Презентация на тему "Теорема Виета"

Терема Виета в задачах с параметрами

Автор презентации: учитель математики МБОУ СОШ № 15 г.Королёв Московской области.

Теорема Виета

• Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному коэффициенту.
• Если х 1 и х 2 корни уравнения x 2 +px+q=0 , то х 1 + х 2 = -р и х 1 ∙ х 2 = q
• Если х 1 и х 2 корни уравнения а x 2 + в x+ с =0 , то х 1 + х 2 = - в/а и х 1 ∙ х 2 =с/а
• Перед применением теоремы Виета вначале убедись, что D ≥ 0.

Обратная теорема

• Если числа m и n таковы, что их сумма равна –р , а произведение равно q , то эти числа являются корнями уравнения x 2 +px+q=0 .

О Виете

• Виет Франсуа (1540-13.12. 1603) родился в городе Фонтене ле-Конт провинции Пуату;
• с девятнадцати лет успешно занимался адвокатской практикой в родном городе;
• составил труд, посвященный усовершенствованию птолемеевской системы;
• занимался разработкой тригонометрии и приложению ее к решению алгебраических уравнений;
• сделал блестящую карьеру и стал советником Генриха III, а после его смерти-Генриха IV;
• Виета называют "отцом" алгебры, основоположником буквенной символики.

Это интересно

• Громкую славу Виет получил при Генрихе III, во время франко-испанской войны. Испанские инквизиторы изобрели очень сложную тайнопись (шифр), которая все время изменялась и дополнялась. Благодаря такому шифру воинствующая и сильная в то время Испания могла свободно переписываться с противниками французского короля даже внутри Франции, и эта переписка всё время оставалась неразгаданной. После бесплодных попыток найти ключ к шифру король обратился к Виету. Рассказывают, что Виет две недели подряд дни и ночи просидев за работой, все же нашел ключ к испанскому шифру. После этого неожиданно для испанцев Франция стала выигрывать одно сражение за другим. Испанцы долго недоумевали. Наконец им стало известно, что шифр для французов уже не секрет и что виновник его расшифровки - Виет. Будучи уверенными в невозможности разгадать их способ тайнописи людьми, они обвинили Францию перед папой римским и инквизицией в кознях дьявола, а Виет был обвинен в союзе с дьяволом и приговорен к сожжению на костре. К счастью для науки, он не был выдан инквизиции.

Применение прямой теоремы

1) заменить символ числом:

а) х 1 =2; х 2 =3; х 2 -5х+ * =0

б) х 1 =6; х 2 =1; х 2 - * +6=0

в) х 1 =-1; х 2 =-6; х 2 + * +6=0

г) х 1 =1; х 2 =5; х 2 -6х+ * =0

д) х 1 =2; х 2 =3; х 2 -5х+ * =0

е) х 1 =6; х 2 =-1; х 2 - * х+ * =0

2)Составить приведенное квадратное уравнение, если:

а) х1 =-3, х2 =7;

б) х1 = х2 =3;

в) х1 =-10, х2 =-6;

г) х1 =8, х2 =-9;

д) х1 = х2 =-1;

е) х1 =7, х2 =-5.

Применение обратной теоремы Виета

1) Найти корни квадратного уравнения:

а) х 2 -х-12=0; б) х 2 -8х-9=0; в) х 2 -х-2=0;

г) х 2 +4х-21=0; д) х 2 +4х-5=0; е) х 2 +6х+9=0;

ж) х 2 +х-6=0; з) х 2 -10х+25=0;

и) х 2 -(2т+1)х+т 2 +т-2=0;

к) х 2 -(3т+1)х+2т 2 +4т-6=0;

л) х 2 -2007х-2008=0.

2) Найти корни квадратного уравнения и установить связь между знаками корней уравнения x 2 +px+q=0 и знаками коэффициентов p и q .

а) х 2 -5х+6=0; б) х 2 -7х+6=0; в) х 2 -6х+5=0;

г) х 2 +7х+6=0; д) х 2 +5х-6=0; е)х 2 -4х-21=0;

ж) х 2 -6х+9=0; з) х 2 +16х+60=0; и)х 2 +х-72=0;

к) х 2 +2х+1=0; л) х 2 -2х-35=0; м) х 2 -х-12=0;

н) х 2 -8х-9=0; о) х 2 +4х-5=0; р)х 2 -х-2=0;

с) х 2 +4х-21=0; т) х 2 +4х-5=0; у)х 2 +6х+9=0;

т) х 2 +х-6=0; у)х 2 -10х+25=0.

Вывод

• Если х 1 0 , х 2 0, то p и q 0.
• Если х 1 х 2 , то p 0 и q 0 .
• Если х 1 х 2 0, | х 1 | х 2 | , то p q
• Если х 1 х 2 0, | х 1 | | х 2 | , то p 0 и q

При каких m уравнение m х 2 +(3 m -2)х + m – 3=0 имеет корни разных знаков?

Решение: ( m-3)/m

( m-3)m

0

Ответ: при 0 уравнение

m х 2 +(3 m -2)х + m – 3=0 имеет корни разных знаков