Самым фундаментальным понятием математического анализа является понятие предела функции. Так случилось в математическом познании человечеством природы, что основные понятия математического анализа – производная, интеграл, ряд и др. – были открыты в XXVII веке, а вот строгое обоснование этих понятий спустя 150 лет на основе понятия предела. Это понятие будет сопровождать Вас на протяжении всего Вашего математического образования, поэтому очень важно с первого занятия освоить это понятие.
Различают – предел функции в точке и предел функции на бесконечности.
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Просмотр содержимого документа
«Урок по теме "Предел последовательности"»
Предел последовательности
Преподаватель ГБПОУ СО «Свердловский областной педагогический колледж» Перминова Е.В
а) 1, 2, 3,…, n ,….
б) 1, -1/2, 1/3, -1/4,…,
в) sin 1, sin 2, sin 3,…, sin n ,…
Любое число в совокупности имеет номер
в соответствии с тем местом , которое оно
занимает и от него зависит .
Пример: n=12
а) a 12 =12
б) b 12 =-1/12
в) c 12 =sin 12
ОПР. Совокупность чисел , каждое
из которых имеет свой номер n є N
и от него зависит, называется
числовой последовательностью .
X n ={X 1 ,X 2 ,…,X n }
a n ={a 1 ,a 2 ,…,a n }
Задать числовую последовательность, значит указать как отыскивается любой ее член, если известен номер занимаемого им места.
Описание
( x n )-последовательность приближенных значений √2 с недостатком с точностью до 0,1; 0,01; 0,001…
√ 2=1,1421356…
(X n )={1,1; 1,14; 1,142; 1,1421;…}
2. Формула n-го члена.
Формула, позволяющая найти любой член последовательности по его номеру
Назовите первые 5 членов последовательности ( X n )= n ²
Понятие сходящейся последовательности
Обратим внимание, что члены последовательности(хn) как бы «сгущаются» около точки 0, а у последовательности (уn) такой точки нет. В подобных случаях говорят, что последовательность (хn) сходится, а последовательность (уn) расходится.
Рассмотрим две числовые последовательности (уn) и (хn) и изобразим их члены точками на координатной прямой.
(уn):1, 3, 5, 7, 9,…, 2n– 1,…;
(хn):
у
5
11
9
0
7
3
1
13
х
0
1
Понятие сходящейся последовательности
(хn): 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/6,…1/n,..
Точка сгущения – 0
Последовательность
сходится
(уn): 1, 3, 5, 7,…,(2n-1),...
Нет точки сгущения
Последовательность
расходится
Чтобы узнать является ли конкретная точка, взятая на прямой, «точкой сгущения» для членов заданной последовательности, введем следующее понятие.
Окрестность точки
Определение 1.Пустьа– точка прямой, аr– положительное число. Интервал(а - r; a + r)называют окрестностью точкиа, а числоr– радиусом окрестности.
В математике «точку сгущения» для членов заданной последовательности принято называть «пределом последовательности».
Определение 2.Числоbназывают пределом последовательности(уn), если в любой заранее выбранной окрестности точкиbсодержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.
Обозначение:1. (уnстремится кbилиуnсходится кb);
2. (предел последовательностиуnпри стремленииn
к бесконечности равенb)
Предел последовательности
1, то lim q n не существует. n →∞ 3) lim С = С n →∞ 4) lim ( к /n m ) = 0 n →∞" width="640"
Формулы
1) lim 1/n= 0
n→∞
2) limqn= 0, если 0 q|
n→∞
Если q 1, то limqnне существует.
n→∞
3) limС=С
n→∞
4) lim (к /nm)= 0
n→∞
Предел последовательности
Построим графики последовательностей:
Рис. 1
у= 0
Рис. 2
у= 0
у= 2
Рис. 3
Асимптоты графика
Обратите внимание, что на всех трех
рисунках точки графика, по мере их ухода
вправо, все ближе и ближе подходят к
некоторой горизонтальной прямой:
на рис 1 – к прямойу= 0,
на рис 2 – к прямойу= 0,
на рис 3 – к прямойу= 2.
Каждую из этих прямых называют
горизонтальной асимптотой графика.
Асимптоты графика
Вообще равенство
означает, что прямаяу=а
является горизонтальной асимптотой
графика последовательности,
т.е. графика функции
у = b
Свойства
●Если последовательность сходится,
то только к одному пределу.
●Если последовательность сходится ,
то она ограничена.
Обратное−неверно:1,2,3,1,2,3,…−
ограниченная последовательность,
но она не сходится
●Теорема Вейерштрасса
Если последовательность монотонна
и ограничена,то она сходится.
Карл Теодор
Вейерштрасс-
выдающийся немецкий
математик, отец
«современного анализа»
1815-1897 г.
Кратер на Луне
Свойства вычисления пределов
Если limхn=bи limуn=c, то
n→∞ n→∞
1)Предел суммы равен сумме пределов:
lim (хn+ уn) =limхn+ limуn=b + c
n→∞n→∞ n→∞
2)Предел произведения равен произведению пределов:
lim (хn· уn) =limхn∙ limуn=b · c
n→∞n→∞ n→∞
3)Предел частного равен частному пределов:
lim (хn:уn) =limхn: limуn=b : c
n→∞n→∞ n→∞
4)Постоянный множитель можно вынести за знак предела:
lim (k · хn) =k·limхn=k ∙ b
n→∞n→∞
14
Примеры вычисления пределов
Пример 1.Вычислить
Решение.Делим числитель и знаменатель
дробипочленнонанаивысшуюиз имеющихся
степень переменнойx, т.е. наx5.
Примеры вычисления пределов
Пример 2.Вычислить
Решение.Делим числитель и знаменатель
дробипочленнонанаивысшуюиз имеющихся
степень переменнойxт.е. наx4.
Примеры вычисления пределов
Пример 3.Вычислить
Решение.Делим числитель и знаменатель
дробипочленнонанаивысшуюиз имеющихся
степень переменнойx, т.е. наx6.
(не существует)
Правила вычисления пределов
1. Если старшая степень числителя и знаменателя совпадают, то предел такого вида всегда будет равен отношению коэффициентов при старших степенях переменной.
14
Правила вычисления пределов
2. Если степень знаменателя выше степени числителя, то предел такого вида равен нулю.
14
Правила вычисления пределов
3. Если же старшая степень числителя выше степени знаменателя, то, очевидно, все слагаемые знаменателя в пределе будут равны нулю, это означает, что предел не существует.
14
Вычислите самостоятельно пределы функций на бесконечности:
1.
2.
3.
4.
Методика вычисления пределов в точке
Если функция существует в точке x = a, то ее предел равен f(a).
Пример 1.Вычислить
Решение.Подставим вместоxчисло3(т.к.x3) и применим правила вычисления пределов.
Примеры вычисления пределов
Примеры вычисления пределов
Пример 2.Вычислить
Решение.
Пример 3.Вычислить
Решение.
Методика вычисления пределов в точке
Если же функция в точке х = а не существует, в знаменателе дроби ноль, то вычисляем значение числителя в этой точке.
1.
2.
3.
Примеры вычисления пределов
Пример 1.Вычислить
Решение.Подставим вместоxчисло 2 (т.к.x2) и применим правила вычисления пределов.
Примеры вычисления пределов
Пример 2.Вычислить
Решение.Подставим вместоxчисло 2 (т.к.x2) и применим правила вычисления пределов.
Примеры вычисления пределов
Пример 3.Вычислить
Решение.Подставим вместоxчисло 3 (т.к.x3) и применим правила вычисления пределов.
Методика вычисления пределов в точке
Если и в знаменателе и в числителе нули, то, говорят, имеем неопределенность вида .
Методика раскрытия таких неопределенностей проста. Если числитель и знаменатель дробно-рациональной функции при х = а, то разложение на множители и числителя и знаменателя обязательно содержат сомножитель (х – а), на который дробь будет сокращена. Покажем на примере.
выяснили, что при х = 1 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида
Примеры вычисления пределов
Пример 1.Вычислить
Решение. Выяснили, что при х = 1 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида , раскладываем числитель и знаменатель на множители, используя известную школьную методику разложения квадратного трехчлена на линейные множители
выяснили, что при х = 1 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида
Примеры вычисления пределов
Пример 2.Вычислить
Решение. Выяснили, что при х = 2 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида , раскладываем числитель и знаменатель на множители, используя известную школьную методику разложения квадратного трехчлена на линейные множители
Примеры вычисления пределов
Активно используйте формулы сокращенного умножения
Пример 3.Вычислить
Решение.Выяснили, что при х = 2 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида , воспользуемся формулами сокращенного умножения
1, то lim q n не существует. n →∞ 3) lim С = С n →∞ 4) lim ( к /n m ) = 0 n →∞" width="640"
