Тригонометриялық функциялардың қасиеттері

Алғы сөз

          «Мектептің жаны – мұғалім. Мұғалім қандай болса, мектеп сондай болмақшы. Яғни, мұғалім білімді болса, ол мектептен балалар көп білім алып шықпақшы. Солай болған соң, ең әуелі мектепке керегі – білімді, педагогика, методикадан хабардар, жақсы оқыта білетін мұғалім.»

                                                                    Ахмет Байтұрсынұлы.

          Заман талабына сай білім берудің маңызды жақтары өте көп.   Білім – теңіз, оның  тереңін  жетік білетін,  қыр - сырын меңгерген, құпиясын  аша алатындар ғана бойлай алады.  Мұндай адамдарды мұғалімдер ғана тәрбиелеп,  дайындайды.  Мұғалім оқушы санасына білімді сабақ арқылы жеткізеді, ал  сабақ сапасын арттыру – барлық мұғалімдерді толғандыратын  маңызды мәселе.

        Мұғалім еңбегі туралы  Ж. Аймауытов: «Сабақ беру –үйреншікті жай шеберлік емес, ол үнемі жаңадан жаңаны табатын өнер» - деп, мұғалімдердің  үнемі   ізденімпаздықпен,   шығармашылықпен   атқаратын   қызметі   екенін айтқан.

        Адам баласының ғылымды меңгеруде табиғатпен байланысы,       ал сол табиғаттың бір мүшесі және бірегейі де адамзаттың өзі, оның дене мүшелері, яғни қолдағы саусақтардың да математика ғылымындағы кейбір функциялардың, атап айтқанда тригонометриялық синус, косинус, тангенс және котангенс функциялардың ролін атқарып, «Тригонометриялық функциялардың қасиеттері»   тақырыбын түсіндіргенде  қарапайым  көрнекілік  ретінде қолдануымды  осы  кітапшада  ашуға  тырыстым.

         9 - сыныпта алгебра пәнінен «Тригонометриялық функциялардың қасиеттері» тақырыбында жазықтықтағы координаталық  ширектерде тригонометриялық функциялардың таңбалары ширектерге бөлуші абсцисса және ордината осьтерінің бағыттарына байланысты екені айтылып, оқулықтағы    22-суретте көрсетілген.

Y

+

+

-

 -

x

x

  -

+

Y

  -

 +

-

x

Y

 +

 +

  -

x

  -

x

--

+

             Осы суретті оңтайландырып, оқушылардың жадында ұзақ сақталуы үшін мынадай «үш тармақ» сызбамен іс тәжірибемде қолданып келемін.

Сызбадан синус функция - сының І және ІІ ширектерде  оң таңбалы,  ІІІ, ІY ширек - терде теріс таңбалы, косинус функциясының І және IY ширектерде оң таңбалы, ІІ, ІІІ ширектерде теріс табалы,  ал тангенс пен котангенс функциялары  І, ІІІ ширектерде  оң таңбалы,   ІІ, IY шитерде теріс таңбалы болып тұрғанын көріп, ұғынып алып, көз жадында сақтауға болады.

Сыныптағы білімі нашар оқушылар да тригонометриялық функциялардың  ширектерде қабылдайтын таңбаларынан жаңылыспайды.

          Осы көрнекілікті пайдаланып есептер шығару кезінде, тригонометриялық  функциялардың төртеуі де І ширекте оң таңбалы болып, бұрыштың өсуіне байланысты  сәйкес  мәндердің  де  өсуін (кемуін)  келесі көрнекіліктен көз жеткізуге  болады.

Бұрыш

0

30◦ = π/6

45◦ =π/4

60◦ =π/3

90◦=π/2

Ескерту

(б. артып барады)

Синус

0 ( /2)

1/2 ( /2)

/2

/2

1 ( /2)

мәнд.өседі

Косинус

1 ( /2)

/2

/2

1/2( /2)

0 ( /2)

мән.кемиді

Тангенс

0

1/  ( /3)

1

--

мәнд.өседі

Котангенс

--

1

1/ ( /3)

0

мән.кемиді

        «Үш тармақ» сызбаны көз жадында сақтап, ұғынып алған соң және І ширекте төрт функцияның да оң мәндер қабылдайтынын ескеріп, келесі көрнекілік, бірлік шеңбердегі  А, В, С, D  нүктелердің   бұрыштық  өлшемдеріне  ІІ, ІІІ, ІY ширектердегі  нүктелер  бойынша  сәйкес  мәндерін  табуға,  көмекші  құрал болып табылады.

*

*

*

*

*

*

     Осы тақырыпта тоқталып өтетін қасиеттің бірі  –  тригонометриялық функциялардың  «тақ немесе жұп» болуы туралы.  Бұл қасиет оқулықта мына теңдіктермен берілген:  

                                        sin(-α) = -sinα ;    cos(-α) = cosα

                                         tg(-α) = -tgα ;       ctg(-α) =-ctgα

яғни, косинустың ЖҰП, ал синус, тангенс және котангенстің ТАҚ  функциялар екені.  Осы  теңдіктердің  оқушылар  жадында  ұзақ  сақталуы  үшін  сол қолымды (1- сурет) иық деңгейінде көтеріп, бас бармақты және ортаншы сау- сақты бүгемін де, сұқ саусақтың  «синус», атаусыз саусақтың «тангенс» және шынашақтың «котангенс» -ТАҚ функциялар,  ал бүгілген ортаншы  саусақтың «косинус» -ЖҰП функция болып табылатынын көрнекілік  ретінде  көрсетемін.

1-сурет

        Тригонометриялық функциялардың периодтылығы туралы келесі көрнекілік те оқушылардың көз жадында сақталуға лайық. Мұнда сұқ саусақ пен ортаншы саусақтың, синус пен косинустың периоды 2π,  ал  атаусыз саусақ пен шынашақтың,  тангенс пен котангенстің  периоды π болатыны көрсетілген.

2-сурет

Жалпы, тригонометриялық функциялармен, 8-сыныпта геометрия пәнінен, танысып бастағаннан-ақ оқушыларға сол қолымды көтеріп, алақандағы   бес саусақтың басбармағын бүгіп,  сұқ саусақтың «синус», ортаншы саусақтың «косинус», атаусыз саусақтың «тангенс»,  шынашақтың «котангенс» функциялардың ролін атқаратынын және «төрт тумалас» болатынын,  кейін   9-11 сыныптарда да математика сабақтарында естеріне салып отырамын.

3-сурет

 Қорытынды

       Оқушылардың тақырыпты оңай меңгеруі үшін тригонометриялық функциялардың І ширектегі мәндерін өсу (кему) ретін жатқа сақтап, «үш тармақ» пен π/2    формуласын пайдаланып қалған ширектердегі мәндерді де таба біледі. Сонымен қатар, сол қолдағы төрт саусақтың көмегімен функциялардың жұп, тақ екендігі және  олардың  периодтылығын да еске түсіруге аса пайдалы.

 Оқушы миы, қоршаған орта  мен  күнделікті болатын сабақтардан алуға тиіс мәліметтердің барлығын сақтау мүмкіндігінен көз жадының және сол қолдың саусақтарының көмегімен жеңілдейтін, яғни басқа да ең қажетті және керекті деген мәліметтерді қабылдауға ашық болады.

      Пайдаланылған әдебиеттер

1. Жалпы орта мектептің 8-9 сыныптарға арналған оқулықтары.

 а) Геометрия -8 авторлары  Ж.Қайдасов,  Г.Хабарова, А.Абдиев  

 ә) Алгебра -9 авторы  А.Н.Шыныбеков

1. Математика в школе журналы 2000ж. №2
2. Математика в школе журналы 2002ж. №2
3. Математика және Физика журналы  2008ж. №4
4. Н.Ш.Кремер. «Высшая математика для экономистов»  М, 1998ж.