Цель работы: создание объектов, образы которых весьма похожи на природные.
Методы исследования: сравнительный анализ, синтез, моделирование.
Задачи:
знакомство с понятием, историей возникновения и исследованиями Б.Мандельброта,
Г. Коха, В. Серпинского и др.;
знакомство с различными видами фрактальных множеств;
изучение научно-популярной литературы по данному вопросу, знакомство с
научными гипотезами;
нахождение подтверждения теории фрактальности окружающего мира;
изучение применения фракталов в других науках и на практике;
проведение эксперимента по созданию собственных фрактальных изображений.
Основополагающий вопрос работы:
Показать, что математика не сухой, бездушный предмет, она может выражать духовный мир человека в отдельности и в обществе в целом.
Предмет исследования: Фрактальная геометрия.
Объект исследования: фракталы в математике и в реальном мире.
Гипотеза: Все, что существует в реальном мире, является фракталом.
Методы исследования: аналитический, поисковый.
Актуальность заявленной темы определяется, в первую очередь, предметом исследования, в качестве которого выступает фрактальная геометрия.
Ожидаемые результаты: В ходе работы , я смогу расширить свои знания в области математики, увидеть красоту фрактальной геометрии, начать работу по созданию своих фракталов.
Итогом работы будет создание компьютерной презентации, бюллетеня и буклета.
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Просмотр содержимого документа
«Презентация " Фракталы" »
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГИМНАЗИЯ № 8 г. СОЧИ
Сиверская
СОШ №3
Математика вся пронизана красотой и гармонией,
Только эту красоту надо увидеть.
Б. Мандельброт
Исследование особенностей фрактальных моделей для практического применения
Выполнил работу
ученик 8-1 класса:
Емелин Павел.
Чернорбабова К.В.
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГИМНАЗИЯ № 8 г. СОЧИ
Сиверская
СОШ №3
Математика, если на нее правильно посмотреть, отражает не только истину, но и несравненную красоту
Бертранд Рассел
Чернорбабова К.В.
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГИМНАЗИЯ № 8 г. СОЧИ
Мало кто мог подумать, что математика может быть так увлекательна и грациозна. Но это так, и примером этому служат оригинальные магические изображения - фракталы
Гимназия № 8
Сочи
Чернорбабова К.В.
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГИМНАЗИЯ № 8 г. СОЧИ
Этот удивительный мир фракталов!
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГИМНАЗИЯ № 8 г. СОЧИ
Сиверская
СОШ №3
Чернорбабова К.В.
ПРОБЛЕМА
Сиверская
СОШ №3
Какова роль фрактальных моделей в современном мире? Почему наука о фракталах достаточно молода? Возможно ли создать свои собственные фракталы?
Какова роль фрактальных моделей в современном мире?
Почему наука о фракталах достаточно молода?
Возможно ли создать свои собственные фракталы?
ЦЕЛИ
Сиверская
СОШ №3
Провести исследование и сделать выводы по данным проблемным вопросам.
Выявить способы построения фракталов и их виды.
Выяснить, как в жизни могут помочь знания по данной теме.
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГИМНАЗИЯ № 8 г. СОЧИ
Сиверская
СОШ №3
История возникновения фракталов
Емельяненко Е.
Чернорбабова К.В.
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГИМНАЗИЯ № 8 г. СОЧИ
ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ФРАКТАЛОВ
ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ФРАКТАЛОВ
ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ФРАКТАЛОВ
Гимназия № 8
Сочи
Чернорбабова К.В.
В 1202 г. итальянский математик Фибоначчи описал рекурсивную последовательность чисел. Recuro – в переводе - бегу назад.
В его последовательности каждый элемент равен сумме двух предыдущих,
например:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21.
Фибоначчи
Фрактальная теория подобна гармоническому ряду Фибоначчи .
8
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГИМНАЗИЯ № 8 г. СОЧИ
Гимназия № 8
Сочи
ИСТОРИЯ
ВОЗНИКНО-
ВЕНИЯ ФРАКТАЛОВ
Чернорбабова К.В.
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГИМНАЗИЯ № 8 г. СОЧИ
Гимназия № 8
Сочи
Чернорбабова К.В.
ФРАКТАЛЫ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ
СТОХАСТИЧЕСКИЕ
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГИМНАЗИЯ № 8 г. СОЧИ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ
Сиверская
СОШ №3
Чернорбабова К.В.
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГИМНАЗИЯ № 8 г. СОЧИ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ
Гимназия № 8
Сочи
Чернорбабова К.В.
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГИМНАЗИЯ № 8 г. СОЧИ
СНЕЖИНКА КОХА
Сиверская
СОШ №3
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ
Треугольник Серпинского
Сиверская
СОШ №3
Из треугольника Паскаля в треугольник Серпинского
Сиверская
СОШ №3
Треугольник полученный выделением чисел: красный цвет зависит, от четности числа, зеленый - от делимости его на 9, а синий - от делимости на 11…
ПИРАМИДА СЕРПИНСКОГО
Сиверская
СОШ №3
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ
Ковёр Серпинского
Сиверская
СОШ №3
Губка Менгера – геометрический фрактал, один из трехмерных аналогов ковра Серпинского
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГИМНАЗИЯ № 8 г. СОЧИ
ДРАКОНОВА ЛОМАНАЯ
Сиверская
СОШ №3
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ
Чернорбабова К.В.
Сиверская
СОШ №3
Сиверская
СОШ №3
Компьютерная вариация «Дерево Пифагора»
Сиверская
СОШ №3
24
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ
Сиверская
СОШ №3
необыкновенно красивы!
Всего лишь элементарное уравнение, запущенное по фрактальному принципу – может дать невероятно сложные формы, потрясающие воображение. Их можно изменить, всего лишь подкорректировав базовое уравнение – в таком случае, по подобию малой части, вся сложная структура глобально изменится.
26
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ
31
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГИМНАЗИЯ № 8 г. СОЧИ
Множество Мандельброта
Сиверская
СОШ №3
Для его построения необходимы комплексные числа. Комплексное число - это число, состоящее из двух частей - действительной и мнимой, и обозначается a+bi. Действительная часть a , а bi- мнимая часть . i - называют мнимой единицей. (Если возвести i в квадрат, то получим -1) .
Комплексное число можно изобразить как точку на плоскости, у которой координата Х- это действительная часть a , а Y - это коэффициент при мнимой части b .
Функционально множество Мандельброта определяется как Zn+1=Zn*Zn+C.
Чернорбабова К.В.
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГИМНАЗИЯ № 8 г. СОЧИ
Сиверская
СОШ №3
Для всех точек на комплексной плоскости в интервале от -2+2i до 2+2i выполняется некоторое (достаточно большое) количество раз вычисление функции Zn+1=Zn*Zn+C. Если Zn значение больше 2 , то изображается точка цветом равным номеру итерации, на которой абсолютное значение превысило 2 , иначе изображается точка черного цвета.
Чёрный цвет в середине показывает, что в этих точках функция стремится к нулю - это и есть множество Мандельброта. За пределами этого множества функция стремится к бесконечности. Границы множества являются фрактальными. На границах этого множества функция ведет себя непредсказуемо - хаотично.
Чернорбабова К.В.
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГИМНАЗИЯ № 8 г. СОЧИ
Сиверская
СОШ №3
Чернорбабова К.В.
32
32
32
32
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ
Сиверская
СОШ №3
Многие природные системы настолько сложны, что использование знакомых объектов Евклидовой геометрии для их моделирования представляется безнадежным. Как, к примеру, построить модель горного хребта, кроны дерева, береговой линии.
Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число - тем более "рваным" будет рисунок.
"Плазма".
32
Если считать, что цвет точки это высота над уровнем моря - получим вместо плазмы - горный массив.
Сиверская
СОШ №3
Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. С помощью алгоритма, похожего на плазму строится карта высот, к ней применяются различные фильтры и текстуры.
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГИМНАЗИЯ № 8 г. СОЧИ
ФРАКТАЛЫ В ПРИРОДЕ
Сиверская
СОШ №3
Чернорбабова К.В.
ФРАКТАЛЫ В ПРИРОДЕ
Мандельброт, по сути дела, создал неевклидову геометрию негладких и кудрявых, шероховатых и зазубренных и
Сиверская
СОШ №3
ФРАКТАЛЫ В ПРИРОДЕ
ФРАКТАЛЫ В ПРИРОДЕ
44
ФРАКТАЛЫ В ПРИРОДЕ
Как представить всю сложность системы кровообращения, состоящей из множества капилляров и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке человеческого тела? Представить строение легких и почек, напоминающие по структуре деревья с ветвистой
кроной? Фракталы –
вот средство для
исследования поставленных вопросов
Кровеносная система напоминает фракталы
Структура
ДНК
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГИМНАЗИЯ № 8 г. СОЧИ
ФРАКТАЛЫ В ПРИРОДЕ
Природа зачастую создаёт удивительные и прекрасные фракталы с идеальной геометрией и такой гармонией, что просто замираешь от восхищения.
Лист (увеличение)
Морские раковины
Чернорбабова К.В.
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГИМНАЗИЯ № 8 г. СОЧИ
Папоротник –
фрактал среди флоры .
Сиверская
СОШ №3
Морозные узоры
на окнах - тоже фракталы
Павлины – в их красочном оперенье спрятаны сплошные фракталы .
ФРАКТАЛЫ В ПРИРОДЕ
Чернорбабова К.В.
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГИМНАЗИЯ № 8 г. СОЧИ
ФРАКТАЛЫ В ПРИРОДЕ
Сиверская
СОШ №3
Чернорбабова К.В.
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГИМНАЗИЯ № 8 г. СОЧИ
ФРАКТАЛЫ В ПРИРОДЕ
Чернорбабова К.В.
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГИМНАЗИЯ № 8 г. СОЧИ
ФРАКТАЛЫ В ПРИРОДЕ
Чернорбабова К.В.
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГИМНАЗИЯ № 8 г. СОЧИ
ФРАКТАЛЫ В ПРИРОДЕ
Чернорбабова К.В.
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГИМНАЗИЯ № 8 г. СОЧИ
ПРИМЕНЕНИЕ ФРАКТАЛОВ
Сиверская
СОШ №3
Фрактальную геометрию используют для проектировании антенных устройств . Впервые это было применено американским инженером Натаном Коэном, который жил в центре Бостона, где была запрещена установка на зданиях внешних антенн. Коэн вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и затем наклеил ее на лист бумаги и присоединил к приемнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной. И хотя физические принципы такой антенны не изучены до сих пор, это не помешало Коэну обосновать собственную компанию и наладить их серийный выпуск..
В данный момент американская фирма “Fractal Antenna System разработала антенну нового типа. Теперь можно отказаться от использования в мобильных теле-фонах торчащих наружных антенн. Так называемая фрактальная антенна располагается прямо на основной плате внутри аппарата.
Чернорбабова К.В.
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГИМНАЗИЯ № 8 г. СОЧИ
ПРИМЕНЕНИЕ ФРАКТАЛОВ
Сиверская
СОШ №3
Чернорбабова К.В.
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГИМНАЗИЯ № 8 г. СОЧИ
ПРИМЕНЕНИЕ ФРАКТАЛОВ
Сиверская
СОШ №3
Чернорбабова К.В.
ПРИМЕНЕНИЕ ФРАКТАЛОВ
Сиверская
СОШ №3
Фракталы используются в компьютерных технологиях:
сжатие изображений и информации;
сокрытие информации на фрактальных изображениях или в звуке;
шифрование данных с помощью
фрактальных алгоритмов;
создание фрактальной музыки;
моделирование систем
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГИМНАЗИЯ № 8 г. СОЧИ
КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА
Гимназия № 8
Сочи
Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы.
ПРИМЕНЕИЕ ФРАКТАЛОВ
Чернорбабова К.В.
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГИМНАЗИЯ № 8 г. СОЧИ
КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА
Гимназия № 8
Сочи
С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.
