Презентация к уроку по теме "Теорема Виета"

Решение квадратных уравнений по Теореме Виета

Цели урока:

• Повторить решение квадратных уравнений по формуле.
• Научиться решать приведенные квадратные уравнения, пользуясь теоремой обратной теореме Виета.
• Проверить свои знания с использованием ЭВМ.

Найдите сумму и произведение чисел

-1• 3 = -3

-1 +3 = 2

-1 и 3

1+ (-6)=-5

1 • (-6) = -6

1 и -6

-5 •(-7)= 35

-5+(-7) = -12

-5 и -7

-10 •3=-30

-10+3= -7

-10 и 3

Представьте число в виде произведения двух множителей

• -6 = -6 • 1 = 6 • (-1) = 3 • (-2) = 2 • (-3);

• -18 = 18 • (-1) = -1 • 18= 9 • (-2)=

= 2 •(-9) =3 • (-6)= 6 • (-3);

• 5 = 1 • 5 = -1 • (-5).

Решение полного квадратного уравнения.

- дискриминант квадратного уравнения

- корней нет

- один корень

- два корня

Назовите приведенные квадратные уравнения:

1. х 2 -15х+14=0;

2. 9-2х 2 -3х=0

3. х 2 +8х+7=0;

4. 3х 2 -2х - 4 =0 ;

5. 6х 2 - 2 + 6х =0 ;

6. х 2 -9х-20 =0 .

№ 1 Решить приведённое квадратное уравнение, найти сумму и произведение корней, записать ответы в таблице

Уравнение

Корни

х 1 и х 2

х 2 – 2 х – 3 = 0

Х 2 + 5 х – 6 = 0

Х 2 – 1 х –12 = 0

х 2 + 7 х + 12 = 0

х 1 + х 2

х 1 · х 2

- b

c

-3

2

-1; 3

1; -6

-6

-5

-3; 4

1

-12

-3; -4

-7

12

Вывод:

1 ) х 1 + х 2 = - b

2) х 1 • х 2 = c

Теорема Виета.

Если ч исла х 1 и х 2

являются корнями уравнения

х 2 + в х+ с =0

то справедливы формулы

т.е. сумма корней приведённого квадратного уравнения равна

второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком,

а произведение корней равно свободному члену . (Доказательство в учебнике на стр.127)

c

- b

Историческая справка

Впервые эти выводы сделал

французский математик

Франсуа Виет (1540 – 1603 гг.).

• По профессии юрист, был адвокатом, советником королей Генриха III и IV. Во время войны Франции и Испании раскрыл шифры испанской тайной почты, за что испанская инквизиция приговорила ученого к сожжению на костре, провозгласив, колдуном и вероотступником. К счастью Генрих IV его не выдал священникам.

Франсуа Виет ввел в алгебру буквенные обозначения, до него в математике не было формул. И доказал теорему, которая упростила решение квадратных уравнений..

№ 2. Выберите уравнение сумма корней которого равна – 6 , а произведение равно – 11 .

1) х² - 6х + 11 = 0

ТЕОРЕМА

х 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = - b

x 1 • x 2 = c

2) х² + 6х - 11 = 0

з) х² + 6х + 11 = 0

4) х² - 11х - 6 = 0

5) х² + 11х - 6 = 0

Найдите сумму и произведение корней уравнения х² - 3х – 5 = 0 ( выберите правильный ответ ) .

1) х 1 + х 2 = - 3, х 1 • х 2 = - 5

ТЕОРЕМА

х 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = - b

x 1 • x 2 = c

2) х 1 + х 2 = - 5, х 1 • х 2 = - 3

З) х 1 + х 2 = 3, х 1 • х 2 = - 5

4) х 1 + х 2 = 5, х 1 • х 2 = - 3

Правильно ли найдены корни уравнения?

• х 2 +3х -40=0 КОРНИ 5 и -8;

• х 2 -2х – 3 =0 КОРНИ 1 и 3;

Теорема, обратная теореме Виета:

Если числа таковы, что

то и - корни уравнения

0, х 1 + х 2 = 2, х 1 ∙ х 2 = - 8 2 ∙ (-4) ; - 2 ∙ 4 ; 1 ∙ (-8) ; - 1 ∙ 8 х 1 = - 2 , х 2 = 4 2) х² + 7х + 12 = 0 Д 0, х 1 + х 2 = - 7, х 1 ∙ х 2 = 12 х 1 = - 3 , х 2 = - 4 з) х² - 8х - 9 = 0 Д 0, х 1 + х 2 = 8, х 1 ∙ х 2 = - 9 х 1 = - 1 , х 2 = 9" width="640"

Для каждого уравнения укажите, если это возможно сумму и произведение корней .

Для каждого уравнения попытайтесь подобрать два числа х 1 и х 2 так, чтобы выполнялись получившиеся равенства .

1) х² - 2х - 8 = 0

Д 0, х 1 + х 2 = 2, х 1 ∙ х 2 = - 8

2 ∙ (-4) ; - 2 ∙ 4 ; 1 ∙ (-8) ; - 1 ∙ 8

х 1 = - 2 , х 2 = 4

2) х² + 7х + 12 = 0

Д 0, х 1 + х 2 = - 7, х 1 ∙ х 2 = 12

х 1 = - 3 , х 2 = - 4

з) х² - 8х - 9 = 0

Д 0, х 1 + х 2 = 8, х 1 ∙ х 2 = - 9

х 1 = - 1 , х 2 = 9

№ 3. Найдём корни уравнений :

№ п/п

Уравнение

х 2 + b x + c = 0

1

b

х 2 + 3 x + 2 = 0

2

c

х 2 – 1 5x +14 =0

3

x 1 +x 2

х 2 +9 x +20 = 0

4

x 1 ∙ x 2

х 2 -15 x +36 = 0

x 1

x 2

- 2

- 1

2

- 3

3

2

14

1

14

- 15

15

14

-4

-5

20

-9

20

9

36

-15

36

3

12

15

Программированная самостоятельная работа

Подведем итог: Практическое применение теоремы Виета

Ответьте на вопросы:

• Почему Ф. Виета называют отцом алгебры?
• Что нового вы узнали на уроке?
• Как это будем использовать?

• Какие уравнения мы сегодня рассматривали?

• Чему равна сумма корней квадратного уравнения?

• Чему равно произведение корней квадратного уравнения?

Домашнее задание

П.24

№ 583; 585