Площадь криволинейной трапеции и интеграл

Урок № 4 Дата: ___ класс

Тема: " Площадь криволинейной трапеции и интеграл"

Цели: Предметные-получить представление о понятии интеграла, криволинейной трапеции, площади криволинейной трапеции

Метапредметные- уметь самостоятельно принимать решения, проводить анализ своей деятельности; проявлять инициативу и самостоятельность в обучении.

Личностные- работать над критичностью мышления, быть инициативным, находчивым ;развитие самостоятельности, доброжелательного отношения, эмоциональной отзывчивости.

Задачи:

• Образовательные:

  • сформировать понятие интеграла;

  • формирование навыков вычисления определенного интеграла;

  • формирование умений практического применения интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции.

• Развивающие:

  • развитие познавательного интереса учащихся, развивать математическую речь, умения наблюдать, сравнивать, делать выводы;

• Воспитательные:

  • активизировать интерес к получению новых знаний, формирование точности и аккуратности при вычислении интеграла и выполнении чертежей.

Ход урока

1.Организационный момент (сообщение темы и цели урока).

2. Мотивация урока.

Понятие определенного интеграла является одним из основных понятий математики. К концу 17 в. Ньютоном и Лейбницем был создан аппарат дифференциального и интегрального исчисления, который составляет основу математического анализа.

На предыдущих занятиях мы научились “брать” неопределенные интегралы, вычислять определенные интегралы. Но куда важнее применение определенного интеграла. Мы знаем, что с его помощью можно вычислять площади криволинейных трапеций. Сегодня мы ответим на вопрос: “Как это сделать?”

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

Фронтальный опрос:

1. Что называется интегралом?

2. Что называется первообразной?

3. Как читается основное свойство первообразной?

4. Верно ли, что интеграл от любой степенной функ­ции будет снова степенной функцией?

5. F'(х) — f(x) - как это можно прочесть?

Является ли функция F(x)=  первообразной для функции  f(x)= на промежутке(- ? 

№3. Для функции f(x)=2x-6  найдите первообразную, график которой пересекает ось Ox в точке с абсциссой 4.

Проверка д/з

№ 995 решение

2) F(x)= = , 4) F(x)= =

№ 993 Решение

2) F(x)=4 , 4) F(x)=21sin

4. Изучение нового материала (Формирование новых понятий и способов действий)

Определение: Пусть дана положительная функция f(x), определенная на конечном отрезке [a;b]. Интегралом от функции f(x) на [a;b] называется площадь её криволинейной трапеции.
Обозначение: Читается: «интеграл от a до b эф от икс дэ икс»
Формула Ньютона-Лейбница
Пример 1. Вычислить определённый интеграл:
Переходим к вычислению площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Кроме умения вычислять определенный интеграл, нам нужно вспомнить свойства площадей. В чем они заключаются? Равные фигуры имеют равные площади. Если фигура разбита на две части, то её площадь находится как сумма площадей отдельных частей. Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и осью абсцисс. y x

5. Закрепление изученного материала

1 уровень сложности. Вычислите интегралы и выберите вариант ответа:

2 уровень сложности. Вычислите площадь фигур, ограниченных линиями:

3 уровень сложности. При каких a будет верно равенство:

Зарядка для глаз.

Нарисуй глазами треугольник.

Теперь его переверни вершиной вниз.

И вновь глазами ты по периметру веди.

Рисуй восьмерку вертикально.

Ты головою не крути,

А лишь глазами осторожно

Ты вдоль по линиям води.

И на бочок ее клади.

Теперь следи горизонтально,

И в центре ты остановись.

Зажмурься крепко, не ленись.

Глаза открываем мы, наконец.

Зарядка окончилась. Ты – молодец!

6. Историческая пауза.

Понятие интеграл непосредственно связано с интегральным исчислением – разделом математики, занимающимся изучением интегралов, их свойств и методов вычисления.

Более близко и точно к понятию интеграл подошел Исаак Ньютон. Он первый построил дифференциаль­ное и интегральное исчисления и назвал его "Методом флюксий..." (1670-1671 гг., опубл. 1736 г.). Переменные величины Ньютон назвал флюентами (текущими величинами, от лат. fluo – теку). Скорости изменения флюент Ньютон – флюксиями, а необходимые для вычисления флюксий бесконечно малые изменения флюент – "моментами" (у Лейбница они назывались дифференциалами). Таким образом, Ньютон положил в основу понятия флюксий (производной) и флюенты (первообразной, или неопределённого интеграла).

Это сразу позволило решать самые разнообразные, математические и физические, задачи.

Одновременно с Ньютоном к аналогичным идеям пришёл другой выдающийся учёный – Готфрид Вильгельм Лейбниц.

Размышляя над философ­скими и математическими вопросами, Лейб­ниц убедился, что самым надежным средством искать и находить истину в науке может стать математика. Знак интеграла (∫), был впервые использован Лейбницем в конце XVII века. Этот символ образовался из буквы S — сокращения слова лат. summa (сумма).

Ньютон и Лейбниц разработали две трактовки понятия обычного определенного интеграла.

Ньютон трактовал определенный интеграл как разность соответствующих значений первообразной функции:

, где F`(x)=f(x).

Для Лейбница определенный интеграл был суммой всех бесконечно малых дифференциалов.

.

Формулу, которую открыли независимо друг от друга Ньютон и Лейбниц назвали формула Ньютона – Лейбница.

Таким образом, понятие интеграл было связано с именами знаменитых ученых: Ньютон, Лейбниц, Бернулли, положивших основу современного математического анализа.

7. Самостоятельная работа.

Вычислите определённые интегралы и вы узнаете одно из высказываний французского математика С.Д.Пуассона.

8. Д/з.

1. № 999

2. №1000 (1);

3.  Прочитать параграф  56   до конца, разобрать, выучить формулы

9. Итоги урока. Рефлексия. Итоги урока. Рефлексия.

Оценить степень сложности урока.

Вам было на уроке:

• легко;

• обычно;

• трудно.

Оцените степень вашего усвоения материала:

• усвоил полностью, могу применить;

• усвоил полностью, но затрудняюсь в применении;

• усвоил частично;

• не усвоил.