Некоторые способы решения квадратных уравнений

Некоторые способы решения квадратных уравнений

Работа выполнена:

слушателем курсов повышения

квалификации учителей

Изибаевой Альбины Михайловны,

учителем математики

I квал. категории МБОУ Кучуковской СОШ

Теория уравнений в школьном курсе алгебры занимает ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Это связано с тем, что большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений.

В учебнике алгебры для 8 класса учащиеся знакомятся с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатывают их решение по формулам.

Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики очень часто учащиеся встречаются с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, это также может пригодится при решении более сложных задач, в том числе и в 9 классе при сдаче ОГЭ.

Цель работы: научиться решать квадратные уравнения, изучить различные методы их решения.

Задачи:

- изучить историю развития квадратных уравнений;

- рассмотреть стандартные и нестандартные методы решения квадратных уравнений;

- выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений;

- научиться решать квадратные уравнения различными способами.

История развития квадратных уравнений.

1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.

Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

X2 + X = ¾; X2 - X = 14,5

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

2. Квадратные уравнения в Греции или как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.

В «Арифметике» Диофанта встречается такая задача: «Найти два числа, зная, что их сумма равна 40, а произведение - 300»

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 300, а 400. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 20 + х, другое же меньше, т.е. 20 - х. Разность между ними 2х.

Отсюда уравнение:

(20 + х)(20 - х) = 300

х2 - 100 = 0

Отсюда х = 10. Одно из искомых чисел равно 30, другое 10. Решение х = -10 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

0. В уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим." width="640"

3 . Квадратные уравнения в Индии.

Задачи на квадратные уравнения встречаются в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ах2 + bх = с, а 0.

В уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

4. Квадратные уравнения у ал - Хорезми.

В алгебраическом трактате ал - Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах2 + с = bх.

2) «Квадраты равны числу», т.е. ах2 = с.

3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах2 + с = bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах2 + bx = с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах2.

5. Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал - Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы.

6. О теореме Виета.

Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B + D, умноженное на A - A2, равно BD, то A равно В и равно D».

Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А, как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х), гласные же В, D - коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры выше приведенная формулировка Виета означает: если имеет место

(а + b)х - х2 = ab, т.е.

х2 - (а + b)х + аb = 0, то

х1 = а, х2 = b.

II. Способы решения квадратных уравнений

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных уравнений и неравенств. Многие практические задачи решаются с их помощью.

В школе изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения.

Квадратным уравнением называют уравнение вида ах2+ bх + с = 0, где коэффициенты а, в, с- действительные числа, а ≠ 0.

Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых т.е. коэффициенты в и с отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов в или, с равен нулю.

Корнем квадратного уравнения ах2 + вх + с = 0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах2 + вх + с обращается в нуль.

Решить квадратное уравнение — значит найти все его.

Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение х2 + 10х - 24 = 0.

1. Разложим левую часть на множители:

х2 + 10х - 24 = х2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х - 2) = 0

Произведение множителей равно нулю, если по крайней мере, один из его множителей равен нулю.

х + 12= 0 или х – 2=0

х=-12 х=2

Ответ: -12; 2.

Метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение х2 + 6х - 7 = 0.

Выделим в левой части полный квадрат:

х2 + 6х - 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 - 32 - 7 = (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3)2 - 16.

тогда, данное уравнение можно записать так:

(х + 3)2 - 16 =0,

(х + 3)2 = 16.

х + 3=4 или х + 3 = -4

х1 = 1 х2 = -7

Ответ: 1; -7.

Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Чтобы квадратное уравнение

привести к приведенному виду, нужно все его члены разделить на a, тогда

Решение уравнений способом «переброски»

Рассмотрим квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение а2х2 + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у2 + by + ас = 0

Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета и окончательно:

х1 = у1/а и х1 = у2/а.

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример.

Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у2 – 11у + 30 = 0. Согласно теореме Виета

у1 = 5 , х1 = 5/2 , x1 = 2,5

у2 = 6; x2 = 6/2; x2 = 3.

Ответ: 2,5; 3.

Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

1. Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю),

то х1 = 1, х2 = с/а.

2) Если a – b + c=0, то х2 =-1, х2 = -с/а

Примеры.

1) А. Решим уравнение 345х2 – 137х – 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то

х1 = 1, х2 = c/a = -208/345.

Ответ: 1; -208/345.

Графическое решение квадратного уравнения.

Используя знания о квадратичной и линейной функциях и их графиках, можно решить квадратное уравнение так называемым функционально-графическим методом. Причем некоторые квадратные уравнения можно решить различными способами, рассмотрим эти способы на примере одного квадратного уравнения.

Пример. Решить уравнение =0

1способ. Построим график функции , воспользовавшись алгоритмом.

1)Имеем:

Вершина параболы - (1;-4), а осью параболы – прямая x=1

2) Возьмем на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки

х= -1 и х=3, тогда f(-1)=f(3)=0.

3) Через точки (-1;0) , (1;-4), (3;0) проводим параболу

Корнями уравнений являются абсциссы точек пересечения параболы с осью х; значит, корни уравнения

2 способ.

Преобразуем уравнение к виду

Построим в одной системе координат графики функций и

Они пересекаются в двух точках A(-1;1) и B(3;9). Корнями уравнения служат абсциссы точек A и B, значит,

В ходе выполнения своей работы я считаю, что с поставленной целью и задачами я справилась, мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме.

Способов решения квадратных уравнений очень много. Я нашла 10 способов решения квадратных уравнений. Нужно отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них по-своему уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время. При работе можно ставить задачу выяснить какие методы являются стандартными, а какие нестандартными.

Итак , стандартные методы (используются чаще при решении квадратных уравнений):

• Решение квадратных уравнений по формулам

• Теорема Виета

• Графическое решение уравнений

• Разложение левой части на множители

• Выделение полного квадрата

Нестандартные методы:

• Решение способом переброски коэффициентов

• Свойства коэффициентов квадратного уравнения

При решении квадратных уравнений можно сделать следующие выводы: Для того, чтобы хорошо решать любое квадратные уравнения необходимо знать:

• формулу нахождения дискриминанта;

• формулу нахождения корней квадратного уравнения;

• алгоритмы решения уравнений данного вида.

уметь:

• решать неполные квадратные уравнения;

• решать полные квадратные уравнения;

• решать приведенные квадратные уравнения;

• находить ошибки в решенных уравнениях и исправлять их;

• делать проверку.

Литература

1. Мордкович, А. Г. Алгебра.8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений.

2. Мордкович, А.Г. Алгебра.8 класс. Задачник для общеобразовательных учреждений

• Глейзер, Г.И. История математики в школе/ Г.И. Глейзер.-М.: Просвещение, 1982-
• 4. Гусев, В.А. Математика. Справочные материалы/ В.А. Гусев, А.Г. Мордкович - М.: Просвещение, 1988,
• Брадис, В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы/ В.М, Брадис-М.: Просвещение, 1990