"Исследование функций"

Презентация к уроку математики в 10 классе по теме « Исследование функций »

Подготовила: учитель математики

Постникова И.В.

МКОУ «Михайлоанненская СОШ»

Цель урока: способствовать развитию навыков чтения графиков и построения графиков функций , используя схему исследования функций.

I .РАБОТА С УЧЕБНИКОМ 1. Построение графиков функций. Метод построения графиков функций «по точкам» не позволяет заметить существенных особенностей функции и в итоге ошибиться при построении графика

y

y

y

x

x

x

0

0

Естественно предположить, что эскиз графика близок к непрерывной кривой, проходящей через все эти точки .

y

x

0

Однако «настоящий» график (естественно, проходящий через эти точки) может быть совершенно не похож на этот эскиз.

y

x

x

x

0

0

y

y

y

y

y

y

x

x

x

x

x

x

0

0

0

0

Чтобы избежать ошибок, надо научиться выявлять характерные особенности функции, т. е. предварительно провести её исследование .

• Исследуем функцию

• 1. Область определения функции вся числовая прямая, т.к. знаменатель не обращается в нуль.
• 2. Функция чётная, поэтому достаточно исследовать функцию и построить её график при х ≥ 0
• 3. Точки пересечения с осями координат:
• а) с осью ординат (0;1);
• б) с осью абсцисс точек пересечения нет, т.к. уравнение f (х)=0
• ( его корни называют нулями функции) не имеет корней.
• 4. Найдём промежутки, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения; их называют промежутками знакопостоянства функции

0 на всей числовой прямой. Это значит, что график функции лежит выше оси абсцисс. 5.Промежутки возрастания и убывания функции. f (х ) возрастает на промежутке (-∞;0] и убывает на промежутке [0;+ ∞). 6. В точке х=0 возрастание функции сменяется убыванием. х=0 – точка максимума функции; f (0)= 1. 7. При неограниченном увеличении х значения функции (оставаясь положительными) приближаются к нулю Полученных свойств функции достаточно для построения графика функции . y y 1 1 x x x x x x 1 0 1 0 -1" width="640"

При любом х значение выражения х²+1 положительно, т.е. f (х)0 на всей числовой прямой. Это значит, что график функции лежит выше оси абсцисс. 5.Промежутки возрастания и убывания функции. f (х ) возрастает на промежутке (-∞;0] и убывает на промежутке [0;+ ∞). 6. В точке х=0 возрастание функции сменяется убыванием. х=0 – точка максимума функции; f (0)= 1. 7. При неограниченном увеличении х значения функции (оставаясь положительными) приближаются к нулю

• Полученных свойств функции достаточно для построения
• графика функции .

y

y

1

1

x

x

x

x

x

x

1

0

1

0

-1

Схема исследования функций.

• 1. Найти область определения и область значений данной функции.
• 2.Выяснить, является ли функция:
• а) чётной или нечётной;
• б) периодической.
• 3. Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат.
• 4. Найти промежутки знакопостоянства функции.
• 5. Выяснить, на каких промежутках функция возрастает и на каких убывает.
• 6.Найти точки экстремума, вид экстремума и вычислить значения функции в этих точках.
• 7. Исследовать поведение функции в окрестности характерных точек и больших ( по модулю) значениях аргумента.

Графики среднесуточного хода температур по Московской области в феврале 1974 года.

Линии А и В - долгосрочный прогноз;

В –линия фактического хода температур;

Г – климатическая норма.

В

5

0

-5

Г

-10

Б

-15

А

-20

24

28

26

20

22

18

14

12

10

8

6

4

2

16

II . Закрепление изученного материала.

1.Устно № 93 по рис.57(а,б)

Проведите по общей схеме исследование функции, заданной графиком.

y

5

0

x

1

-5

-1

3

5

-8

-2

y

2

x

-2

0

0 б) f (х) 4. 5. О(0;0) [-6;-4); (-2;6] (-4;-2) Промежутки а) возрастания б) убывания Точки максимума, максимум функции. точки минимума, минимум функции [-5;0), (0;4] - [-3;1], [4;6] [-6;-3], [1;4] 6. [-5;-2] ;[0;4] [-2;0] 1, f (1) =3 -3, f (-3) = -2 4, f (4) =1 Дополнительные точки графика -2, f (-2) =2 0, f (0) =0 f (-6)=3 f (6) =5 f (-5) = 0,5 f (4) =6" width="640"

2.№ 94(а; б) Используя приведенные в таблице свойства функции f (х) построить её график (свойства в тетрадь не переносить)

Свойство функции

1.

2.

а)

Область определения

Область значений

3.

Точки пересечения графика

а)с осью Ох

б)с осью Оу

[-6;6]

[-2;5]

б)

[-5;4]

[0;6]

А(-4;0); В(-2;0)

С(0; 2,5)

Промежутки знакопостоянства

а) f (х) 0

б) f (х)

4.

5.

О(0;0)

[-6;-4); (-2;6]

(-4;-2)

Промежутки

а) возрастания

б) убывания

Точки максимума,

максимум функции.

точки минимума,

минимум функции

[-5;0), (0;4]

-

[-3;1], [4;6]

[-6;-3], [1;4]

6.

[-5;-2] ;[0;4]

[-2;0]

1,

f (1) =3

-3, f (-3) = -2

4, f (4) =1

Дополнительные точки графика

-2, f (-2) =2

0, f (0) =0

f (-6)=3

f (6) =5

f (-5) = 0,5

f (4) =6

y

5

4

3

2

1

0

x

2

-4

-1

-2

4

-3

-5

-6

1

6

5

3

1

2

y

5

4

3

2

1

x

0

3

4

5

6

1

-6

-5

-4

-3

-2

-1

2

1

2

№ 95(а).Проведите по общей схеме исследование функции и постройте её график f (х) = 5 – 2х

• Решение:
• 1. D ( f ) = (-∞;+∞);
• 2. f (-х)= 5- 2∙ (-х) =5+ 2х=-(-5 – 2х) – функция ни чётная ни нечётная; непериодическая.
• 3.пересечение с осью Ох:
• у = 0; х = 2,5;
• пересечение с осью Оу:
• х = 0; у = 5.
• 4. f (х) 0 при х € (- ∞;2,5)
• f (х)
• 5.функция убывает на (-∞;+ ∞);
• точек экстремума нет;
• 6.Е(у) =(-∞;+ ∞)

y

5

4

3

2

1

0

x

-1

6

5

4

3

2

1

-6

-5

-4

-3

-2

1

2

• III . Домашнее задание:
• № 94(в,г); №95(б;в;г);
• Стр.290, стр292 №95 и №101.

• Спасибо за внимание .