Предел последовательности

«Числовые

последовательности»

Функцию вида y=f(x) , где x є Ν , называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают y=f(n) или y ₁, y ₂, y ₃ …

• Аналитическое задание числовой последовательности
• Словесное задание последовательности
• Рекуррентное задание последовательности

Числовую последовательность, каждый член которой начиная со второго равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d , называют арифметической прогрессией, число d – разностью арифметической прогрессии.

• а₁, a₂ , a₃ , … a n , …
• a n = a n -1 + d
• а n = а₁ + ( n – 1)· d
• S n = a₁ + a₂ + … + a n
• S n = n· ( a₁ + a n ) / 2
• S n = n· (2 a₁ + ( n­1)d ) / 2
• а n = ( a n­ 1 + a n +1 ) / 2

Числовая последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой начиная со второго равен предыдущему члену умноженному на одного и того же числа q , называется геометрической прогрессией, число q – знаменатель геометрической прогрессии.

• b ₁, b₂ , b₃ , … b n , …
• b n = b n -1 · q , ( b ₁≠0, q≠ 0)
• b n = b 1 · q ⁿ⁻¹
• S n = b₁ + b₂ + … + b n
• S n = b₁ ·( qⁿ­ 1) ⁄ ( q ­ 1 )
• b n ²=b n­1 · b n+1

• ФИБОНАЧЧИ (Леонардо из Пизы) Fibonacci (Leonardo of Pisa), ок. 1175–1250
• Итальянский математик. Родился в Пизе, стал первым великим математиком Европы позднего Средневековья. В математику его привела практическая потребности установить деловые контакты. Он издавал свои книги по арифметике, алгебре и другим математическим дисциплинам. От мусульманских математиков он узнал о системе цифр, придуманной в Индии и уже принятой в арабском мире, и уверился в ее превосходстве (эти цифры были предшественниками современных арабских цифр).

В место, огороженное со всех сторон стеной, поместили пару кроликов, природа которых такова, что любая пара кроликов производит на свет другую пару каждый месяц, начиная со второго месяца своего существования. Сколько пар кроликов будет через год? (Ответ: 233 пары).

Для поиска ответа используется рекуррентная числовая последовательность 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, … в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих; ответом, в соответствии с условиями задачи, является тринадцатый член (завершение каждого месяца — это перескок к следующему члену последовательности; текущий член последовательности перед началом опыта — это первый; всего месяцев двенадцать). В честь учёного она носит название чисел Фибоначчи. Числа Фибоначчи нашли своё применение во многих областях математики.

Наглядно формирование последовательности можно показать следующим образом:

1: 1 + 1 = 2 2: 1 + 2 = 3 3: 2 + 3 = 5 4: 3 + 5 = 8 5: 5 + 8 = 13 6: 8 + 13 = 21 7: 13 + 21 = 34 8: 21 + 34 = 55 9: 34 + 55 = 89 ... и т. д.

Изучением числовых последовательностей занимались многие ученые на протяжении многих веков. Первые из дошедших до нас задач на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как, например, распределение продуктов, деление наследства и т.д.

Они являются одним из ключевых понятий математики.