Презентация к уроку алгебры по теме "Последовательности".

Числовые

последовательности

Цели урока:

• иметь представление о числовой последовательности;
• находить n-й член последовательности, например:

Определение числовой последовательности

называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью

и обозначают y = f(n) или y 1 , y 2 , y 3 ,…,y n ,…

y 1 – первый член последовательности,

y 2 - второй член последовательности,

y 3 - третий член последовательности,

y n - n-ый член последовательности,

n - индекс, который задает порядковый номер

Определение. Функцию y = f(x), x €N,

Обозначение членов последовательности

1, 2, 3, 4, 5, …, n-1, n, n+1,…

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , …, a n-1 , a n , a n+1 ,…

Последовательностью называется

бесконечное

множество пронумерованных элементов.

Последовательности составляют такие элементы природы, которые можно пронумеровать

Дни

недели

Дома

на улице

Классы

в школе

Названия

Номер

месяцев

счёта

в банке

Способы задания последовательностей

Словесный

Аналитический –

с помощью формулы n-ого члена – позволяет вычислить член последовательности с любым заданным номером

х n =3 ×n+2

x 5 =3 ×5+2=17;

Х 45 =3×45+2=137

Рекуррентный

( от слова recursio - возвращаться )

х 1 =1; х n+1 =(n+1); x n

n=1; 2; 3; …

можно записать с многоточием

1; 2; 6; 24; 120; 720; …

Рассмотрим функцию

График состоит из отдельных точек.

…

Получим последовательность чисел

1, 4, 9, 16, 25, …, , …

Последовательность квадратов натуральных чисел

– I член последовательности

– II член последовательности

– III член последовательности

– n -ый член последовательности

Способы задания последовательности

Аналитическое задание числовой последовательности.

Последовательность задана аналитически , если указана формула ее n -го члена

Пример 1:

y n =n 2

последовательность 1,4,9,16,…, n 2 ,…

Способы задания последовательности

Аналитическое задание числовой последовательности.

Пример 2:

Найти первый, третий и шестой члены последовательности

Способы задания последовательности

Аналитическое задание числовой последовательности.

Пример 3:

Задать последовательность формулой n -го члена:

а) 2, 4, 6, 8, … б) 4, 8, 12, 16, 20, …

Найдите закономерности и покажите их с помощью стрелки:

П

Р

О

В

Е

Р

Ь

С

Е

Б

Я

½; 1/3; ¼; 1/5; 1/6;

1; 4; 7; 10; 13; …

Увеличение

на 3 раза

В порядке возрастания

положительные нечетные

числа

Чередовать увеличение

на 2 и увеличение в 2 раза

10; 19; 37; 73; 145; …

1; 3; 5; 7; 9; …

В порядке убывания

правильные дроби

с числителем, равным 1

5; 10; 15; 20; 25; …

6; 8; 16; 18; 36; …

В порядке возрастания

положительные числа,

кратные 5

Увеличение в 2 раза

и уменьшение на 1

Способы задания последовательности

Словесное задание числовой последовательности.

Правило составления последовательности описывается словами

Пример :

последовательность простых чисел

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …

последовательность кубов натуральных чисел

1, 8, 27, 64, 125, …

Способы задания последовательности

Рекуррентное задание числовой последовательности.

Указывается правило позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены.

При вычислении членов последовательности по этому правилу мы все время возвращаемся назад, выясняем чему равны предыдущие члены, поэтому такой способ называют рекуррентным ( от латинского recurrere – возвращаться)

Способы задания последовательности

Рекуррентное задание числовой последовательности.

Пример 1:

y 1 =3, y n = y n-1 + 4 , если n = 2, 3, 4, …

Каждый член последовательности получается из предыдущего прибавлением к нему числа 4

y 1 = 3 y 2 = y 1 + 4= 3 + 4 = 7

y 3 = y 2 + 4= 7 + 4 = 11 y 4 = y 3 + 4= 11 + 4 = 15 и т.д.

Получаем последовательность

3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, …

Способы задания последовательности

Рекуррентное задание числовой последовательности.

Пример 2:

y 1 =1, y 2 =1, y n = y n-2 + y n-1

Каждый член последовательности равен сумме двух предыдущих членов

y 1 =1 y 2 =1 y 3 = y 1 + y 2 = 1 + 1 = 2

y 4 = y 2 + y 3 = 1 + 2 = 3 y 5 = y 3 + y 4 = 2 + 3 = 5 и т.д.

Получаем последовательность

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

1 , то последовательность у n = а n – возрастает. Последовательность (у n ) – убывающая , если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего, т.е. у 1 у 2 у 3 у 4 … у n … Пример: -1, -3, -5, -7, -9, … Если 0 , то последовательность у n = а n – убывает." width="640"

Монотонные последовательности

Последовательность (у n ) – возрастающая , если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего, т.е. у 1 2 3 4 n

Пример:

2, 4, 6, 8, 10, …

Если а 1 , то последовательность у n = а n – возрастает.

Последовательность (у n ) – убывающая , если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего, т.е. у 1 у 2 у 3 у 4 … у n …

Пример:

-1, -3, -5, -7, -9, …

Если 0 , то последовательность у n = а n – убывает.

Монотонные последовательности

Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными .

Последовательности, которые не возрастают и не убывают, являются немонотонными .

Рефлексия

1) Что называют числовой последовательностью?

2) Как ее можно задать?

3) Какой способ помогает быстрее отыскать любой член последовательности?

Сегодня на уроке

• Я запомнил…

• Я узнал…

• Я научился…

В дальнейшем мне хотелось бы…