Способы решения квадратного уравнения. Использование частных соотношений коэффициентов.

Урок в 8 классе по алгебре с применением технологии критического мышления в процессе преподавания математики.

Тема:   «Способы решения квадратного уравнения. Использование частных соотношений коэффициентов»

Учитель: Гусак Валентина Арсентьевна  КГУ «Новосветловская средняя  школа».

 

Цели: -расширить знания способов решения квадратных уравнений, повторить теорему Виета, изучить свойства коэффициентов;

-подготовить учащихся к выполнению теста;

-воспитывать коллективизм, поддержку в командах;

-развивать логическое мышление, быстроту, сообразительность;

-учить грамотной математической речи;

-формировать у учащихся умение прислушиваться к ответам своих товарищей,отстаивать свое решениеесли уверены вправильности ответа.

 

Оборудование и раздаточный материал: проектор, компьютер, карточки с заданиями и сигнальные карточки, стикеры, ватманы, магниты.

План урока:

Этапы урока

Время, мин

Приемы и методы

1. Этап актуализации знаний.

2.  Мотивация учебной проблемы

5

Беседа учителя

3.  Основное содержание урока. Формирование и закрепление у учащихся представления о свойствах коэффициентов квадратного уравнения.

4. Проверка понимания материала темы.

15

 

 

8

Групповая работа. Изучение темы и составление постеров, вопросов высокого и низкого порядков.

5. Закрепление изученного материала.Формирование умений и навыков.

6. Ассоциации.

3

 

3

Защита постеров. Ответы на вопросы

7. Проверка усвоения знаний.

5

Ранжирование по признакам, работа по карточкам. Проверка решений.

8. Рефлексия

3

Пожелание. «Дартс».

 

Ход урока

Этап

Время

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Ресурсы

1. Эмоциональный настрой на урок.

3

Встать в круг. Игра летает, не летает.

 На дворе весна, апрель месяц. Вернулись перелетные птицы.

На столах лежат карточки, найдите  какие перелетные птицы к нам прилетели, образуйте группы по 6 человек.(4 группы)

Формируют группы:

  скворцы, цапли, грачи, лебеди.

картинки с птицами

журавли, ласточки, скворцы, цапли.

1. Этап актуализации знаний. Мотивация учебной проблемы. Постановка целей

- я знаю что коэффициенты обладают определенными свойствами

- я могу применять данные свойства при  решении уравнений

-я могу объяснить товарищам в решении уравнений, как используются данные свойства.

2

1. Мы с вами уже изучили некоторые способы решения квадратных уравнений. Обсудите в группе и назовите эти способы. Заполним «Понятийное колесо».
2. Каждая группа назовите по одному способу. И заполните понятийное колесо.

Сегодня мы расширим представление о способах решения квадратных уравнений, используя свойства коэффициентов.

Сформулируем цели урока, чего вы должны достичь сегодня.

На кругах пишут способы решения квадратного уравнения:

1. Решение неполного квадратного уравнения

2. Выделения квадрата двучлена

3.С помощью формулы

4. Графически

5. С помощью теоремы Виета.

6. Используя формулы сокращенного умножения

7. По формуле с четным коэффициентом.

8. Другое.

 

круги по колличеству групп.

8 по 4=32, магниты 10 шт.

1. Стадия осмысления.

 

 

Формирование и закрепление представления о свойствах коэффициентов квадратного уравнения.

5

 

 

 

 

10

В восьмом классе, учащиеся знакомятся с квадратными уравнениями и способами их решения. При этом, как показывает опыт, большинство учащихся при решении полных квадратных уравнений применяют только один способ – формулу корней квадратного уравнения. Для учеников, хорошо владеющих навыками устного счета, этот способ явно нерационален. Решать квадратные уравнения учащимся приходится часто и в старших классах, а там тратить время на расчет дискриминанта просто жалко.

Тема «Свойства коэффициентов» в курсе алгебры рассматривается после изучения темы «Решение квадратного уравнения по формуле».

прием «Зигзаг».

Каждый в группе получает ресурс, один из трех, пронумерованный 1,2,3.

Каждый знакомится с материалом и формируются новые группы по 6 человек (с №1, с №2, с №3).

на постерах

«Зигзаг» (один из вариантов использования приемов). Класс разделен на четверки, у каждого школьника номер от 1 до 4. Дети работают с текстом, каждый сосредоточен на части с соответствующим номером, затем первые номера объединяются с первыми, вторые – со вторыми и т.д. для обсуждения своей части текста,  составления схемы рассказа по теме и выбора представителя, который проведет итоговую презентацию. Вернувшись в свою группу, школьники по схеме рассказывают о своей части текста, слушают других, делают записи в тетрадях, затем эксперты от каждого номера проводят презентации своих тем, все остальные вносят уточнения и дополнения. 

Ресурсы (№1,№2, №3) на 4 группы.

1. Проверка понимания материала темы

 

8

Группе «Цапля» предоставляется возможность защитить свой постер.

Остальным участникам подготовить по два вопроса  для осмысления и закрепления данной темы.

Защита постера и ответы на вопросы.

Когда целесообразней изучать свойство коэффициентов, до или после изучения теоремы Виета?

 

маркеры, 6 ватманов.

1. Закрепление изученного материала. Формирование умений и навыков.

3

Найдите три признака, общих для данных свойств и три отличия.

Какое слово созвучно со свойством, в котором несколько раз мы слышим и произносим «ца», дробь «це» на «а».  Подумайте, на что похоже по произношению, выглядит единица  как, произносится как…и это слово  уже сегодня звучало в аудитории?

В природе существуют несколько видов цапли. Есть белая цапля и серая цапля. Как вы думаете, какую цаплю можно соотнести к какому из свойств?

 

Группы отвечают:

1. Используются все три коэффициента

2. К сумме (с+а)…. 3.Похожие формулы корней.

1. (с+а)+-в  
2. +-1  
3. +-с/а.

 

Диалогическая беседа. Обсуждение слайда.

 

слайд «Цапля белая и серая»

6. Ассоциации

3

Какое слово созвучно со свойством, в котором несколько раз мы слышим и произносим «ца», дробь «це» на «а».  Подумайте, на что похоже по произношению, выглядит как, произносится как…«Цапля».

Обсудите и назовите, что есть общего и в чем различия между белой и серой цаплей? Назовите по оному признаку и соотнесите с цаплями.

Выглядит, как…

Звучит, как…

При условии: а+в+с=о

«Цапля» белая

 

 

 

При условии:

а-в+с=о

«Цапля» серая

 

 

 

 

 

7.Проверка усвоения знаний.

5

1. -5х² - 8х – 3=0
2. 3х2-10х+7=0
3. 4х2-11х+7=0
4. -2х2-4х+6=0
5. 3х² + 11х – 4=0 
6. х² - 4х +3=0 
7. 3х² - 2х – 5=0
8. х² + 7х – 8=0
9. х² + 6х – 7=0 
10. х² - 7х + 10=0

 

Выполните задание. Разложите в три колонки уравнения, решаемые по свойству «белой цапли», «серой цапли» и по формуле, через дискриминант.

Назови корни уравнений.

ресурс 4.

8. Рефлексия.

3

Подведем итог нашей работы в виде игры в «Дартс».

На стикерах напишите 1 пожелание и 1 замечание и приклейте в один из секторов.

Пишут пожелания.

стикеры, плакат.

 

 

 

 

РЕСУРС №1

Использование частных соотношений коэффициентов.

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.

 

Корни квадратного уравнения, сумма всех коэффициентов которого равна нулю

 

Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулю (), то корнями такого уравнения являются  и отношение свободного члена к старшему коэффициенту .

Доказательство

Способ 1. Сначала выясним, действительно ли такое уравнение имеет два корня (в том числе, два совпадающих):

D=b2-4ac= (-(a+c))2-4ac=a2+2ac+c2-4ac=a2-2ac+c2=(a-c)2

Да, это так, ведь при любых действительных значениях коэффициентов , а значит и дискриминант неотрицателен. Таким образом, если , то уравнение имеет два корня, если же , то оно имеет только один корень. Найдём эти корни:

 

 

 

В частности, если а=с, то корень будет один:  1.

 

Отсюда, прежде, чем решать уравнение стандартными методами, следует проверить применимость к нему этой теоремы: сложить все коэффициенты данного уравнения и посмотреть, не равна ли нулю эта сумма.

 

 

 

 

 

 

 

РЕСУРС №2

Использование частных соотношений коэффициентов.

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.

 

Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту

 

Если в квадратном уравнении  сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту:  (речь идёт об уравнении с вещественными коэффициентами), то его корнями являются   и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту.

Доказательство

Способ 2. Сначала выясним, действительно ли такое уравнение имеет два корня (в том числе, два совпадающих):

.

Да, это так, ведь при любых действительных значениях коэффициентов , а значит и дискриминант неотрицателен. Таким образом, если , то уравнение имеет два корня, если же , то оно имеет только один корень. Найдём эти корни:

.

 

 

В частности, если , то корень будет один: 

Отсюда, прежде, чем решать какое-либо квадратное уравнение, следует проверить возможность применения к нему этой теоремы: сравнить сумму старшего коэффициента и свободного члена со вторым коэффициентом.

 

 

 

 

 

 

РЕСУРС №3

Использование частных соотношений коэффициентов.

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.

 

Пусть дано квадратное уравнение  ах2  + bх + с = 0, где а ≠ 0.

1. Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю),
2.  
3.     

Доказательство

 Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

x2 + x + = 0.

 Согласно теореме Виета

x1•x2 = 1•

x1 + x2 = - .

 

 

1. Если же  а – b +  с = 0, откуда b = а + с, то:
2.  
3.  

 

•  

Согласно теореме Виета

x1•x2  = - 1• ( - ),

x1 + x2 = - а + = -1 – .

                            

т.е. х1 = -1 и х2 = - , что и требовалось доказать.