Фракталы

МОУ «Гимназия имени Героя Советского Союза Ю.А.Гарнаева»

Фракталы

Руководитель: учитель математики

Афонькина Галина Ивановна

« Почему геометрию так часто называют «холодной» и «сухой»? Одна из причин – её неспособность описать форму облака, горы, дерева или береговой линии. Облака не являются конусами, береговые линии нельзя изобразить с помощью окружностей, кору деревьев не назовёшь гладкой, а путь молнии – прямолинейным...»

Бенуа Мандельброт «Фрактальная геометрия природы»

Цель работы:

Изучить детерминированные(определённые) фракталы

Задачи работы:

• Рассмотреть геометрические фракталы и методы их построения;

• Рассмотреть алгебраические фракталы (Множества Мандельброта и Жюлиа);

• Выявить, как меняются алгебраические фракталы при изменении значения их параметров;

• Рассмотреть применение фракталов;

• Построить некоторые геометрические фракталы.

Фрактал

Фрактал – геометрическая фигура, в которой один и тот же фрагмент повторяется при каждом уменьшении масштаба.

Фрактал – самоподобное множество нецелой дробной размерности.

Фрактал – структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому.

Классификация фракталов

• Детерминированные (алгебраические, геометрические)

• Недерминированные (стохастические)

• Природные

Детерминированные фракталы

Детерминированность (Determination) – определенность

Основное свойство детерминированных фракталов – свойство самоподобия

Геометрические фракталы. Н-фрактал

Кривая Коха

Остров Коха

Другие геометрические фракталы

Алгебраические фракталы. Множество Мандельброта

Алгоритм построения

Z [n+1] = Z [n] * Z [n] + C ,

где Z и C –

комплексные переменные

Комплексные числа

x – действительное число (R)

y – действительное число (R), коэффициент мнимой части

i – мнимая единица (i*i = -1 )

x+yi

Действительная часть [Re]

Мнимая часть [Im]

Абсолютное значение комплексного числа:

Алгоритм построения

Для всех точек C на комплексной плоскости в интервале [-2-i; 1+i] выполняем достаточно большое количество раз:

Z [n+1] = Z [n] * Z [n] + C ,

где Z[0] = 0 (0+0i),

проверяя при этом каждый раз абсолютное значение Z [n+1] . Если оно уходит в бесконечность, рисуем точку белого цвета, если стремится к некоторой постоянной, рисуем точку черного цвета.

Множество Мандельброта

Увеличенная граница множества Мандельброта

Множества Мандельброта и Жюлиа

Множество Мандельброта

Множество

Множество C

Жюлиа

Множество Z[0]

Z [n+1] = Z [n] * Z [n] + C

Z [n+1] = Z [n] * Z [n] + C

Z[0] = const

C = const

Множества Жюлиа

С = 0.7+0.3i

Множества Жюлиа

С = -0.2+0.8i

Множества Жюлиа

С = -0.5+0.5i

Множества Жюлиа

С = -0.1+0.7i

Построение снежинки в редакторе Adobe Photoshop

Основа:

Построение снежинки в редакторе Adobe Photoshop

Результат:

Построение снежинки в редакторе Adobe Photoshop

Основа:

Построение снежинки в редакторе Adobe Photoshop

Результат:

Построение снежинки в редакторе Adobe Photoshop

Конечный

результат:

Построение снежинки в редакторе Adobe Photoshop

Основа:

Построение снежинки в редакторе Adobe Photoshop

Результат:

Построение снежинки в редакторе Adobe Photoshop

Конечный

результат:

Заключение

«Если я и видел дальше других, то только потому, что стоял на плечах гигантов ...»

Исаак Ньютон