Из истории тригонометрии

Л.Ю.Бухараева

Гимназия 96

г. Казани

Тема: «Из истории тригонометрии. Материалы к уроку»

Проблема :

• Ученикам часто кажется, что тригонометрия – это скучный набор формул и графиков. И они не догадываются, что многое из того что нас окружает: восход и заход Солнца, затмения и движения планет, вращение колеса и биение сердца — это периодические процессы и явления, которые можно описать тригонометрическими функциями.

Тригонометрические функции

Сам термин «тригонометрические функции» введён Клюгелем в 1770.

• Тригонометрические функции  —  элементарные функции , которые исторически возникли при рассмотрении  прямоугольных треугольников  и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при  гипотенузе  (или, что эквивалентно, зависимость  хорд  и высот от  центрального угла  в  круге ). Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное  вещественное  или даже комплексное число .
• Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией .

• К тригонометрическим функциям относятся:
• прямые тригонометрические функции
• синус (sin  x )
• косинус (cos  x )
• производные тригонометрические функции
• тангенс (tg  x )
• котангенс (ctg  x )
• другие тригонометрические функции
• секанс (sec  x )
• косеканс (cosec  x )
• В западной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan  x , cot  x , csc  x .

• Кроме упомянутых существуют также   редко используемые тригонометрические функции  (версинус и т.д.), а также обратные тригонометрические функции(арксинус, арккосинус и т. д.), рассматриваемые в отдельных статьях.
• Синус и косинус вещественного аргумента являются периодическими непрерывными и неограниченно дифференцируемыми 

вещественнозначными функциями.

• Остальные четыре функции на вещественной оси также вещественнозначные, периодические и неограниченно дифференцируемые на области определения, но не непрерывные. Тангенс и секанс имеют разрывы второго рода в точках ±π n  + π/2, а котангенс и косеканс — в точках ±π n .

Древняя Греция

• Потребность в решении треугольников раньше всего возникла в астрономии: и в течении долгого времени тригонометрия развивалась изучалась как один из отделов астрономии. Насколько известно: способы решения треугольников (сферических) первые были письменно изложены греческим астрономом Гиппархом в середине 2 века до н.э. Наивысшими достижениями греческая тригонометрия обязана астроному Птолемею (2 век н.э.), создателю геоцентрической системы мира, господствовавшей до Коперника.

• Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые Аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вафа, Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/604. Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский  астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.

• Длительную историю имеет понятие синус. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III веке до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского.

• В римский период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (I век н.э.), хотя и не приобрели специального названия.  Современный синус a, например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной a, или как хорда удвоенной дуги.

История понятия синуса

• Слово  синус  появилось в математике далеко не сразу. Этот термин имеет свою длительную (начиная с I-II вв.) и интересную историю. Зарождение тригонометрии связано с именами александрийских астрономов и в первую очередь с именем Клавдия Птолемея .

История понятия косинуса

• Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completely sinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”; cosa =  sin( 90° - a)). Современное обозначение синуса sin и косинуса cos введено Леонардом Эйлером в XVIII веке.

прямые тригонометрические функции

синус ( sin x) , косинус ( cos x)

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

История развития тангенса

•   Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов.  Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.
• Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г.  Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов – касательная к единичной окружности).

История возникновения котангенса

• Не сохранилась. По видимому, его "родил" тангенс, когда как-то перевернулся (шутка).

производные тригонометрические функции

тангенс ( tg x) , котангенс ( ctg x)

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

Формулы

Спасибо за внимание!