"Скалярное произведение векторов"

План урока

Урок:геометрия

Класс:10

Тема: "Скалярное произведение векторов".
Цели:
*ознакомить учащихся со свойствами скалярного произведения векторов;
*показать применение скалярного произведения векторов при решении задач.

План проведения урока:

1. Организация учащихся.

2. Сообщение новой темы и постановка цели урока.

3. Математическая разминка: а)теоретическая разминка;
   
   б)математический тест.

4. Изложение нового материала.

5. Закрепление изученного материала.

6. Д/з и инструкция к нему.

7. Подведение итогов урока (сообщение оценок ученикам).
   
   
   

Ход урока

1. Организация учащихся

На доске высказывание о математике:

“Измеряй свои желанья, взвешивай свои мысли, исчисляй свои слова”. Пифагор

• объявление темы и цели урока.

1. Постановка цели урока.

Мы продолжаем изучение темы соотношение между сторонами и углами треугольника и сегодня выясним:

• как вычисляется скалярное произведение двух векторов, зная координаты этих векторов;

• сформулируем основные свойства скалярного произведения векторов.
  

А начнем мы наш урок с теоретической разминки.

1. Математическая разминка
   
   
   1 часть
   Вопросы к учащимся:

• Сформулируйте теорему синусов (написать формулу на доске).

• Сформулируйте теорему косинусов (написать формулу на доске).

• Что значит “решить треугольник”?

• Какое наименьшее число элементов надо знать, что бы “решить треугольник”?

• Сформулируйте определение скалярного произведения векторов (написать формулу на доске).

2 часть.

Называя правильные ответы, мы разгадаем по буквам зашифрованное слово.



Задание
Здесь зашифровано имя автора этой красивой теоремы: “Если на сторонах треугольника во внешнюю сторону построить равносторонние треугольники, то их центры будут вершинами равностороннего треугольника”. Этот треугольник носит имя автора. Это имя каждому известно, но не в математики. Математикой этот человек занимался удовольствия ради. Он – автор нескольких теорем и известных занимательных геометрических задач. А свое имя он прославил на весь мир совсем по другому поводу. Итак, давайте попробуем разгадать имя автора этой теоремы (Наполеон Бонапарт).

Определите, к какому типу задач “решение треугольника” можно отнести данную модель рисунка:
(появляются модели задач по очереди, варианты ответов внизу под определенной буквой)



Модель 1 Модель 2 Модель 3 Модель 4 Модель 5 Модель 6

п) Решение треугольника по трем сторонам.
л) Решение треугольника по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них.
о) Решение треугольника по стороне и углам, один из которых лежит против данной стороны.
н) Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
о) Решение треугольника по трем углам.
е) Решение треугольника не осуществляется.
а) Решение треугольника по стороне и прилежащим углам.

Результатом скалярного произведения векторов является …
а) вектор.
о) число.
л) градус.
Скалярный квадрат координатного вектора равен:
т) -1.
р) 0.
н) 1.

После отгаданного слова, можно предложить ученику (или нескольким) по желанию дома провести исследовательскую работу по доказательству Теоремы Наполеона.


Изложение нового материала.

Скалярное произведение двух векторов можно вычислить, зная координаты этих векторов.

Теорема. Скалярное произведение векторов выражается формулой



Сравним формулы:





Для введения 2 следствий из теоремы можно предложить всем учащимся решить две задачи (1 задача слабым ученикам, 2 – более сильным).

Задача 1.

Известно, что не нулевые векторы перпендикулярны. Найдите

Дано :



Найти:



Решение:





Равны левые части, то равны и правые. Следовательно:





Тогда


Задача 2.

Известно ненулевые векторы и



Найти .

Дано:





Найти:



Решение:

и



Равны левые части, то равны и правые. Следовательно:



Из формулы следует:

или Т.к.

и , то





Далее вводим свойства скалярного произведения векторов через сравнения действий над числами:
Ученики записывают у себя в тетрадях 4 свойства для векторов.
Замечание
Распределительный закон имеет место для любого числа слагаемых. Например,

5. Закрепление изученного материала.

Решим задачу № 1044 (а), 1047 (а)

№ 1044 (а)



Ответ: -2,5.

№ 1047 (а)



Ответ: 7,5.

Один из учащихся, решая задачу у доски, комментирует решение вслух; остальные внимательно его слушают, делая при этом записи в тетради, и вносят исправления, если ученик допустил ошибку.

№ 1044 (в), 1047 (в), 1045 – самостоятельно.

№ 1044 (в)

б)

Ответ: 5.

№1047 (в)



Ответ: 0.

№1045

6.Домашнее задание и инструкция к нему.Открыть дневники и записать д/з:

Д/з: Решить задачи № 1044 (б), 1047 (б).

Инструкция к д/з:

№ 1044 (б) – задача на вычисление скалярного произведения (применение теоремы).

№ 96 (б) – задача на применение 1следствия теоремы.

Подведение итогов урока.
Можно в конце урока вывести на экран общую таблицу изученного материала на уроке и по ней еще раз повторить основные сведения.
Закончить урок, хотелось бы словами великого ученого Галилео Галилея:
“Геометрия является самым могущественным средством для развития наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать”.