5x-1) -1 4 0 4 -4 -5 -1 -1 0 3. Найдём целый корень третьего многочлена. 4x 5 +4x 4 -13x 3 -6x 2 +9x+2=(x+2)(x-1)(x+1)(4x 2 -4x-1) 4x 2 -4x-1=0; X 1 =0,5(1- √2); x 2 =0,5(1+√2) ОТВЕТ: { -2; 1; -1; 0,5(1- √2); 0,5(1+√2)} 9

Решение алгебраических уравнений

Решить уравнение : 4x 5 +4x 4 -13x 3 -6x 2 +9x+2=0

ПОДСКАЗКИ

ПРОВЕРКА

1. Найдём целый корень уравнения из делителей свободного члена 2: ±1,±2

4

-2

4

4

-13

-4

-6

-5

9

4

2

1

0

4x 5 +4x 4 -13x 3 -6x 2 +9x+2=

(x+2)(4x 4 -4x 3 -5x 2 +4+1)

ПРОВЕРКА

2. Найдём целый корень второго многочлена из делителей его свободного члена 1: ±1.

1

4

4

-4

0

-5

-5

4

-1

1

0

4x 5 +4x 4 -13x 3 -6x 2 +9x+2=

ПРОВЕРКА

(x+2)(x-1)(4x 3 -5x-1)

-1

4

0

4

-4

-5

-1

-1

0

3. Найдём целый корень третьего многочлена.

4x 5 +4x 4 -13x 3 -6x 2 +9x+2=(x+2)(x-1)(x+1)(4x 2 -4x-1)

4x 2 -4x-1=0; X 1 =0,5(1- √2); x 2 =0,5(1+√2)

ОТВЕТ: { -2; 1; -1; 0,5(1- √2); 0,5(1+√2)}

9

Самостоятельная работа Вариант 1 Вариант 2 Решить уравнение:   х 3 -4х 2 +х+6=0 Решить уравнение:  х 3 -3х 2 +6х-4=0

Самостоятельная работа

Вариант 1

Вариант 2

Решить уравнение:

х 3 -4х 2 +х+6=0

Решить уравнение:

х 3 -3х 2 +6х-4=0

Список используемых ресурсов.

Список используемых ресурсов.

  • Методика преподавания темы «Схема Горнера, теорема Безу и деление уголком». Из копилки приемов репетитора по математике Колпакова А.Н., 2010г. http://www.ankolpakov.ru/
  • «Схема Горнера » Е.А.Максименко, Южный федеральный университет, 2007 г.
  • Исторические сведения: ВИКИПЕДИЯ


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 9 класс.
Урок соответствует ФГОС

Скачать
Презентация для занятия элективного курса "Схема Горнера и её применение"

Автор: Грибанова Татьяна Алексеевна

Дата: 14.11.2014

Номер свидетельства: 130809

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

Распродажа видеоуроков!
ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства