kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Урок по теме "Предел последовательности"

Нажмите, чтобы узнать подробности

1)Понятие предела функции в точке.

2)Определение предела функции в точке

3)Определение предела функции на бесконечности.

4)Основные свойства пределов.

5)Начальные умения вычисления пределов.

 Самым фундаментальным понятием математического анализа является понятие предела функции. Так случилось в математическом познании человечеством природы, что основные понятия математического анализа – производная, интеграл, ряд и др. – были открыты в XXVII веке, а вот строгое обоснование этих понятий спустя 150 лет на основе понятия предела. Это понятие будет сопровождать Вас на протяжении всего Вашего математического образования, поэтому очень важно с первого занятия освоить это понятие.

Различают – предел функции в точке и предел функции на бесконечности.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Урок по теме "Предел последовательности"»

Предел последовательности  Преподаватель ГБПОУ СО «Свердловский областной педагогический колледж» Перминова Е.В

Предел последовательности

Преподаватель ГБПОУ СО «Свердловский областной педагогический колледж» Перминова Е.В

а) 1, 2, 3,…, n ,….   б) 1, -1/2, 1/3, -1/4,…, в) sin 1, sin 2, sin 3,…, sin n ,… Любое число в совокупности имеет номер  в соответствии с тем местом , которое оно занимает и от него зависит . Пример: n=12 а) a 12 =12 б) b 12 =-1/12 в) c 12 =sin 12

а) 1, 2, 3,…, n ,….

 

б) 1, -1/2, 1/3, -1/4,…,

в) sin 1, sin 2, sin 3,…, sin n ,…

Любое число в совокупности имеет номер

в соответствии с тем местом , которое оно

занимает и от него зависит .

Пример: n=12

а) a 12 =12

б) b 12 =-1/12

в) c 12 =sin 12

ОПР.  Совокупность чисел , каждое из которых имеет свой номер n є N  и от него зависит, называется числовой последовательностью . X n  ={X 1 ,X 2 ,…,X n } a n ={a 1 ,a 2 ,…,a n }

ОПР. Совокупность чисел , каждое

из которых имеет свой номер n є N

и от него зависит, называется

числовой последовательностью .

X n ={X 1 ,X 2 ,…,X n }

a n ={a 1 ,a 2 ,…,a n }

Задать числовую последовательность, значит указать как отыскивается любой ее член, если известен номер занимаемого им места. Описание ( x n )-последовательность приближенных значений √2 с недостатком с точностью до 0,1; 0,01; 0,001… √ 2=1,1421356… (X n )={1,1; 1,14; 1,142; 1,1421;…}

Задать числовую последовательность, значит указать как отыскивается любой ее член, если известен номер занимаемого им места.

  • Описание

( x n )-последовательность приближенных значений √2 с недостатком с точностью до 0,1; 0,01; 0,001…

√ 2=1,1421356…

(X n )={1,1; 1,14; 1,142; 1,1421;…}

2. Формула n-го члена.  Формула, позволяющая найти любой член последовательности по его номеру Назовите первые 5 членов последовательности ( X n )= n ²

2. Формула n-го члена.

Формула, позволяющая найти любой член последовательности по его номеру

Назовите первые 5 членов последовательности ( X n )= n ²

Понятие сходящейся последовательности Обратим внимание, что члены последовательности ( х n ) как бы «сгущаются» около точки 0, а у последовательности ( у n ) такой точки нет. В подобных случаях говорят, что последовательность ( х n ) сходится, а последовательность ( у n ) расходится.  Рассмотрим две числовые последовательности ( у n ) и ( х n ) и изобразим их члены точками на координатной прямой. ( у n ): 1, 3, 5, 7, 9,…, 2 n – 1,…;     ( х n ):   у 5 11 9 0 7 3 1 13 х 0 1

Понятие сходящейся последовательности

Обратим внимание, что члены последовательности ( х n ) как бы «сгущаются» около точки 0, а у последовательности ( у n ) такой точки нет. В подобных случаях говорят, что последовательность ( х n ) сходится, а последовательность ( у n ) расходится.

Рассмотрим две числовые последовательности ( у n ) и ( х n ) и изобразим их члены точками на координатной прямой.

( у n ): 1, 3, 5, 7, 9,…, 2 n – 1,…;

( х n ):

у

5

11

9

0

7

3

1

13

х

0

1

Понятие сходящейся последовательности ( х n ): 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/6,…1/n,..     Точка сгущения – 0 Последовательность  сходится    ( у n ): 1, 3, 5, 7,…,(2 n -1),...    Нет точки сгущения Последовательность  расходится   Чтобы узнать является ли конкретная точка, взятая на прямой, «точкой сгущения» для членов заданной последовательности, введем следующее понятие.

Понятие сходящейся последовательности

( х n ): 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/6,…1/n,..

Точка сгущения – 0

Последовательность

сходится

( у n ): 1, 3, 5, 7,…,(2 n -1),...

Нет точки сгущения

Последовательность

расходится

Чтобы узнать является ли конкретная точка, взятая на прямой, «точкой сгущения» для членов заданной последовательности, введем следующее понятие.

Окрестность точки Определение 1. Пусть а – точка прямой, а r – положительное число. Интервал (а - r; a + r)  называют окрестностью точки а , а число r – радиусом окрестности.   Пример. (3,97; 4,03) – окрестность точки 4 , радиус равен 0,03. х a a-r a+r

Окрестность точки

Определение 1. Пусть а – точка прямой, а r – положительное число. Интервал (а - r; a + r) называют окрестностью точки а , а число r – радиусом окрестности.

Пример. (3,97; 4,03) – окрестность точки 4 , радиус равен 0,03.

х

a

a-r

a+r

В математике «точку сгущения» для членов заданной последовательности принято называть «пределом последовательности».  Определение 2.  Число b называют пределом последовательности (у n ) , если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера. Обозначение: 1. ( у n стремится к b или у n сходится к b );  2. (предел последовательности у n при стремлении n  к бесконечности равен b ) Предел последовательности

В математике «точку сгущения» для членов заданной последовательности принято называть «пределом последовательности».

Определение 2. Число b называют пределом последовательности n ) , если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Обозначение: 1. ( у n стремится к b или у n сходится к b );

2. (предел последовательности у n при стремлении n

к бесконечности равен b )

Предел последовательности

1, то lim q n не существует. n →∞ 3) lim С = С n →∞ 4) lim ( к /n m ) = 0 n →∞" width="640"

Формулы

1) lim 1/ n = 0

n →∞

2) lim q n = 0, если 0 q |

n →∞

Если q 1, то lim q n не существует.

n →∞

3) lim С = С

n →∞

4) lim ( к /n m ) = 0

n →∞

Предел последовательности Построим графики последовательностей:

Предел последовательности

Построим графики последовательностей:

Рис. 1 у = 0 Рис. 2 у = 0 у = 2 Рис. 3

Рис. 1

у = 0

Рис. 2

у = 0

у = 2

Рис. 3

Асимптоты графика Обратите внимание, что на всех трех  рисунках точки графика, по мере их ухода  вправо, все ближе и ближе подходят к  некоторой горизонтальной прямой: на рис 1 – к прямой у = 0, на рис 2 – к прямой у = 0, на рис 3 – к прямой у = 2. Каждую из этих прямых называют  горизонтальной асимптотой графика.

Асимптоты графика

Обратите внимание, что на всех трех

рисунках точки графика, по мере их ухода

вправо, все ближе и ближе подходят к

некоторой горизонтальной прямой:

  • на рис 1 – к прямой у = 0,
  • на рис 2 – к прямой у = 0,
  • на рис 3 – к прямой у = 2.

Каждую из этих прямых называют

горизонтальной асимптотой графика.

Асимптоты графика Вообще равенство означает, что прямая у = а является горизонтальной асимптотой  графика последовательности, т.е. графика функции  у = b

Асимптоты графика

Вообще равенство

означает, что прямая у = а

является горизонтальной асимптотой

графика последовательности,

т.е. графика функции

у = b

Свойства ●  Если последовательность сходится, то только к одному пределу. ●  Если последовательность сходится , то она ограничена.  Обратное−неверно:1,2,3,1,2,3,…− ограниченная последовательность, но она не сходится  ● Теорема Вейерштрасса  Если последовательность монотонна  и ограничена, то она сходится .

Свойства

Если последовательность сходится,

то только к одному пределу.

Если последовательность сходится ,

то она ограничена.

Обратное−неверно:1,2,3,1,2,3,…−

ограниченная последовательность,

но она не сходится

Теорема Вейерштрасса

Если последовательность монотонна

и ограничена, то она сходится .

Карл Теодор  Вейерштрасс-  выдающийся немецкий  математик, отец  «современного анализа»  1815-1897 г.  Кратер на Луне
  • Карл Теодор

Вейерштрасс-

выдающийся немецкий

математик, отец

«современного анализа»

  • 1815-1897 г.

  • Кратер на Луне

Свойства вычисления пределов  Если lim х n = b и lim у n  = c , то  n→∞ n →∞ 1)Предел суммы равен сумме пределов:  lim ( х n + у n ) = lim х n + lim у n  =  b + c  n →∞   n→∞ n →∞  2)Предел произведения равен произведению пределов:  lim ( х n · у n ) = lim х n ∙ lim у n  =  b · c  n →∞ n→∞ n →∞ 3)Предел частного равен частному пределов:  lim ( х n  : у n ) = lim х n : lim у n = b : c  n →∞ n→∞ n →∞ 4)Постоянный множитель можно вынести за знак предела:  lim ( k · х n ) = k · lim х n = k ∙ b   n →∞ n→∞  14

Свойства вычисления пределов

Если lim х n = b и lim у n = c , то

n→∞ n →∞

1)Предел суммы равен сумме пределов:

lim ( х n + у n ) = lim х n + lim у n = b + c

n →∞ n→∞ n →∞

2)Предел произведения равен произведению пределов:

lim ( х n · у n ) = lim х n ∙ lim у n = b · c

n →∞ n→∞ n →∞

3)Предел частного равен частному пределов:

lim ( х n : у n ) = lim х n : lim у n = b : c

n →∞ n→∞ n →∞

4)Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

lim ( k · х n ) = k · lim х n = k ∙ b

n →∞ n→∞

14

Примеры вычисления пределов Пример 1. Вычислить Решение. Делим числитель и знаменатель дроби почленно на наивысшую из имеющихся степень переменной x , т.е. на x 5 .

Примеры вычисления пределов

Пример 1. Вычислить

Решение. Делим числитель и знаменатель

дроби почленно на наивысшую из имеющихся

степень переменной x , т.е. на x 5 .

Примеры вычисления пределов Пример 2. Вычислить Решение. Делим числитель и знаменатель дроби почленно на наивысшую из имеющихся степень переменной x т.е. на x 4 .

Примеры вычисления пределов

Пример 2. Вычислить

Решение. Делим числитель и знаменатель

дроби почленно на наивысшую из имеющихся

степень переменной x т.е. на x 4 .

Примеры вычисления пределов Пример 3. Вычислить Решение. Делим числитель и знаменатель дроби почленно на наивысшую из имеющихся степень переменной x , т.е. на x 6 .       (не существует)

Примеры вычисления пределов

Пример 3. Вычислить

Решение. Делим числитель и знаменатель

дроби почленно на наивысшую из имеющихся

степень переменной x , т.е. на x 6 .

(не существует)

Правила вычисления пределов 1. Если старшая степень числителя и знаменателя совпадают, то предел такого вида всегда будет равен отношению коэффициентов при старших степенях переменной . 14

Правила вычисления пределов

1. Если старшая степень числителя и знаменателя совпадают, то предел такого вида всегда будет равен отношению коэффициентов при старших степенях переменной .

14

Правила вычисления пределов 2. Если степень знаменателя выше степени числителя, то предел такого вида равен нулю . 14

Правила вычисления пределов

2. Если степень знаменателя выше степени числителя, то предел такого вида равен нулю .

14

Правила вычисления пределов 3. Если же старшая степень числителя выше степени знаменателя, то, очевидно, все слагаемые знаменателя в пределе будут равны нулю, это означает, что предел не существует. 14

Правила вычисления пределов

3. Если же старшая степень числителя выше степени знаменателя, то, очевидно, все слагаемые знаменателя в пределе будут равны нулю, это означает, что предел не существует.

14

Вычислите самостоятельно пределы функций на бесконечности:  1.  2.  3.  4.

Вычислите самостоятельно пределы функций на бесконечности:

1.

2.

3.

4.

Методика вычисления пределов в точке Если функция существует в точке x = a, то ее предел равен f(a).  Пример 1.  Вычислить Решение.  Подставим вместо x число 3 (т.к. x  3 ) и применим правила вычисления пределов.    Примеры вычисления пределов

Методика вычисления пределов в точке

Если функция существует в точке x = a, то ее предел равен f(a).

Пример 1. Вычислить

Решение. Подставим вместо x число 3 (т.к. x 3 ) и применим правила вычисления пределов.

Примеры вычисления пределов

Примеры вычисления пределов Пример 2.  Вычислить Решение.       Пример 3.  Вычислить Решение.

Примеры вычисления пределов

Пример 2. Вычислить

Решение.

Пример 3. Вычислить

Решение.

Методика вычисления пределов в точке Если же функция в точке х = а не существует, в знаменателе дроби ноль, то вычисляем значение числителя в этой точке.  1.   2.   3.

Методика вычисления пределов в точке

Если же функция в точке х = а не существует, в знаменателе дроби ноль, то вычисляем значение числителя в этой точке.

1.

2.

3.

Примеры вычисления пределов Пример 1.  Вычислить  Решение.  Подставим вместо x число 2 (т.к. x  2 ) и применим правила вычисления пределов.

Примеры вычисления пределов

Пример 1. Вычислить

Решение. Подставим вместо x число 2 (т.к. x 2 ) и применим правила вычисления пределов.

Примеры вычисления пределов Пример 2.  Вычислить  Решение.  Подставим вместо x число 2 (т.к. x  2 ) и применим правила вычисления пределов.

Примеры вычисления пределов

Пример 2. Вычислить

Решение. Подставим вместо x число 2 (т.к. x 2 ) и применим правила вычисления пределов.

Примеры вычисления пределов Пример 3.  Вычислить  Решение.  Подставим вместо x число 3 (т.к. x  3 ) и применим правила вычисления пределов.

Примеры вычисления пределов

Пример 3. Вычислить

Решение. Подставим вместо x число 3 (т.к. x 3 ) и применим правила вычисления пределов.

Методика вычисления пределов в точке Если и в знаменателе и в числителе нули, то, говорят, имеем неопределенность вида .   Методика раскрытия таких неопределенностей проста. Если числитель и знаменатель дробно-рациональной функции при х = а, то разложение на множители и числителя и знаменателя обязательно содержат сомножитель (х – а), на который дробь будет сокращена. Покажем на примере.

Методика вычисления пределов в точке

Если и в знаменателе и в числителе нули, то, говорят, имеем неопределенность вида .

  •  

Методика раскрытия таких неопределенностей проста. Если числитель и знаменатель дробно-рациональной функции при х = а, то разложение на множители и числителя и знаменателя обязательно содержат сомножитель (х – а), на который дробь будет сокращена. Покажем на примере.

выяснили, что при х = 1 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида Примеры вычисления пределов Пример 1.  Вычислить   Решение. Выяснили, что при х = 1 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида , раскладываем числитель и знаменатель на множители, используя известную школьную методику разложения квадратного трехчлена на линейные множители

выяснили, что при х = 1 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида

Примеры вычисления пределов

Пример 1. Вычислить

 

Решение. Выяснили, что при х = 1 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида , раскладываем числитель и знаменатель на множители, используя известную школьную методику разложения квадратного трехчлена на линейные множители

выяснили, что при х = 1 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида Примеры вычисления пределов Пример 2.  Вычислить   Решение. Выяснили, что при х = 2 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида , раскладываем числитель и знаменатель на множители, используя известную школьную методику разложения квадратного трехчлена на линейные множители

выяснили, что при х = 1 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида

Примеры вычисления пределов

Пример 2. Вычислить

 

Решение. Выяснили, что при х = 2 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида , раскладываем числитель и знаменатель на множители, используя известную школьную методику разложения квадратного трехчлена на линейные множители

Примеры вычисления пределов Активно используйте формулы сокращенного умножения Пример 3.  Вычислить   Решение. Выяснили, что при х = 2 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида , воспользуемся формулами сокращенного умножения ,

Примеры вычисления пределов

Активно используйте формулы сокращенного умножения

Пример 3. Вычислить

 

Решение. Выяснили, что при х = 2 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида , воспользуемся формулами сокращенного умножения

,

Следующие пределы вычислите самостоятельно 1. 2.  4.  6. 7. 8.

Следующие пределы вычислите самостоятельно

1. 2.

  • 4.
  • 6.

7. 8.

Ответы 1. 2.  4.  6. 7. 8.

Ответы

1. 2.

  • 4.
  • 6.

7. 8.


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 11 класс.
Урок соответствует ФГОС

Скачать
Урок по теме "Предел последовательности"

Автор: Перминова Елена Витальевна

Дата: 18.02.2017

Номер свидетельства: 393185

Похожие файлы

object(ArrayObject)#863 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(49) "Предел последовательности"
    ["seo_title"] => string(24) "predel_posledovatelnosti"
    ["file_id"] => string(6) "574226"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1614236103"
  }
}
object(ArrayObject)#885 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(126) "Конспект по математике на тему: "Предел числовой последовательности""
    ["seo_title"] => string(74) "konspiekt-po-matiematikie-na-tiemu-priediel-chislovoi-posliedovatiel-nosti"
    ["file_id"] => string(6) "288020"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1454578178"
  }
}
object(ArrayObject)#863 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(150) "Конспект урока по теме "Методика изучения сложения и вычитания чисел в пределах 10""
    ["seo_title"] => string(80) "konspekt_uroka_po_teme_metodika_izucheniia_slozheniia_i_vychitaniia_chisel_v_pre"
    ["file_id"] => string(6) "617231"
    ["category_seo"] => string(7) "prochee"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1668281577"
  }
}
object(ArrayObject)#885 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(113) "Конспект урока математики  на тему:  «Числа от 1 до 9»  в 1 классе"
    ["seo_title"] => string(53) "konspiekturokamatiematikinatiemuchislaot1do9v1klassie"
    ["file_id"] => string(6) "291392"
    ["category_seo"] => string(16) "nachalniyeKlassi"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1455111755"
  }
}
object(ArrayObject)#863 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(149) "Конспект урока по теме: «Сложение однозначных чисел, без перехода через десяток» "
    ["seo_title"] => string(95) "konspiekt-uroka-po-tiemie-slozhieniie-odnoznachnykh-chisiel-biez-pieriekhoda-chieriez-diesiatok"
    ["file_id"] => string(6) "142688"
    ["category_seo"] => string(16) "nachalniyeKlassi"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1418328103"
  }
}




ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства