Матрицы и определители

Матрицы и определители. Элементарные преобразования матрицы.

Преподаватель Университетского колледжа БФУ им И Канта

Е.В.Ерусалимский

Определители матриц (детерминанты).

• Определение.   Определителем  квадратной матрицы  

• называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:
•   

• где  М 1к  – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.
•     
• Предыдущая формула позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:

  Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула:

  Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители.

• Определитель единичной матрицы равен 1.
•      Для указанной матрицы А число М 1к  называется  дополнительным минором  элемента матрицы a 1k . Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.

Свойство матриц

Элементарные преобразования матрицы

Определение.   Элементарными преобразованиями  матрицы назовем следующие преобразования:

1) умножение строки на число, отличное от нуля;

  2) прибавление к элементам одной строки элементов другой строки;

   3) перестановка строк;

  4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);

  5) транспонирование;

   Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями.

С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк ( столбцов ).

Миноры

Определение.  Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется  минором  матрицы А. Если выделено s строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s.

  Выше сказанное применимо не только к квадратным матрицам, но и к прямоугольным .

   Если вычеркнуть из исходной квадратной матрицы А выделенные строки и столбцы, то определитель полученной матрицы будет являться дополнительным минором.

Алгебраические дополнения

Определение .   Алгебраическим дополнением  минора матрицы называется  его дополнительный минор, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы.

В частном случае, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его дополнительный минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число четное и с противоположным знаком, если нечетное.

Теорема Лапласа .  Если выбрано s строк матрицы с номерами i 1 , … ,i s , то определитель этой матрицы равен сумме произведений всех миноров, расположенных в выбранных строках на их алгебраические дополнения.

Примеры