kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Интеграл. тесты.

Нажмите, чтобы узнать подробности


Тест 
1.Вычислите √((-27)^2 )+(-4)^3+(-8)^2
А)0
В)27 +
С)75
Д)-75
Е)51
2. Вычислите √(0,04+) ?0,125-√100
А)-11,7
В)-10,3
С)-9,3 +
Д)-9,2
Е)-9,1
3. Вычислите х<0,у>0; х√у+√(х^2 )?у
А)√(2х&у)
В)1
С)0 +
Д)√(-2х&у)
Е)ху
4.Освободитесь от иррациональности в знаменатели дроби1/√(2-√3) 
А)3
В)2+√3
С) √(2+√3)  +
Д)√(2+√3) /3
Е) √(2-√3) 
5.Найдите наименьшее значение х, если (√2?√3?√4?√5???√10)/х


А)√2
В)√6
С) √7 +
Д) √8
Е) √5

    Вычислите: √(а+1/а+2) + √(а+1/а-2), если а>1.
    1
    A
    1/(√a)
    2/(√a)
    2√a +

    Вычислите выражение: x-√(4-√2-y),если x=√(3-√2) , y=(√8х?√(10&x^5 ))/√(3-2√2+1) .
    6
    √2
    2√2
    1 +
    -6

    Вычислите: √((x-2y))2 - ?(?8y?^3 )-√(x^2 ), где х<0; у>0.
    1
    0 +
    -2х
    2y
    y
    Сократите дробь: ((√45-√20)(√12+√75)?7√3)/(√5+√180)
    10
    12+
    6
    8
    14

    Упростите выражение: (1-√3)?(√(1+√3) )?(1+√3)   ?√(6&1+√3)
    -2+
    2
    4
    1
    1+√3
    Упростите выражение: (2a-3)/√(2a+√24a+3)  +  (a+√3a)/√(6&a^3 )
    2√a
    2√a-1
    2√a+1
    (√2+1)√a +
    √a
    √((-4)^2 )-√(4^2 )- √((-9)^2 )-√(10-2√9) =?
А)-10
В)-11 +
С)-9
Д)9
Е)5
     13. А=√(2х-6+2√(х^2-6х+5)-) √(2х-6-2√(х^2-6х+5).) Найдите А² , если х≥ 5
А)х-2
В)2х+4
С)4(х-5) +
Д)2х+1
Е)2х
14. Освободитесь от иррациональности в знаменатели дроби:√(6-1)/?(73-√4704) .
А)2-√6
В)1-√6
С)1+√6
Д)1 +
Е)3
15. Вычислите 1/(2-√3)  -  3/√3.
А)2 +
В) √3
С)2+√3
Д)3+2√3
Е)3
16. Упростите выражение: 1+1/(1+√2)  +  1/(√2+√3)  +  1/(√3+√4)  +???+ 1/(√97+√98).
А)6√2
В)7√2 +
С)54
Д)63
Е)8√2
17. Вычислите: х^(1/4) + х^(-1/4) + ((1-√х)  (1- х^(-1/4) ))/(1+ х^(1/4) )
А) 2 +
В) х^(1/4) - √х
С) ( √х-1)/х^(1/4) 
Д) (х^(1/4)- √х)/√х
Е)0
18. Упростите выражение: (?(-8)- ?((-4)^2 ))/((-1)^(-1)-2^2 )
А)-1
В)0
С)4⁄5 +
Д)1
Е)5⁄4
19. Упростите выражение:(√8? ?4? ?2)/(√(16&16)? ?2) 
А)√(2&2^11 ) +
В)2√(6&36)
С)√(12&1/8)
Д)√(12&2)
Е)2 
20. Упростите выражения:?(-9?√(8+3/2)) ?√(2/9??8) 
А)3√3
В)- 3√3
С)1⁄2
Д)3
Е)-3 +
21. Упростите выражение:√0,001?(√(4,9 )- √0,9)
А)1⁄5
В)1⁄25 +
С) 3⁄5
Д)16⁄25
Е)4⁄25
22. Упростите выражение:(√(75-) √(48+) √108+√12):3√3
А)2
В)3 +
С)5
Д)9
Е)12
23. √(9&8)+?512+√(12&16)=?
А)√(6&2)
В)6?2
С)4^(1⁄3)
Д)2?2^(1/3)+8 +
Е)3^(1⁄3)
24. Выразите число √200 через х , если х=√(1+√50) .
А)4(х^2-1)
В)4(х+1)
С)4(х-1)
Д)2(х^2-1) +
Е)2(1-х^2)
25.Упростите выражение:(1+3/√3)/(3/√3-1)  - √3
А)√3
В)2+√3
С)2-√3
Д)2 +
Е)1
 

 

 

 

Первообразная и интеграл

Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке X, если для любого x є X справедливо равенство F’(x)=f(X). F(x) = ∫?(x)dx. Если F(x) – первообразная для функции f(x) на промежутке Х, то у функции f(x) бесконечно много первообразных, и все эти первообразные имеют вид F(x) +C, где С – произвольная постоянная. Пусть задана f(x) функция. Множество всех первообразных для f(x) называется неопределенным интегралом от f(x) и обозначается ∫?f(x)dx.Операция нахождения неопределенного интеграла по заданной функции  f(x)     называется интегрированием этой функции.

    Свойства неопределенного интеграла

    Первообразная суммы функций, равна сумме их первообразных. ∫??[(x)+g(x)]dx?=∫?f(x)dx+∫?g(x)dx
Например: ∫?(sinx+lnx)dx=∫?sinxdx+∫?lnxdx
    Первообразная разности функций, равна разности их первообразных. ∫??[f(x)-g(x)]dx?=∫?f(x)dx-∫?g(x)dx
Например: ∫?(x^2-2^x )dx=∫??x^2 dx?-∫??2^x dx?
    Постоянный множитель выносится перед знаком первообразной функции. ∫??a?f(x)dx?=а? ∫?f(x)dx
Например: ∫??2?x^3 dx?=2? ∫??x^3 dx?

 

    Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а дифференциал – подынтегральному выражению.  
d/dx ∫?f(x)dx=f(x)  и d∫??f(x)dx=f(x)dx?

Например: d/dx [∫?ln?xdx ]=ln?x
               Основные правила интегрирования
    ∫?x^n  dx = x^(n+1)/(n+1)+c,n ≠ -1
Например: ∫??x^2 dx=x^(2+1)/(2+1)+c=x^3/3+c?
    ∫??(f’(x))/(f(x)) dx=ln|f(x) |+c?

    ∫??a^x dx=a^x/lna?+C

Например: ∫??6^x dx=6^x/ln6+С?
    ∫??e^x dx?=e^x+C
    ∫?sin  xdx=-cosx+C
    ∫?cos??xdx=sin??x+C? ? 
    ∫?1/(?cos?^2 x) dx=tgx+C
    ∫??1/(?sin?^2 x) dx=-ctgx+C?
    ∫?1/√(1-x^2 )  dx=arcsinx+c=-arcosx +C
    ∫?1/(1+x^2 ) dx = arctgx +c=-arcctgx+c


Неопределенный интеграл
Определенным интегралом на промежутке [а;b] от непрерывной функций   y=f(x) является интеграл функции  f(x) на промежутке от a до b . Здесь a и b нижний и верхний пределы интегрирования соответственно. Если функция F(x)- первообразная функции  f(x) на отрезке [a;b], тогда  ∫_a^b??f(x)dx=F(x)?|?(b@a)= F(b) – F(a)  Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.
  Пример  1: ∫_1^2?x^5 =x^6/6??(2@1)=2^6/6-1^6/6=64/6-1/6=21/2
    ∫_0^1??e^x dx?=e^x  ??(1@0)=e^1-e^0=e-1
    ∫_0^(π/2)?cos??xdx=sin??x??(π⁄2@0)? ? = sin??π/2?- sin??0=1-0=1?
    ∫_0^2??(x+?1)3dx= ((x+1)^4)/4 ??(2@0) = 3^4/4-1^4/4=20
    ∫_1^2?1/(2x-1) dx= ln???2x-1??/2  ??(2@1)= ln3/2-ln1/2=ln/2=ln√3
Свойства определенного интеграла
    ∫_a^b??[f(x)+ g(x)]dx= ? ∫_a^b??f(x)dx+ ∫_a^b?g(x)dx?
    ∫_a^b??k ?f(x)dx=k∫_a^b?f(x)dx?
    ∫_a^b??(x)? dx=∫_a^c??(x)? dx+∫_c^b??(x)? dx,
C є [a;b]
    ∫_a^b??f(x)? dx=-∫_b^a?f(x)dx
    ∫_a^a??f(x)? dx=0

 

Пример 2: 
    ∫_0^(π⁄3)??(cos??x-sin??x)? ? ? dx= ∫_0^(π⁄3)?cos??xdx- ?  ∫_0^(π⁄3)?sin?xdx =(sin??x+cos??x)? ???(π⁄3@0)= ?(sin???π/3+cos??π/3)? ? - (sin??0+ cos?0 ?)= (√3-1)/2


Тест 
    Вычислите:∫?sin?2х  dх.
    sin2x+c
    1/2sin2x+c
    1/2 cos2x+c
    -1/2 cos2x+c +
    -1/2 sin2x+c
2. Вычислите: ∫??(х+1)^21 ? dх.
А) ((x+?1)?^22)/22+c +
В) ((x+?1)?^20)/20+c
С) 21(x+?1)?^20+c
D) ((x+?1)?^20)/22+c
Е) ((x+?1)?^21)/22+c
3. Вычислите: ∫??(3х^2-2х+1?) dх.
А)х^3+х^2+х+с.
В) х^3+х^2-х+с.
С) х^3-х^2+х+с. +
Д) ?3х?^3-2х^2+х+с.
Е) ?3х?^3+2х^2+х+с.
4.  Вычислите: ∫?sin^2  3хdх.
А)х/2+sin?6х/12+с.
В)  х/2-sin?6х/12+с. +

С)  х/2-cos?6х/12+с.
Д)  х/2+cos?6х/12+с.

Е)  х/2-sin?6х/6+с.
5. Вычислите: ∫?tg хdх.
А)-ln|cos?х|+с +
В) ln|cos?х|+с
С) -ln|sin?х|+с
Д) ln|sin?х|+с
Е)(?tg?^2 х)/2+с
6. Вычислите: ∫??[sin^х]?dх.
А) sin2x+c
В) 1/3 sin3x+c
С) 1/3 sin3x+1/3 cos3x+c
D) x+c +
Е) sin2x+cos2x+c
7. Вычислите: ∫??1/(x+5) dx?
A) ln?x+5?+c +
B) 1/5 ln?x+5?+c

C) 5ln?x+5?+c
D) 1/(x+5)
E) √(x+5)+c.
8. Вычислите:∫??(х^2 )/√(6&х^2 )dх
А)√(6&х^5 )+с
В)5/6?√(6&х^5 )+с
С)  6/5?√(6&х^5 )+с    +   
Д√(5&х^6 )+с
Е) -  5/6?√(6&х^5 )+с
9. Вычислите:∫?sin??(е^х ? +1)? е^хdх.
А)cos??(e^х ?+1)+с
В)-  cos??(e^х ?+1)+с +
С) -  sin??(e^х ?+1)+с
Д)- e^х?cos??(e^х ?+1)+с
Е)-  (??e^х ?+1)  cos??(e^х ?+1)+с
10.Вычислите:∫?е^(1+sinx) ?cosxdx.

    E1+sinx+c. +
    sinx?e1+sinx+c
    cosx?e1+sinx+c
    (1+sinx)?esinx+c
    E1+sinx+c
11.Вычислите: ∫??√(x-1)/√x dx?

    X+2√x+2
    X-√(x+c)
    2x-√x+c 
    1-1/√x+c
    X-2√х+с +
12.Вычислите: ∫?(cos42x-sin42x)dx
A) 1/4 sin4x+c +
B) sin4x+c
C) 4sin4x+c
D) 1/4 cos4x+c
E) 1/2 sin2x+c
13.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: 
Y=x2, y=0, x=4.
    512
    64/3 +
    256/5
    64/5
    256
14.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=4+3x-x2, y=0, x=0, x=1.
A) 45/6.
B) 13/6
C) 31/6 +
D) 29/6
E) 37/6
15. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x3, y=0, x=1.
A) ¼ +
B) 1/3
C) 1
D) 1/2
E) 1/6
16.Найдите объем тела, полученного в результате вращении трапеции, ограниченной линиями у=2х-6, х=5, у=0 вокруг оси ОХ.
A) 4π
B) 8 π
C) 32/3 π +
D) 20π
E) 36π
17.Найдите объем тела полученного и результате вращения ограниченной линиями  у=ех, х=-1, х=2 у=0 и х=0 вокруг своей оси ОХ.
A) ((e^4-e^(-1))π)/2  +
B) ((e^4+e^(-1))π)/2
C) ((e^4-e^(-1))π)/4
D) ((e^4-e^(-1))π)/4
E) ((e^4-e^(-1))π)/4
18. Вычислите: ∫_(-2)^3?(2x+3)dx
A) 12 
B) 13
C ) 20 +
D) 15
E) 16
19.Вычислите: ∫_1^2?(?3x?^2-4x+1)dx
A)  6
B)  5
C)  4
D) 3
E) 2 +
20.Вычислите: ∫_10^11?dx/(x-9).
A) 2 ln 2
B) 3 ln 2
C) 4 ln 2
D) ln2 +
E) ln√2
 

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«интеграл. тесты. »

Содержание



Иррациональные функции………………………………………………………………2



Первообразная и интеграл……………………………………………………………….12



Показательная и логарифмическая функции…………………………………..24



Векторы в пространстве…………………………………………………………………….34



Иррациональные функции. 

Определение. Алгебраическое выражение называется иррациональным, если оно содержит операции извлечения корня или возведения в степень с рациональным (не целым) показателем над переменными, от которых оно зависит.

Для преобразования иррациональных алгебраических выражений используются свойства арифметического корня, степень с дробным показателем, преобразование двойного радикала, формулы сокращённого умножения.

Свойства арифметического корня

Если а0 и b0, то справедливы следующие свойства:

  1. ∙ =

  2. = , b0

  3. =

  4. =

  5. ∙ = ∙ =

  6. =a∙, где а0

Тождества.

Если существует, то:

=а;

= aR;

=a, аR;

= - , а

Степень с дробным показателем:

  1. Если а0 и m,n – натуральное число, n2, то = .

  2. Если а0, то =.

Замечание: 1.

  1. Нецелая степень отрицательного числа не имеет смысла.

Часто встречаемые выражения при освобождении от иррациональности в знаменателе:

  1. = ∙ = .

  2. = ∙ = .

  3. = .

  4. = ∙ = .

  5. = ∙ = .

Преобразование двойных радикалов:

= , ab.

Формулы сокращённого умножения:

= 2ab +;

- = (a – b)(a+b);

=3b+3a

= (a)().

Примеры:

  1. = = .

  2. ∙ = = 2592.

  3. = = =5.

  4. + + + = + + +=

= 0,1+0,2+1,2+2,5=4.

  1. = = =

  2. + - = + - = 7 – 11 + 3 = -1.

  3. = = = = .

  4. = ∙ = = - .

  5. = = = = + =2+





Тест

1.Вычислите +(-4+(-8

А)0

В)27 +

С)75

Д)-75

Е)51

2. Вычислите -

А)-11,7

В)-10,3

С)-9,3 +

Д)-9,2

Е)-9,1

3. Вычислите х0; х+∙у

А)

В)1

С)0 +

Д)

Е)ху

4.Освободитесь от иррациональности в знаменатели дроби

А)3

В)2+

С) +

Д)

Е)

5.Найдите наименьшее значение х, если





А)

В)

С) +

Д)

Е)



  1. Вычислите: + , если а1.

  1. 1

  2. A

  3. 2 +



  1. Вычислите выражение: x-,если x=, y= .

  1. 6

  2. 1 +

  3. -6



  1. Вычислите: 2 - -, где х0.

  1. 1

  2. 0 +

  3. -2х

  4. 2y

  5. y

  1. Сократите дробь:

  1. 10

  2. 12+

  3. 6

  4. 8

  5. 14



  1. Упростите выражение: (1-)∙(∙

  1. -2+

  2. 2

  3. 4

  4. 1

  5. 1+

  1. Упростите выражение: +

  1. 2

  2. 2-1

  3. 2

  4. ( +

  1. ---=?

А)-10

В)-11 +

С)-9

Д)9

Е)5

13. А= Найдите А² , если х 5

А)х-2

В)2х+4

С)4(х-5) +

Д)2х+1

Е)2х

14. Освободитесь от иррациональности в знаменатели дроби:.

А)2-

В)1-

С)1+

Д)1 +

Е)3

15. Вычислите -.

А)2 +

В)

С)2+

Д)3+2

Е)3

16. Упростите выражение: 1++++∙∙∙+ .

А)6

В)7 +

С)54

Д)63

Е)8

17. Вычислите: + + А) 2 +

В) -

С)

Д)

Е)0

18. Упростите выражение:

А)-1

В)0

С) +

Д)1

Е)

19. Упростите выражение:

А) +

В)2

С)

Д)

Е)2

20. Упростите выражения:∙

А)3

В)- 3

С)

Д)3

Е)-3 +

21. Упростите выражение:∙(-

А)

В) +

С)

Д)

Е)

22. Упростите выражение:(+):3

А)2

В)3 +

С)5

Д)9

Е)12

23. ++=?

А)

В)6

С)

Д)2∙+8 +

Е)

24. Выразите число через х , если х=.

А)4(-1)

В)4(х+1)

С)4(х-1)

Д)2(-1) +

Е)2(1-)

25.Упростите выражение:-

А)

В)2+

С)2-

Д)2 +

Е)1















Первообразная и интеграл



Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке X, если для любого x є X справедливо равенство F’(x)=f(X). F(x) = . Если F(x) – первообразная для функции f(x) на промежутке Х, то у функции f(x) бесконечно много первообразных, и все эти первообразные имеют вид F(x) +C, где С – произвольная постоянная. Пусть задана f(x) функция. Множество всех первообразных для f(x) называется неопределенным интегралом от f(x) и обозначается .Операция нахождения неопределенного интеграла по заданной функции f(x) называется интегрированием этой функции.



Свойства неопределенного интеграла



  1. Первообразная суммы функций, равна сумме их первообразных.

Например:

  1. Первообразная разности функций, равна разности их первообразных.

Например:

  1. Постоянный множитель выносится перед знаком первообразной функции.

Например:







  1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а дифференциал – подынтегральному выражению.





Например:

Основные правила интегрирования

  1. =

Например:





Например:

  1. =+C

  2. dx=arcsinx+c=-arcosx +C

  3. dx = arctgx +c=-arcctgx+c





Неопределенный интеграл

Определенным интегралом на промежутке [а;b] от непрерывной функций y=f(x) является интеграл функции f(x) на промежутке от a до b . Здесь a и b нижний и верхний пределы интегрирования соответственно. Если функция F(x)- первообразная функции f(x) на отрезке [a;b], тогда |= F(b) – F(a) Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

Пример 1: =-

= -

1)3dx= ⃒ =

=

Свойства определенного интеграла

C є [a;b]







Пример 2:

  1. =(⃒= - ()=





Тест

  1. Вычислите: dх.

  1. sin2x+c

  2. sin2x+c

  3. +

2. Вычислите: dх.

А) +

В)

С) 21(x++c

D)

Е)

3. Вычислите: dх.

А)++х+с.

В)+-х+с.

С) -+х+с. +

Д)-+х+с.

Е)++х+с.

4. Вычислите: 3хdх.

А)++с.

В)-+с. +



С)-+с.

Д)++с.



Е)-+с.

5. Вычислите: хdх.

А)-ln|+с +

В) ln|+с

С) -ln|+с

Д) ln|+с

Е)+с

6. Вычислите: dх.

А) sin2x+c

В) 3x+c

С) 3x+3x+c

D) x+c +

Е) sin2x+cos2x+c

7. Вычислите:

A) ln│x+5│+c +

B)

C) 5ln│x+5│+c

D)

E) +c.

8. Вычислите:dх

А)+с

В)∙+с

С) ∙+с +

Д+с

Е) -∙+с

9. Вычислите:dх.

А)+1)+с

В)-+1)+с +

С) -+1)+с

Д)-∙+1)+с

Е)-+1)+1)+с

10.Вычислите:∙cosxdx.



  1. E1+sinx+c. +

  2. sinx∙e1+sinx+c

  3. cosx∙e1+sinx+c

  4. (1+sinx)∙esinx+c

  5. E1+sinx+c

11.Вычислите:



  1. X+2

  2. X-

  3. 2x-

  4. 1-

  5. X-2+с +

12.Вычислите: cos42x-sin42x)dx

A) +

B) sin4x+c

C) 4sin4x+c

D)

E)

13.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

Y=x2, y=0, x=4.

  1. 512

  2. +

  3. 256

14.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=4+3x-x2, y=0, x=0, x=1.

A) 45/6.

B) 13/6

C) 31/6 +

D) 29/6

E) 37/6

15. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x3, y=0, x=1.

A) ¼ +

B) 1/3

C) 1

D) 1/2

E) 1/6

16.Найдите объем тела, полученного в результате вращении трапеции, ограниченной линиями у=2х-6, х=5, у=0 вокруг оси ОХ.

A) 4

B) 8

C) +

D) 20

E) 36

17.Найдите объем тела полученного и результате вращения ограниченной линиями у=ех, х=-1, х=2 у=0 и х=0 вокруг своей оси ОХ.

A) +

B)

C)

D)

E)

18. Вычислите:

A) 12

B) 13

C ) 20 +

D) 15

E) 16

19.Вычислите:

A) 6

B) 5

C) 4

D) 3

E) 2 +

20.Вычислите: .

A) 2 ln 2

B) 3 ln 2

C) 4 ln 2

D) ln2 +

E) ln

21. Вычислите: 3dx

A) -

B)

C) +

D)

E) 4

22.Вычислите:

A) -1/3 +

B) 1/3

C) 1/2

D) 3

E) -3

23. Вычислите:

A)

B)- +

C)

D)

E)

24. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: Y=X3, Y=X

A) 1/12

B) 1/8

C) 16

D) ¼ +

E) 1

25. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: Y=14-X2

A) 36

B) 72 +

C) 108

D) 48

E) 64




























ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

Показательная функция


Функция вида y=ax , где a0, а≠1, х – переменная, называется показательной функцией.


Свойства показательных функций:

  1. Область определения функции у=ах, а0, где а≠1 – множество всех действительных чисел.

  2. Графики всех покозательных функции у=ах (независимо а1 или 0) проходят через точку (0;1).

  3. При а1 показательная функция монотонно возрастает на всей числовой прямой, причем ах 1 при х0 и ахх.



Логарифм числа


Логарифмом данного числа b по основанию а называется покозатель степени х, в которую надо возвести данное основание а, чтобы получить число b.

Его обозначают log a b=x.

Например, логарифм 256 по оснаванию 2 есть 8, так как 28=256 или log2256=8.

Из определения следует , что .

Например, , , и т.д.

Если нование логарифма равно 10, то логарифм называют десятичным логарифмом. log10 пишется lg x.

Например, log107=lg7, (так как основание равно 10 оно не пишется).

Логарифм числа по оснаванию е (е=2,7118...) называют натуральным логарифмом.

log e x пишется в виде ln x.


Свойства логарифмов:

  1. loga1=0, a0, a1

  2. logaa=1, a0, a1

  3. logax+ logay= loga (x·y)

  4. loga- logay= loga

Замечание:



Логарифмическая функция


Функция, обратная показательной функции называется логарифмической функцией.

Пусть у=ax, a0, a≠1 показательная функция, где 1≠а0. По определению логарифма y=logax, а≠1

Свойства логарифмических функций:

  1. Область определения – множество положительных чисел;

  2. Область значений – множество всех действительных чисел;

  3. При а1 функция возрастает, при 0



Логарифмическое уравнение


Указания к решению логарифмических уравнений:

1-й метод: Записываем уравнение в виде logaf=logag(x), где а0, а≠1 и решаем уравнение f(x)=g(x). Среди найденных корней решением будут те, которые удовлетворяет неравенства f(x)0 и g(x)0.

2-й метод: Метод замены неизвестного



Логарифмические неравенства


Решение логарифмических неравенств в основном сводится к решению неравенства вида logaf(x)=logag(x) или logaf(x)logag(x). При решении таких неравенств, учитывая область определения логарифмической функции и ее свойств, воспользуемся следующими утверждениями:

  1. При а1 неравенство

logaf(x)logag(x) равносильно системе неравенств: ;

  1. При 0aнеравенство logaf(x)logag(x) равносильно системе неравенств:

ПРИМЕРЫ:

Пример 1:

Решение: Возьмем оснований как 5.


Пример 2:

Решение: , так как 0 при любых значениях, остается 3х-10, т.е. или

Пример 3: Решите уравнение:

Решение:

Так как корень х1=2 удовлетваряет неравенства f(x)=x0 и g(x)=x-10, x=2

Ответ: x=2.


Пример 3: Решите уравнение xlg x=10000

Решение: Обозначив lg x=a находим x=10a . тогда данное уравнение имеет вид:

Тогда и

  1. При получаем и

  2. При получаем и

Ответ:


Пример 4: Решите неравенство:

Решение:

перемишем в виде

По свойствам логарифма :

Решений неравенств не имеют общий промежуток,

Ответ: Нет решений

ТЕСТ

  1. Решите уравнение::

А)5 +

В)-8;5

С)-5;8

Д)-8

Е)5;8

2. Упростите:

А) 25

В)9

С)17

Д)48

Е)14 +

3. Решите систему уравнений:

А) (4;6)

В) (4;2) +

С) (4;3)

Д) (2;4)

Е) (-4,-2)

4. Решите систему уравнений:

А) (1;3)

В) (-3;1)

С) (3;1)

Д) (2;1) +

Е) (2;4)

5. Вычислите:

А) 7/2

В) 2/7 +

С) 13/7

Д) 3/7

Е) 7/3

6. Решите систему неравенств:

А) (3;7]

В) нет решений

С)

Д) +

Е)

7. Найдите значение , если .

А) +

В) а

С) 1+а

Д)

Е)

8. Решите уравнение . Найдите , где х корень уравнения.

А) 18

В) 8

С) 9

Д)10 +

Е) 16

9. Решите уравнение: .

А) 5

В) 3

С) -1

Д) 1

Е) 0 +

10. Упростите выражение:

А) +

В)

С) -1

Д) 1

Е) 0

11. Найдите решение неравенства:

А) +

В)

С)

Д)

Е)

12. решите уравнение:

А) 100

В) 0,001:100

С) 0,0001;100 +

Д) 0,1; 100

Е) 0,01;100

13. Решите уравнение:

А) 0;1

В) 1;2

С) -1;2

Д) -1/2; 2 +

Е) -4;1

14. Решите уравнение:

А) +

В)

С)

Д)

Е)

15. Решите уравнение:

А) (1;∞) +

В) ( - ∞;1)

С) (-1;1)

Д) (2;3)

Е)(1;2)

16. Решите уравнение

А) -1;1

В) 0;1

С) -2;0

Д) -0,5 +

Е) -0,5;1

17. Решите уранение:

А) +

В)

С)

Д)

Е)

18. Решите уравнение:

А) Нет решений

В) 0

С) 2

Д) 3 +

Е)1

19. Решите уравнение:

А) +

В)

С) 0;3

Д) 1

Е)

20. Решите уравнение:

А) 3;4

В) -3;4 +

С) -4;3

Д) 3;1

Е) -3;1

Векторы в пространстве

Если координаты начала A(x1; y1; z1) и конца вектора В(x2; y2; z2), тогда числа x2 – x1; у2 – у1; z2 – z1 координаты вектора АВ (пишем АВ (x2 – x1; у2 – у1; z2 – z1)).

Длина АВ (x2 – x1; у2 – у1; z2 – z1) находится по формуле

Для удобства мы будем обозначать координаты вектора следующим образом:

x2 – x1 = x; у2 – y1 = y; z2 – z1 = z, т.е.

и .

Если и , то:

Условие коллинеарности

Сумма векторов



Разность векторов



Умножение вектора на число



Скалярное произведение



Координаты вектора



Пример 7: При каком значении b векторы и коллинеарны, если

А(-2; -1; 2), В(4; -3; 6), С(-1; b-1; 1), D(-4; -1; b)?

Решение:





По условию коллинеарности:



Тогда

-6b=(-2)·(-3) b = -1 или 6(b-1)=4·(-3)b=-1

Ответ: -1.

Пример 8. Даны координаты точек: . Найдите .

Решение:

.

Ответ: .



Тест

  1. Вычислите , если , где и .

A) 0 +

B) 1

C) 2

D) 3
E) 4


  1. Найдите , если , где и .

A) -1

B) 0

C)

D) +
E) 3


  1. Найдите , если , где и .

A) -1

B) 0 +

C)

D)
E) 3


  1. Определите , если , и .

A) 1

B) 2 +

C) 3

D) 4
E) 5


  1. Найдите , если перпендикулярны.

A) 4

B) 3

C) 2

D) 1 +
E) 0


  1. Найдите , если и .

A)

B)

C)

D) +
E)



  1. Определите , если угол между векторами и равен .

A)

B)

C)

D)
E) +



  1. Найдите , если - равносторонний треугольник.

    С



В

А





  1. 1+ B)2 C) D) E)



9. Какой из данных векторов является единичным вектором, параллельной вектору ?

A)

B) +

C)

D)

E) (1;1)


10. – квадрат. Найдите , если .

B

A




P



Q




C

D




A)1+ B)2 C)3 E)5

11. - прямоугольник. Найдите , если

B

A









C

D

E




A)-7 B)7 + C)-9 E)-13

12. прямоугольный треугольник, где . Определите , если - биссектриса, а катеты равны и .

A)

B)

C)

D)
E) +

13. Найдите модуль , если даны координаты точек и .

A)

B)

C)

D) +

E)


14. Найдите , если .

A)

B) +

C)

D)

E)


15. Найдите значение , если , где .

A) -4

B) -8 +

C) 0

D) 4
E) 8


16. Какой из следующих ответов является центром тяжести АВС, если А(0;0;0), В(1;2;3), С(5;4;1) координаты вершин данного треугольника.

A) (2;2;) +

B) (2;1;3)

C) (2;2;2)

D) (3;2;2)
E) (1;2;3)


17. Найдите , если и .

A)

B)

C)

D)

E) +


18. Вычислите , если , где и .

A) -4

B) -8

C) 0

D) 8 +
E) 4


19. Для векторов , и , найдите скалярное произведение и .

A) -1

B) - +

C) 0

D)
E) 1


20. Найдите единичный вектор, сонаправленный с вектором , где и .

A) +

B)

C)

D)
E)


21. Найдите , если и перпендикулярны.

A) 5

B) 4

C) 3

D) 2
E) 1 +


22. Определите угол между векторами и .

A)

B)

C)

D) +
E)


23. Найдите , если угол между векторами и равен .

A) +

B)

C)

D)
E)


24. Найдите , где и .

A) -18

B) -36

C) -68 +

D) -70
E) -72


25. Найдите , если , где и .

A)

B)

C) +

D)
E)




18



Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Тесты

Целевая аудитория: 11 класс

Скачать
интеграл. тесты.

Автор: Амандосова Арман Шайсултановна

Дата: 10.12.2014

Номер свидетельства: 142193

Похожие файлы

object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(80) "Функция,туынды,интеграл -тест тапсырмалары "
    ["seo_title"] => string(46) "funktsiia-tuyndy-intieghral-tiest-tapsyrmalary"
    ["file_id"] => string(6) "203322"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "testi"
    ["date"] => string(10) "1429458145"
  }
}
object(ArrayObject)#874 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(71) "План-конспект урока на тему: "Интеграл" "
    ["seo_title"] => string(40) "plan-konspiekt-uroka-na-tiemu-intieghral"
    ["file_id"] => string(6) "124463"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1414696212"
  }
}
object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(75) "Ал?аш?ы функция ж?не аны?талма?ан интеграл"
    ["seo_title"] => string(44) "algashkyfunktsiiazhnieanyktalmaganintieghral"
    ["file_id"] => string(6) "263839"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1449597670"
  }
}
object(ArrayObject)#874 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(85) "Анықталған интеграл. Ньютон-Лейбниц формуласы"
    ["seo_title"] => string(53) "anyk_talg_an_intieghral_n_iuton_lieibnits_formulasy_1"
    ["file_id"] => string(6) "394117"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1487641729"
  }
}
object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(194) "Мастер-класс. Урок обобщения и систематизации знаний по теме: «Интеграл. Площадь криволинейной трапеции» "
    ["seo_title"] => string(116) "mastier-klass-urok-obobshchieniia-i-sistiematizatsii-znanii-po-tiemie-intieghral-ploshchad-krivolinieinoi-trapietsii"
    ["file_id"] => string(6) "146288"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1419154192"
  }
}




ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства