Первообразная и интеграл, площадь криволинейной трапеции

Первообразная и интеграл

Преподаватель ГБПОУ СО «Свердловский областной педагогический колледж»

Перминова Е.В.

Определение производной функции?

Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента , стремиться к нулю.

Устная работа

1

сosх

-sinх+12

Устная работа

-cosx

Используя определение производной функции, решают ряд задач в алгебре, физике, химии.

Рассмотрим физический смысл производной .

материальная

точка

s(t) закон

движения

Задача: Точка движется прямолинейно по закону

s(t) = t 3 + 2t ( где s(t) – измеряется в м).

Найдите скорость точки в момент времени t=2с.

Решение:

v(t) =

3t 2 + 2

v(2) =

Ответ: 14 м/с.

Что мы сделали за урок?

• Повторили определение производной функции и формулы дифференцирования.

• Решили задачу на применение производной:

зная закон движения, нашли скорость при

заданном времени.

В математике часто приходиться решать

обратную задачу:

зная скорость найти закон движения.

По прямой движется материальная точка, скорость которой в момент времени t задается формулой v(t) = 3t 2 . Найдите закон движения.

Задача:

Решение:

Пусть s(t) – закон движения

надо найти функцию, производная которой равна 3t 2 .

Эта задача решена верно, но не полно.

Эта задача имеет бесконечное множество решени й.

3t 2

можно сделать вывод, что любая функция вида s(t)=t 3 +C является решением данной задачи, где C любое число.

3t 2

3t 2

3t 2

При решении задачи, мы, зная производную функции, восстановили ее первичный образ.

Эта операция восстановления - операция

интегрирования.

Востановленная функция – первообразная

( первичный образ функции)

функция y = F(х) (первообразная)

Операция

Операция

дифферен-цирования

интегри-

рования

y = f(х)

производная

Определение первообразной

y = F(x) называют первообразной для y = f(x) на промежутке X, если при x ∈ X

F'(x) = f(x)

функция y = F(х) (первообразная)

y = f(х)

производная

Операция

интегри-

рования

Операция

дифферен-цирования

В математике много операций которые

являются обратными

?

3 2 = 9

?

Сегодня мы познакомились с новой операцией

интегрирование

дифференцирование

?

Доказать, что функция

является первообразной для функции

Решение:

Доказать, что функция

является первообразной для функции

Решение:

Запомните:

Первообразная – это родитель

производной:

Первообразная

Первообразная

Элементарные функции

Элементарные функции

f(x)

f(x)

F(x)

F(x)

Сложные функции

Сложные функции

f(x)

f(x)

F(x)

F(x)

Три правила нахождения первообразных

Если функции у=f(x) и у=g(x) имеют на промежутке

первообразные соответственно у=F(x) и у=G(x) , то

Функция

Первообразная

у = f(x) + g(x)

у = F(x) + G(x)

у =k f(x)

у =k F(x)

Задача.

Для функции y=f(x) найдите первообразные:

а)

б)

а)

а)

в)

б)

г)

б)

в)

д)

+C

е)

г)

в )

д)

е)

г)

д)

е)

Самостоятельно

Для функции y=f(x) найдите первообразные:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Основное свойство первообразных

• Если F(x) – первообразная функции f(x), то и функция F(x)+C, где C – произвольная постоянная, также является первообразной функции f(x).

Геометрическая интерпретация

y

• Графики всех первообразных данной функции f(x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси y.

x

Неопределенный интеграл

Совокупность всех первообразных данной функции f(x) называется ее неопределенным интегралом и обозначается :

,

где C – произвольная постоянная.

Интегрирование прослеживается еще в древнем Египте, примерно в 1800 г. до н.э, Московский математический папирус демонстрирует знание формулы объёма усеченной пирамиды.

Первым известным методом для расчета интегралов является метод исчерпывания Евдокса (примерно 370 до н.э.), который пытался найти площади и объемы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объем уже известны .

Этот метод был подхвачен и развит Архимедом, и использовался для расчета площадей, парабол и приближенного расчета площади круга.

Аналогичные методы были разработаны не зависимо в Китае в 3-м веке н.э. Лю Хуэйем, который использовал их для нахождения круга.

Правила интегрирования

.

Определенный интеграл (Формула Ньютона - Лейбница)

• Для непрерывной функции на отрезке [a;b]

где F(x) – первообразная функции f(x).

Основные свойства определенного интеграла

Основные свойства определенного интеграла

Определенный интеграл

• В декартовой прямоугольной системе координат XOY фигура, ограниченная осью OX, прямыми x=a, x=b (a

Примеры

y

y

Y=f(x)

Y=f(x)

0

b

0

a

a

b

x

x

y

y

Y=f(x)

b

a

0

x

b

a

0

x

Y=f(x)

30

Определенный интеграл

Вычислим площадь криволинейной трапеции. Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей. Проведем через полученные точки прямые, параллельные оси OY. Заданная криволинейная трапеция разобьется на n частей. Площадь всей трапеции приближенно равна сумме площадей столбиков.

по определению , его называют

определенным интегралом от функции

y=f(x) по отрезку [a;b] и обозначают так:

Геометрический смысл определенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на промежутке [a;b] функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:

Геометрический смысл определенного интеграла

• Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [a;b] функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:

Геометрический смысл определенного интеграла

Замечание : Если функция изменяет знак на промежутке [a;b] , то

Алгоритм нахождения площади фигуры

Задача : Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=f(x) и y=g(x).

1. Строим (точно) график данных функций.

2. Найдём абсциссы точек их пересечения (границы интегрирования) из уравнения: f(x)=g(x).

Решаем его, находим x1=a,x2=b .

3. Выделяем свою фигуру. Выясняем, является ли данная фигура криволинейной трапецией.

4. Ищем площадь данной фигуры:

Площадь криволинейной трапеции находим по формуле Ньютона-Лейбница:

где F(x) – первообразная для f(x).

y

Y=g(x)

B

n

C

A

a

b

x

Y=f(x)

Формулы для нахождения площади различных фигур

y

1. Если криволинейная трапеция расположена ниже оси Ох (f(x)

2. Если фигура ограничена кривыми y=f(x) и y=g(x), прямыми x=a, x=b (при условии ),

то её площадь можно вычислить по формуле:

3.

a

b

0

x

F(x)

y

g(x)

f(x)

0

a

b

x

y

S3

S1

x

b

a

S2

1. Найдём пределы интегрирования:

2. Данная фигура не является криволинейной трапецией, следовательно, искомую площадь можно получить как разность площадей прямоугольника АBCO и криволинейной трапеции АОCBD.

Физический смысл определенного интеграла

При прямолинейном движении перемещение s численно равно площади криволинейной трапеции под графиком зависимости скорости v от времени t:

Вычисление площадей и объемов

с помощью определенного интеграла

Площадь фигуры,

Ограниченной графиками непрерывных функций y=f(x) и y=g(x) таких, что

для любого x из [a;b], где a и b – абсциссы точек пересечения графиков функций:

Объем тела,

полученного в результате вращения вокруг оси x криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на отрезке [a;b]: