Презентация "Моделирование фракталов в среде Maxima"

Моделирование фракталов в системе Maxima

Выполнила: Н. Ф. Калачева, студентка V курса группы МДМ-117

План

• Понятие фрактала
• Классификация фракталов
• Система Maxima
• Пакет fractals
• Пакет dynamics

Понятие фрактала

• Фрактал – множество, которое имеет свойство самоподобия, то есть объект приближенно или точно совпадает с частью самого себя.
• В математике фракталами называют множества точек в евклидовом пространстве, которые обладают дробной метрической размерностью (Хаусдорфа или Минковского), или топологической размерностью, отличной от метрической размерности, поэтому их следует отличать от других геометрических фигур, которые ограничены конечным числом звеньев.
• Фракталом является структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому.

Понятие фрактала

Фракталом называют геометрическую фигуру, удовлетворяющую одному или нескольким из следующих свойств:

• При любом увеличении обладает сложной структурой;
• Является самоподобной;
• Обладает дробной фрактальной размерностью, большей чем топологическая;
• Может быть построена при помощи рекурсивных процедур.
• Многие природные объекты обладают свойствами фрактала, к примеру: облака, кроны деревьев, побережья, снежинки, система альвеол человека или животных, кровеносная система.

Природные объекты, обладающие фрактальными свойствами

• В живой природе:

• Кораллы Морские звезды и ежи Морские раковины Цветы и растения (брокколи, капуста) Кроны деревьев и листья растений Плоды (ананас) Кровеносная система и бронхи людей и животных
• Кораллы
• Морские звезды и ежи
• Морские раковины
• Цветы и растения (брокколи, капуста)
• Кроны деревьев и листья растений
• Плоды (ананас)
• Кровеносная система и бронхи людей и животных

• В неживой природе:

• Границы географических объектов (стран, областей, городов) Береговые линии Горные хребты Снежинки Облака Молнии Морозные узоры на оконных стёклах Кристаллы
• Границы географических объектов (стран, областей, городов)
• Береговые линии
• Горные хребты
• Снежинки
• Облака
• Молнии
• Морозные узоры на оконных стёклах
• Кристаллы

Классификация фракталов

Фракталы

Алгебраические

Геометрические

Стохастические

Множество Мандельброта

Стохастический фрактал

Снежинка Коха

Система Maxima

Maxima  — система для работы с символьными и численными выражениями, включающая дифференцирование, интегрирование, разложение в ряд, преобразование Лапласа, обыкновенные дифференциальные уравнения, системы линейных уравнений, многочлены, множества, списки, векторы, матрицы и тензоры.

Обзор пакета fractals

• С помощью пакета fractals автора José Ramírez Labrador можно строить известные фракталы: треугольник Серпинского, фракталы «Дерево», «Папоротник»; множество Мандельброта и множества Жюлиа; снежинки Коха; отображения Пеано: кривые Серпинского и Гильберта.

Обзор пакета fractals

Функции пакета fractals

Обзор пакета fractals

Треугольник Серпинского

Обзор пакета fractals

Множество Мандельброта

Обзор пакета fractals

Множество Жюлиа

Обзор пакета fractals

Снежинка Коха

Обзор пакета fractals

Кривая Гильберта

Обзор пакета fractals

Кривая Серпинского

Обзор пакета dynamics

• С помощью пакета dynamics можно строить различные графические представления динамических систем и фракталов: паутинная диаграмма; бифуркационная диаграмма; эволюция орбиты одно- и двумерного отображений; «игра в хаос»; система итерированных функций, заданная аффинными преобразованиями; множества Жюлиа, Мандельброта.

Обзор пакета dynamics

Функции пакета dynamics

Обзор пакета dynamics

«игра в хаос»

Обзор пакета dynamics

Построение аттрактора системы итерированных функций

Обзор пакета dynamics

Множествo Жюлиа

Обзор пакета dynamics

Множество Мандельброта

Вывод

• Система компьютерной алгебры Maxima является удобным средством компьютерного моделирования фракталов, имея для этого встроенные пакеты fractals и dynamics. С помощью пакета fractals автора José Ramírez Labrador можно строить известные фракталы: треугольник Серпинского, фракталы «Дерево», «Папоротник»; множество Мандельброта и множества Жюлиа; снежинки Коха; отображения Пеано: кривые Серпинского и Гильберта.
• С помощью пакета dynamics можно строить различные графические представления динамических систем и фракталов.
• Так система Maxima имеет бесплатную лицензию, кроссплатформенность (реализация в ОС Windows, Linux, Unix, Mac OS X, BSD), открытый код (что понижает количество встроенных ошибок), поддержка языка программирования Lisp и др. Maxima выполняет символьные и численные вычисления, строит различные графики.