Интеграл.

Презентация преподавателя математики Хвцевской средней школы Парастаевой Эллы

Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Определение интеграла

• Рассмотрим на отрезке [a,b] функцию f(x), непрерывную и неотрицательную на данном промежутке. Разобьем отрезок [a,b] на n отрезков одинаковой длины точками x1,x2….xn-1 где a
• =xk-xk-1,k=1,2,…n-1,n На каждом отрезке[xk-1;xk] выберем по точке ξ, xk-1≤ξ≤xk и вычислим значение f(ξ) нашей функции f(x) в этой точке. Умножим f(x) на длину xk-xk-1=Δx отрезка [xk-1;xk]. Сложим все полученные произведения т.е.составим сумму
• σ = Она носит название интегральной суммы или суммы Римана . Заставим Δx стремится к нулю.Тогда I= называется определенным интегралом от функции f(x) по промежутку [a;b].Он обозначается символом Читать нужно « интеграл от а до b эф от х дэ х» Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределом интегрирования, а отрезок [a;b]-промежутком интегрирования.

Свойства интеграла

• 1.

• 2.

• 3.

• 4.

• 5.

• 6.

Геометрический смысл интеграла

• Рассмотрим задачу о вычислении площади криволинейной трапеции Пусть функция f неотрицательна и непрерывна на отрезке [a;b], тогда площадь S соответствующей криволинейной трапеции(фигуры ограниченной сверху графиком функции f(x), снизу осью x, по бокам прямыми x=a, x=b) можно подсчитать следующим образом. Разобьем отрезок [a;b] на n отрезков одинаковой длины точками x0=a
• пусть xk-xk-1,где k=1,2,….n-1,n На каждом из отрезков [xk-1;xk] как на основании построим прямоугольник высотой
• f(xk-1).Площадь того прямоугольника равна
• а сумма площадей всех таких прямоугольников равна

В силу непрерывности функции f объединение построенных прямоугольников при большом n ,

т.е. при малом Δx , почти совпадает с интересующей нас криволинейной трапецией. Можно предположить, что Sn S при n. Предположение верно. Даже для любой непрерывной на отрезке функции. Итак, если f(x)≥0 на отрезке [a;b],то площадь S соответствующей криволинейной трапеции выражается формулой

Формула Ньютона-Лейбница

• Имели для площади криволинейной трапеции ранее формулу S=F(b)-F(a),где F(x)-первообразная для функции f(x) на промежутке, и

• формулу S=
• Сравнивая их получим, что если F-первообразная для функции f на

• [a;b],то

• Это и есть формула Ньютона-Лейбница. Она верна для любой функции f,непрерывной на отрезке [a;b]

Приложения интеграла

• Вычисление длины дуги кривой Длина дуги кривой y=f(x), где a≤x≤b, вычисляется по

• формуле l= или l=.

• Длина дуги заданной параметрическими
• уравнениями x= ,y= (t1≤t≤t2), выражается
• формулой
• l= l=

Объем тела вращения

• Объем тела полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции АabВ,где АВ-дуга кривой y=f(x) между точками x=a,x=b, вычисляется по формуле

• Vх= или Vx= Объем тела, полученного вращением вокруг оси ОУ криволинейной трапеции СcdD,где CD-дуга кривой x= (c≤y≤d), определяется по формуле
• Vy= или Vy=

• Работа переменной силы Пусть точка по оси ОХ под действием силы, проекция которой на ось ОХ есть функция f от х.При этом мы предполагаем, что f есть непрерывная функция. Под действием этой силы материальная точка переместилась из точки М(a) в точку М(b).Тогда работа вычисляется по

• формуле A=

• Центр масс Пусть вдоль стержня-отрезка [a;b] оси ОХ распределена масса
• плотностью где - непрерывная функция. Тогда
• суммарная масса стержня равна М= координата

• центра масс x’=

Физические приложения интеграла

• Высшая математика : Учеб. для вузов/ В. С. Шипачев.- М.: Высш. школа,2005.
• Высшая математика : Учеб.- 2-е изд., перераб. и доп./ Ильин В.А., Куркина А. – М.:ТК Велби, Изд-во Проспект, 2006.
• Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н; под ред. проф. Кремера Н.Ш.-2-е изд., перераб. и доп. –М.: ЮНИТИ, 2000.
• Математика: Учебник (Серия «Профессиональное образование»)/ Дадаян А.А.- М.: ФОРУМ: ИНФА-М,2004.
• Математический анализ: задачи и решения : учебное пособие/ Г.И. Просветов. -М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.