ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ

Площадь криволинейной трапеции

Выполнила: Юзыч Людмила Ивановна учитель математики МБОУ «СОШ № 92»

Что такое криволинейная трапеция?

Криволинейной трапецией называют часть плоскости, ограниченную осью ОХ, прямыми х = а , х = в и графиком неотрицательной на отрезке [a;b] функции y = f(x).

Отрезок ab является основанием трапеции .

Фигура не является криволинейной трапецией, если :

• ни одна ее сторона не лежит на оси ОХ;
• она ограничена графиками нескольких функций;
• вся фигура или ее часть располагаются ниже оси ОХ.

Нахождение площади криволинейной трапеции

• Для нахождения площади криволинейной трапеции пользуются  интегралом .

• Воспользоваться формулой Ньютона – Лейбница:

S = F(b) – F(a)

• где F – это первообразная функции, ограничивающей трапецию, a и b – координаты концов отрезка, на котором рассматривается трапеция

• Если фигура не является криволинейной трапецией , то ее следует представить как комбинацию криволинейных трапеций и вычислить площадь как сумму или разность площадей, составляющих ее трапеций.
• Если фигура располагается ниже оси ОХ , то, применяя формулу Ньютона – Лейбница, следует поменять местами координаты концов отрезка:

S = F(a) – F(b)

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной перечисленными линиями, надо:

• Построить перечисленные линии в одной системе координат;
• Заштриховать искомую фигуру;
• Если получилась криволинейная трапеция, применить формулу Ньютона-Лейбница
• Если фигура не является криволинейной трапецией, найти ее площадь как сумму или разность каких-то криволинейных трапеций, опирающихся на тот же отрезок.

Пример

Найти: площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:  y=4x-x² ; y=0 ;  x=0 ;  x=4 .

Решение.   Строим графики данных линий. 1)  y=4x-x²  — парабола (вида y=ax²+bx+c). Запишем данное уравнение в общем виде: y=-x²+4x . Ветви этой параболы направлены вниз, так как первый коэффициент а=-1

Вершина параболы находится в точке  O′(m; n) , где О′(2; 4).  

Нули функции (точки пересечения графика с осью Ох) найдем из уравнения: 4х-х²=0.

Выносим  х  за скобки, получаем:   х(4-х)=0. Отсюда,  х=0  или  х=4 .  

Абсциссы точек найдены, ордината равна нулю — искомые точки:  (0; 0)  и  (4; 0) .

Пример

2)  y=0  — это ось Ох;

3)  х=0  — это ось Оy;

4)  х=4  — прямая, параллельная оси Оy и отстоящая от нее на 4 единичных отрезка вправо.

Площадь построенной криволинейной трапеции находим по  (ф. Н-Л).  У нас  f (x)=4x-x²,a=0, b=4.

Спасибо за внимание!