Презентация к практическому занятию "Решение задач по теме «Исследование функции с помощью производной»

ГБОУ СПО

«Сызранский медико-гуманитарныйколледж»

Решение задач по теме «Исследование функции с помощью производной»

Разработала: преподаватель математики Н.Л. Косырева

Применение производной к исследованию функции

1. Промежутки монотонности

2. Точки экстремума и значение

функции в этих точках

3. Наибольшее и наименьшее

значение функции

4. Построение графика функции

Справочный материал Таблица производных

Монотонность функции

• Если производная функции y=f(x) положительна на некотором интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает

• Если производная функции y=f(x) отрицательна на некотором интервале, то функция в этом интервале монотонно убывает .

0 , значит, функция возрастает. Найдем эти участки графика. Решение: 2. Найдем все целые точки на этих отрезках. y y = f (x) 5 4 3 2 1 x -9 -8 -7 -6 -5 - 4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 Ответ: 8" width="640"

На рисунке изображен график функции у = f(x) , определенной на интервале (-9; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции  положительна.

1. f / (x) 0 , значит, функция возрастает. Найдем эти участки графика.

Решение:

2. Найдем все целые точки на этих отрезках.

y

y = f (x)

5

4

3

2

1

x

-9 -8 -7 -6 -5 - 4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 6 7 8

-1

-2

-3

-4

Ответ: 8

На рисунке изображен график функции у = f(x) , определенной на интервале (-5; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции  отрицательна.

1. f / (x)

Решение:

2. Найдем все целые точки на этих отрезках.

y

5

4

3

2

1

y = f (x)

x

-9 -8 -7 -6 -5 - 4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 6 7 8

-1

-2

-3

-4

Ответ: 5

f(x 0 ) Определение 2. Точку х=х 0 называют точкой максимума функции f (х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) Точки максимума и минимума объединяют общим термином – точки экстремума" width="640"

Экстремумы функции

Определение 1. Точку х=х 0 называют точкой минимума

функции f (х), если у этой точки существует окрестность,

для всех точек которой выполняется неравенство f(x) f(x 0 )

Определение 2. Точку х=х 0 называют точкой максимума

функции f (х), если у этой точки существует окрестность,

для всех точек которой выполняется неравенство f(x)

Точки максимума и минимума

объединяют общим термином –

точки экстремума

Точки экстремума

Если функция y=f(x) имеет экстремум в точке x=x0 ,

то в этой точке производная функции

или равна нулю , или не существует

Стационарные точки

Критические точки

Касательная в

таких точках графика

не существует

Касательная

в таких точках

графика параллельна оси ОХ

Непрерывная функция у = f(x) задана на отрезке [ a;b ]

На рисунке изображен ее график. В ответе укажите количество точек графика этой функции, в которых касательная параллельна оси Ох.

y

y = f(x)

b

a

x

http://mathege.ru:8080/or/ege/Main?view=TrainArchive

Ответ: 5

9

9

Достаточное условие существования экстремума функции:

• Если при переходе через критическую точку х 0 функции f(x) ее производная меняет знак с «+» на «-», то х 0 – точка максимума функции f(x) .

• Если при переходе через критическую точку х 0 функции f(x) ее производная меняет знак с «-» на «+», то х 0 – точка минимума функции f(x) .

• Если при переходе через критическую точку х 0 функции f(x) ее производная не меняет знака, то в точке х 0 экстремума нет.

9

Возрастает : (-9;-3) и (3;6)

Убывает : (-3;3)

Максимум : - 3; 6

Минимум ; 3

На рисунке изображен график производной функции у = f (x) , заданной на промежутке (- 8; 8).

Найти точки, в которых f / (x) =0 (это нули функции).

y

y = f / (x)

4

3

2

1

+

+

+

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

x

1 2 3 4 5 6 7

–

–

-1

-2

-3

-4

-5

f / (x)

x

7

3

0

-5

f(x)

Исследуйте функцию у = f (x) на экстремум и укажите количество ее точек минимума.

y

y = f / (x)

4

3

2

1

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

4 точки экстремума

x

1 2 3 4 5 6 7

-1

-2

-3

-4

-5

+

+

f / (x)

–

+

- 8

8

–

x

7

3

0

-5

f(x)

Ответ:2

Найдите количество точек экстремума функции у = f (x)

на отрезке [ – 3; 7 ]

y

y = f / (x)

4

3

2

1

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

x

1 2 3 4 5 6 7

-1

-2

-3

-4

-5

+

8

f / (x)

- 8

+

–

+

–

x

3

0

7

-5

f(x)

Ответ: 3

На рисунке изображен график функции f(x) , определенной на интервале (-3;10) . Найдите сумму точек экстремума функции f(x) .

3

0

1

-1

2

6

7

8

9

-1 + 0 + 1+2 + 3 + 6 + 7+ 8 + 9= 35

Ответ: 35

Исследование функции на монотонность

• Найти D ( f ) и исследовать на непрерывность

функцию f (х).

• Найти производную f ´.

• Найти стационарные и критические точки

функции f (х).

• Отметить промежутки знакопостоянства f ´.

и промежутки монотонности функции f (х).

Найти промежутки монотонности функции y=2x³-3x²-36x+5

• Область определения : R . Функция непрерывна.
• Вычисляем производную : y’=6x²-6x-36.
• Находим критические точки: y’= 0.

x²-x-6 =0

Д=1-4*(-6)*1=1+24=25

• Делим область определения на интервалы:

-

+

+

-2

3

5.Функция возрастает при x ϵ (-∞; -2 ) υ ( 3; +∞) ,

функция убывает при x ϵ ( -2; 3 ) .

14

Найти промежутки монотонности функции y=x³-3x²

• Область определения : R . Функция непрерывна.
• Вычисляем производную : y’= 3 x²-6x.
• Находим критические точки: y’= 0.

x²- 2 x = 0

x(x-2)= 0

x 1 =0 и x 2 =2

• Делим область определения на интервалы:

+

-

+

2

0

5. Функция возрастает при x ϵ (-∞;0] υ [2;+∞) ,

функция убывает при x ϵ [0 ; 2] .

14

Алгоритм исследования функции f (х) на экстремум с помощью производной :

• Найти D ( f ) и исследовать на непрерывность функцию f (х).

• Найти производную f ´

• Найти стационарные и критические точки функции f (х) и на координатной прямой отметить промежутки знакопостоянства f ´.

• Посмотрев на рисунок знаков f ´, определить точки минимума и максимума функции и вычислить значения f (х) в этих точках.

Исследовать на экстремум функцию y=x 2 +2.

• Исследовать на экстремум функцию y=x 2 +2.
• Исследовать на экстремум функцию y=x 2 +2.

Решение:

• Находим область определения функции: D(y)=R.
• Находим производную: y’=(x 2 +2)’=2x.
• Приравниваем её к нулю: 2x= 0 , откуда x = 0 – критическая точка.
• Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале:

-

+

0

• х =0 – точка минимума.

Найдём минимум функции y min =2.

Исследовать на экстремум функцию y= 1/3 x 3 -2 x 2 +3 x+1.

Решение:

• Находим область определения функции: D(y)=R.
• Находим производную: y’=( 1/3 x 3 -2 x 2 +3 x+1)’=x 2 -4x+3.
• Приравниваем её к нулю: x 2 -4x+3=0 , откуда x 1 =1, x 2 =3 – критические точки.
• Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале:

+

+

-

1

3

5. x =1 – точка максимума. Найдём максимум функции

y max =7/3.

x =3 – точка минимума. Найдём минимум функции: y min =1.

Общая схема исследования функции

• Найти область определения функции f (х).
• Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование, то есть является ли функция f (х):

а) четной или нечетной;

б) периодической.

• Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат.
• Найти промежутки знакопостоянства производной функции f (х) .
• Выяснить, на каких промежутках функция f (х) возрастает, а на каких убывает.
• Найти точки экстремума (максимум или минимум) и вычислить значения f (х) в этих точках.
• Исследовать поведение функции f (х) в окрестности характерных точек не входящих в область определения.
• Построить график функции.

Исследовать функцию f(x)=x 4 -2x 2 -3

• Область определения : D (f)=R
• Четность – нечетность функции :

f (-x)=x 4 -2x 2 -3 ,

значит f (-x) = f (x) для любого х , принадлежащего D (f) – функция является чётной.

• Координаты точек пересечения графика с осями координат

с ось Оу: f(x)=0: (x 2 - 3 )(x 2 + 1) =0; x=± ;

с осью Ох: f(0)=- 3

• Промежутки знакопостоянства производной f’ .
• f’(x)= 4х 3 - 4 x= 4х (x-1)(x+1) =0 х = -1; 0; 1.

3), 4) Другие корни (если они есть) могут быть найдены только приближенно. Поэтому для данной функции остальные точки пересечения графика с осью абсцисс и промежутки знакопостоянства мы находить не будем.

5), 6) Рассматриваемая функция имеет три критические точки.

• Промежутки монотонности функция f (х).

• Точки экстремума и значения f в этих точках.

• Составить таблицу.

x

f’(x)

(- ∞ ; -1)

-1

f(x)

−

(-1; 0 )

0

0

+

-4

min

( 0 ; 1 )

0

1

-3

-

(1;+ ∞ )

max

0

-4

+

min

• Построить график функции.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) на отрезке [a;b]

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения

непрерывной функции f(x) на промежутке [a;b] , нужно

• вычислить её значения f(a) и f(b) на концах данного промежутка;
• вычислить её значения в критических точках, принадлежащих этому промежутку;
• Выбрать из них наибольшее и наименьшее .

Записывают : max f(x) и min f(x)

[a;b] [a;b]

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

Самостоятельная работа