Исследование функций методами дифференциального исчисления

ПрактическАЯ РАБОТА№ 14

Тема: Применение производной для исследования и построения графиков функций.

Цели:

• изучить последовательность исследования и построения графика функции с помощью производной

• научиться решать примеры на исследования и построения графика функции с помощью производной

Оснащение занятия: конспект лекций.

Порядок выполнения работы

Задание 1.

- Ознакомиться с лекциями № 12,

- Пользуясь лекциями, ответить на вопросы и ответы записать в тетрадь:

1.Какая функция называется возрастающей (убывающей)?

2. Каким образом монотонность связана с производной?

3. Выпишите в тетрадь правило для отыскания промежутков монотонности.

4.Что такое точки экстремума и экстремумы функции?

5. Как с помощью производной находят экстремумы функции? Записать в тетрадь правило отыскания экстремумов функции.

6. Какая точка называется точкой перегиба функции?

7. Выпишите в тетрадь правило для отыскания промежутков выпуклости – вогнутости функции и точек перегиба.

8.Какие виды асимптот вы знаете?

9. Как находятся разные виды асимптот?

Задание 2.

Решить примеры для самостоятельного решения

Лекция 12.

Тема «Применение производной к исследованию функций

и построению графиков.

Промежутки монотонности и экстремумы функции»

Функция называется возрастающей (убывающей) в некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции. Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными.

Монотонность функции y = f(x) характеризуется знаком её первой производной f '(x), а именно, если в некотором промежуткеf '(x)

f '(x), то функция возрастает (убывает) в этом промежутке.

Отсюда получаем правило для нахождения промежутков монотонности функцииy = f(x).

1. Найти нули и точки разрыва f '(x).

2. Определить знак f '(x) в промежутках, на которые полученные в п. 1 точки делят область определения функцииf(x); промежутки, в которых f '(x ), являются промежутками возрастания функции, а промежутки, в которых

f '(x). При этом если на двух соседних промежутках, граничная точка которых является нулем производной f '(x), знак f '(x) одинаков, то они составляют единый промежуток монотонности.

Точка х = х₀ называется точкой максимума (минимума) функции

y = f(x), если существует такая окрестность точки х₀, что для всех х(х х₀) из этой окрестности выполняется неравенство f(x)f(x₀) (соответственноf(x)f(x₀)

Точки максимума и минимума функции называются точками её экстремума, а значение функции в точке максимума (минимума) – максимумом (минимумом) или экстремумом функции.

Точками экстремума являются лишь те из критических точек, при переходе через которые первая производнаяf '(x) меняет знак, а именно, если при переходе через критическую точку х = х₀ в положительном направленииf '(x) меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то

х = х₀ есть точка максимума (минимума).

Отсюда получаем правило отыскания экстремумов функции y = f(x).

1. Найти нули и точки разрыва f '(x).

2. Определить знакf '(x) в промежутках, на которые полученные в п. 1 точки делят область определения функцииf(x).

3. Из этих точек выделить те, в которых функцияf(x) определена и по разные стороны от каждой из которых производная f '(x) имеет разные знаки – это и есть экстремальные точки. При этом экстремальная точка х = х₀ является точкой максимума, если при движении по осиОх в положительном направлении она отделяет промежуток, в котором f '(x) , от пf '(x), и точкой минимума в противном случае.

Заметим, что точки, в которых производная обращается в нуль, иногда проще исследовать на экстремум, выяснив знак второй производной f ''(x₀): точках = х₀, в которой f ''(x₀) = 0, а f ''(x)существует и отлична от нуля, является экстремальной, а именно точкой максимума, если f ''(x₀) 0, и точкой минимума, если f ''(x₀) 0.

Примеры для самостоятельного решения.

Найдите промежутки монотонности следующих функций:

1. у = х⁴ - 32х + 40

2. у = lnx -

3. у(х) =

Исследовать функцию на экстремумы:

4. у(х) = 3х⁴ – 4х³

5.у(х) =

Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба».

Кривая называется выпуклой (вогнутой) в некотором промежутке, если она расположена ниже(выше) касательной, проведенной к кривой в любой точке этого промежутка. Выпуклость или вогнутость кривой, являющейся графиком функции y = f(x), характеризуется знаком второй производной f ''(x), а именно, если в некотором промежуткеf ''(x)(соответственноf ''(x)), то кривая выпукла (вогнута) в этом промежутке.

Точкой перегиба кривой называется такая её точка, которая отделяет участок выпуклости от участка вогнутости.

Точками перегиба графика функцииy = f(x) являются лишь те из указанных точек, при переходе через которые вторая производнаяf ''(x) меняет знак.

Отсюда получаем правило отыскания промежутков выпуклости и вогнутости и точек перегиба графика функции.

1. Найти точки, в которых вторая производная f ''(x) обращается в нуль или терпит разрыв.

2. Определить знак f ''(x) в промежутках, на которые полученные в п. 1 точки делят область определения f (x); промежутки, в которых

f ''(x)промежутки вогнутости, а промежутки, в которыхf ''(x), - промежутки выпуклости графика функцииy = f(x).

3. Из полученных в п. 1 точек выделить те, в которых функцияf(x) определена и по разные стороны от каждой из которых вторая производная

f ''(x) имеет противоположные знаки, - это и есть абсциссы точек перегиба графика функции y = f(x).

Тема «Асимптоты»

Прямая Ах + Ву + С = 0 называется асимптотой кривой y = f(x), если расстояние от этой прямой до точки М(х; f(x)) данной кривой стремится к нулю при х² + у².Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Если по крайней мере один из пределов функцииy = f(x) в точке а справа или слева равен бесконечности, т. е. если

= или = ,

то прямаях = а является вертикальной асимптотой.

Если существует конечный предел функции при хили х, т. е. если = в или = с, то прямая у = в (у = с) является горизонтальной асимптотой (при х она называется правой, а при х - левой).

Если существуют пределы

= k₁ и [ – k₁x] = b₁,

то прямаяу =k₁х + b₁ служит наклонной (правой) асимптотой.

Аналогично, если существуют пределы

= k₂ и [ – k₂x] = b₂,

то прямаяу =k₂х + b₂ служит наклонной (левой) асимптотой.

Заметим, что горизонтальную асимптоту можно рассматривать как частный случай наклонной асимптоты при k = 0.

Примеры.

1. Найти асимптоты кривой y =

Решение. Кривая имеет вертикальную асимптоту х = -2, так как

= - , = +

(х = -2 – точка разрыва II рода).

Найдем горизонтальную асимптоту: = -5.

Итак, данная кривая имеет вертикальную асимптоту х = -2 и горизонтальную асимптоту у = - 5.

2. Найти асимптоты кривой y =

Решение. Кривая имеет вертикальную асимптоту х = 3, поскольку

+ -

Так как при х функция не имеет конечного предела, то горизонтальных асимптот у данной кривой нет. Ищем наклонные асимптоты:

= = = -1

b = = = = 4

Следовательно, прямая у= –х + 4 служит наклонной асимптотой (рис. 1)

рис 1рис 2

Исследовать на выпуклость, вогнутость и точки перегиба графики следующих функций:

1. у = 3х⁵ – 10х⁴ – 30х³ + 12х + 7

2. у =

3. у = ln(х² + 4)

Найти асимптоты заданных кривых:

4. у =

5. у =

Контроль знаний обучающихся:

• проверить практическую работу;

Требования к оформлению практической работы:

Задание должно быть выполнено в тетради для практических работ

Работу сдать после занятия

ПрактическАЯ РАБОТА№ 15

Тема: Применение производной для исследования и построения графиков функций.

Цели:

• изучить последовательность исследования и построения графика функции с помощью производной

• научиться решать примеры на исследования и построения графика функции с помощью производной

Оснащение занятия: конспект лекций.

Порядок выполнения работы

Задание 1.

- Ознакомиться с лекциями № 13,

- Пользуясь лекциями, ответить на вопросы и ответы записать в тетрадь:

1.Какова последовательность исследования функции с помощью производной?

2. Выписать в тетрадь общую схему исследования функции и построения графика

3. Запишите в тетрадь рассмотренные в лекции примеры на исследование функции и построение графиков.

Задание 2.

Решить примеры для самостоятельного решения

Лекция 13

Тема «Общая схема исследования функции и построение её графика»

1. Найти область определения функции D(f)

2. Выяснить, не является ли функция чётной или нечётной, периодической. Функция является чётной, если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x) = f(x). График чётной функции симметричен относительно оси ординат.

Функция является нечётной, если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x) =- f(x). График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Функция называется периодической, если существует такое число Р, что для любого х из области определения функции выполняется равенство:

f(x-P) = f(x) = f(x+P).

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

х=0. у=… у=0. х=…

4. Найти асимптоты графика функции.

Асимптотой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка графика функции при неограниченном удалении от начала координат. График функции имеет вертикальную асимптоту при х, если. График функции имеет горизонтальную асимптоту, если = b. График функции имеет наклонную асимптоту y = kx +b, если существуют такие числа k и b, что выполняются равенства: = k = b

5. Найти промежутки монотонности и её экстремумы. Вычислить значения функции в точках экстремума.

6. Найти промежутки выпуклости - вогнутости графика функции и точки перегиба. Выпуклость вниз или вверх графика функции характеризуется знаком её второй производной: если в некотором промежутке f"(x)0, то график функции выпуклый вниз в этом промежутке; если же f"(x)

7. Построить график, используя полученные результаты исследования.

Пример 1.

1. Построить график функции у = х³ – 6х² + 9х – 3

Решение. 1. Функция определена на всей числовой прямой, т. е. D(y) = R.

2. Данная функция не является ни четной, ни нечетной; кроме того, она не является периодической.

3. Найдем точку пересечения графика с осью Оу: полагая х = 0, получим

у = -3. Точки пересечения графика с осью Ох в данном случае найти затруднительно.

4. Очевидно, что график функции не имеет асимптот.

5. Найдем производную: у' = 3х² – 12х +9. Далее, имеем 3х² – 12х +9 = 0

х² – 4х + 3 = 0 х₁ = 1, х₂ = 3. Полученные точки делят область определения функции на три промежутка: (-,1), (1, 3), (3, +). В промежутках (-,1) и

(3, +) у', т. е. функция возрастает, а в промежутке (1, 3) у', т. е. функция убывает. При переходе через точку х = 1 производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку х = 3 – с минуса на плюс. Значит, у_max = y(1) = 1, y_min = y(3) = -3

6. Найдем вторую производную у '' = 6х – 12; 6х – 12 = 0, х = 2. Точка х = 2 делит область определения функции на два промежутка (-, 2) и (2, +). В первом из них у ''а во втором у '', т. е. в промежутке (-, 2) кривая выпукла, а в промежутке (2, +) кривая вогнута.

Таким образом, получаем точку перегиба (2; -1)

7. Используя полученные данные, строим искомый график (см. рис.).

Пример 2.Построить график функции у =

1. Находим область определения функции D(y) = (-

2. Данная функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.

3. При х = 0 получим у = 0, т. е. график проходит через начало координат.

4. Так как =, то прямая х = 3 служит вертикальной асимптотой графика.

Далее находим = = 1

b = = [ = = 3

Следовательно, прямая у = х + 3 является наклонной асимптотой графика.

5. Находим у' = = =

Производная у' обращается в нуль в точках х = 0 и х = 6 и терпит разрыв при х = 3. Этими точками числовая прямая делится на четыре промежутка:

(-,0), (0, 3), (3, 6), (6, +). Исследуем знак у' в каждом из них. Очевидно, что у' в промежутках (-,0) и (6, +) (в этих промежутках функция возрастает) и у' в промежутках (0, 3) и (3, 6) (в этих промежутках функция убывает). При переходе через х = 0 производная меняет знак с плюса на минус, т. е. это точка максимума, а при переходе через х = 6 – с минуса на плюс, т. е. это точка минимума. Находим у_max = y(0) = 0,

y_min = y(6) = 12.

Находим у '' = =

Вторая производная в нуль нигде не обращается и терпит разрыв при х = 3. В промежутке (-,3) имеем у '', т. е. в этом промежутке кривая выпукла; а в промежутке (3, +) имеем у '', т. е. в этом промежутке кривая вогнута. Точек перегиба нет.

7. На основании полученных данных строим график функции (см. рис.)

Пример 3.Построить график функции у = хе^х

1. Здесь D(y) = R.

2. Функция не является ни четной, ни нечетной. Исследуемая функция непериодична.

3. При х = 0 имеем у = 0, т. е. график функции проходит через начало координат.

4. Так как у при х, то исследуемая кривая имеет левую горизонтальную асимптоту – прямую у = 0. Вертикальных и наклонных асимптот кривая не имеет.

5. Найдем производную данной функции у' = е^х + хе^х = е^х(х+1).

Производная у' обращается в нуль при х = -1. Точка х = -1 делит область определения функции на два промежутка (-,-1) и (-1, +), в первом из которых у', а во втором у'. Следовательно, исследуемая функция в промежутке (-,-1) убывает, а в промежутке (-1, +) возрастает. Точка х = -1 есть точка минимума, минимум функции y_min = y(-1) = - .

6. Находим вторую производную у '' = е^х(х+1) + е^х = е^х(х+2).

Она обращается в нуль при х = - 2; мы получили два промежутка знакопостоянства второй производной: (-,-2) и (-2, +). В первом из них

у '', т. е. в этом промежутке кривая выпукла; а в промежутке (-2, +) имеем у '', т. е. в этом промежутке кривая вогнута. Точка х = -2 – абсцисса точки перегиба. Точка перегиба имеет координаты (-2, - ).

7. По полученным данным строим график функции (см. рис.)

Примеры для самостоятельного решения

Исследовать и построить графики функций:

1. у =

2. у =

3. у = x²e^x

Контроль знаний обучающихся:

• проверить практическую работу;

Требования к оформлению практической работы:

Задание должно быть выполнено в тетради для практических работ

Работу сдать после занятия