Понятие многогранника

Понятие многогранника

Урок геометрии в 10 классе

Работа учителя

математики МОУ «СОШ № 94» г. Саратова Яковлевой О.Е.

Содержание.

• Вступление
• Понятие многогранника
• Характеристика Эйлера
• Призма
• Решение задач
• Домашнее задание

Как называются представленные фигуры?

Обратите внимание, что каждая из этих поверхностей ограничивает некоторое геометрическое тело, отделяет это тело от остальной части пространства .

Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником .

Многие строения в окружающем нас мире имеют форму многогранников или состоят из нескольких разных многогранников

  Пирамида Хеопса

Памятник относится к эпохе Древнего царства (IV династия). Построена племянником фараона Хеопса Хемиуном.

Поэтому для лучшей сохранности, эксплуатации и моделирования здания нужно изучить свойства многогранников.

Многие многогранники изобрёл не человек, а создала природа в виде кристаллов:

Поваренная и каменная соль

Горный хрусталь

Кристаллы льда

Кристаллы кварца

Кристаллы граната

Кристаллы:

а)поваренной соли,

б) кварца,

в) алмаза,

г) граната.

Понятие многранника

Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником .

S

D

C

B

A

Из чего состоит поверхность многогранника?

Из многоугольников .

Значит грани многогранника – многоугольники.

В данном случае: Δ ASD, ΔASB, ΔDSC, ΔBSC,

четырехугольник ABCD

S

D

C

B

A

Что такое многоугольник ?

Это плоская фигура, образованная замкнутым рядом прямолинейных отрезков.

Прямолинейные отрезки – это рёбра , а концы рёбер – вершины многогранника.

Назовите вершины и рёбра многогранника.

S

D

C

B

A

Отрезок, соединяющий 2 несоседние вершины одной грани, называется диагональю грани , а отрезок, соединяющий 2 вершины, не принадлежащие одной грани, - это диагональ многогранника .

C 1

D 1

A 1

B 1

D

C

A

B

Характеристика Эйлера

Равенство, которое выражает Эйлерову характеристику, было им доказано в 1752 году.

Если характеристика Эйлера равна 2, то это выпуклый многогранник.

Вычисляется характеристика Эйлера следующим образом:

В – Р + Г , где В – число вершин, Р – число рёбер, Г – число граней.

Вычислим Эйлерову характеристику для известных уже многогранников и заполним таблицу:

№

Наименование многогранников

1

Тетраэдр

В

2

3

Р

4

Параллелепипед

6

Куб

Г

8

8

4

Эйлерова характеристика

12

12

6

6

Вычислим Эйлерову характеристику для известных уже многогранников и заполним таблицу:

№

Наименование многогранников

1

Тетраэдр

В

2

Параллелепипед

3

4

Р

Куб

6

Г

8

4

Эйлерова характеристика

12

8

12

2

6

2

6

2

Сделаем вывод , как подсчитать Эйлерову характеристику для произвольных многогранников и заполним таблицу:

№

Наименование многогранников

4

n-угольная пирамида

В

5

n-угольная

n+1

Р

2n

призма

Г

2n

3n

n+1

Эйлерова характеристика

2

n+2

2

Многогранник называется выпуклым , если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.

В противном случае – это невыпуклый многогранник.

Теорема .

В любом многограннике сумма всех плоских углов при каждой вершине меньше 360°.

Призма.

Задание классу:

К следующему уроку подготовить презентацию «Призма» (пункт 27).

Решение задач.

Задание классу: № 219, 223

Решение задач.

№ 219.

Дано:

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - прямоугольный параллелепипед, AB=12 см , BC=5 см, угол между AC 1 и (ABC) 45°.

Найти : BB 1 .

D 1

C 1

A 1

B 1

D

C

B

A

№ 219.

Решение .

Проекцией AC 1

на плоскость (ABC) является AC (CC 1 перпендикулярен к(ABC)). Значит, AC перпендикулярен CC 1 .

D 1

C 1

A 1

B 1

D

C

B

A

№ 219.

Решение .

Значит, угол CAC 1 =45°.

Имеем: ΔACC 1 прямоугольный и равнобедренный

AC=CC 1 =BB 1 .

Найдём AC в ΔABC:

AC=

=

Значит,CC1=DD1=13 см.

D 1

C 1

A 1

B 1

D

C

A

B

Ответ: 13 см.

Домашнее задание.

Задание классу:

Пункты 25-27, № 220.

№ 220.

Решение .

Большая диагональ - AC 1 ( Почему?)

Δ ACC 1 – прямоугольный

AC 1 =

Значит, AC 1 =26 см .

D 1

C 1

A 1

B 1

D

C

A

B

Ответ: 26 см.