Использование проблемных ситуаций на уроках математики в развитии творческого мышления обучающихся

МОУ «Гимназия г.Тореза»
Учитель математики Александрова Ирина Георгиевна

Выступление на школьном методическом объединении

Использование проблемных ситуаций на уроках математики в развитии творческого мышления обучающихся

Проблемное обучение основано на создании особого вида мотивации – проблемной, поэтому требует адекватного конструирования дидактического содержания материала, который должен быть представлен как цепь проблемных ситуаций.

Сущность моего опыта «Использование технологий проблемного обучения на уроках математики» заключается в создании условий для творческого саморазвития личности через технологию проблемного обучения.

В качестве проблемной ситуации на уроке могут быть:

• проблемные задачи с недостающими, избыточными, противоречивыми данными, с заведомо допущенными ошибками;

• поиск истины (способа, приема, правила решения);

• различные точки зрения на один и тот же вопрос;

• противоречия практической деятельности.

Главные цели проблемного обучения:

• развитие мышления и способностей учащихся, развитие творческих умений;

• усвоение учащимися знаний и умений, добытых в ходе активного поиска и самостоятельного решения проблем, в результате эти знания, умения более прочные, чем при традиционном обучении;

• воспитание активной творческой личности учащегося, умеющего видеть, ставить и разрешать нестандартные проблемы.

Примеры проблемных ситуаций, используемые на уроках математики

1. Создание проблемных ситуаций через умышленно допущенные учителем ошибки.

В понимании детей учитель – это компьютер, который не может ошибиться никогда, и они обычно слепо копируют его решение.

Пример №1. Тема «Линейные уравнения с одной переменной». (7 класс)

Решаю быстро уравнение:

(3Х + 7) · 2 – 3 = 17

6Х + 14 – 3 = 17

6Х = 17 – 14 – 3

6Х = 0

Х = 0

Естественно при проверке ответ не сходится Проблемная ситуация. Ищут ошибку. Дети решают проблему. После этого учащиеся очень внимательно следят за мыслью и решением учителя. Результат - внимательность и заинтересованность на уроке.

Пример №2. «Обманные задачи»:
а) Постройте прямоугольник со сторонами 2, 3 и 5 см.
б) Больший угол треугольника равен 50°. Найдите остальные углы.
в) Две стороны треугольника перпендикулярны третьей. Определите вид

треугольника.
г) Внешний угол при основании равнобедренного треугольника равен 75°. Найдите углы треугольника.
д) Диагональ ромба в два раза больше его стороны. Найдите углы ромба.

2.Создание проблемных ситуаций через использование занимательных заданий.

Пример №1. Тема: «Линейная функция»(7 класс)

Обычная форма задания:

функция задана формулой найдите значение функции при x = 0, 7, -5, 1.

Занимательная форма задания: Приглашаю к доске ученика, даю ему карточку, на которой написано. На доске заготовлена таблица:

Х
У

 Ученик из класса называет какое-нибудь значение х. Ученик у доски вписывает это число в таблицу и, поставив его в формулу, находит и вписывает в таблицу соответствующее ему значение у. Затем другой ученик из класса называет другое значение х и ученик у доски проделывает те же операции. Задача класса – “угадать” формулу, записанную на карточке. Проблемная ситуация создана. Выигрывает тот ученик, который первый назовет формулу.

Пример № 2. Тема: «Теорема, обратная теореме Пифагора» (8 класс)

Урок начинается с рассказа о египетском треугольнике.

Развитие геометрии было связано в том числе и с потребностями строительной техники. Так, еще древним египтянам требовалось умение строить прямой угол. Этим занимались работники – «натягиватели веревки», которые назывались так потому, что построение осуществлялось с помощью веревки с завязанными узелками, длина которой равнялась (3+4+5) единиц.

В землю вбивались три кола, на которые и натягивалась веревка, так чтобы получился треугольник со сторонами 3, 4 и 5 единиц. Египтяне знали, что угол между меньшими сторонами будет прямым. Такой треугольник в математике до сих пор называется египетским. (На доске – рисунок прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4 и 5 единиц)

Учитель предлагает классу убедиться в верности построений древних египтян с помощью теоремы, обратной теореме Пифагора.

В данный момент урока уместно еще раз вспомнить:

• о строении любой теоремы (Дано – доказать; Условие – заключение),

• о связи между формулировками прямой и обратной теорем (условие и заключение теорем «меняются местами»),

• формулировку теорему Пифагора.

А затем попросить учащихся самостоятельно сформулировать обратную теорему.

Обычно учащиеся дают следующую формулировку: «Если квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то треугольник прямоугольный».

В ходе беседы выясняем, что:

• использовать термины «катет» и «гипотенуза» нельзя,

• вспоминаем, что гипотенуза – большая сторона прямоугольного треугольника,

• заменяем слово «гипотенуза» словами «большая сторона», а «катеты» - на слова «две другие стороны».

Учащиеся корректируют данную ими ранее формулировку теоремы и получают: «Если квадрат большей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный».

Осталось только воспользоваться данной формулировкой, чтобы убедиться в том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 будет действительно прямоугольным.

Пример №3. Тема: «Теорема Виета» (8 класс)

XVI век. Франция. Адвокат и советник короля Генриха III Франсуа Виет, будучи выдающимся математиком, сумел раскрыть ключ шифра, состоявшего из 500 знаков, с помощью которого враги короля вели переписку с испанским двором. Но среди математиков Виет известен своей теоремой о свойствах корней квадратного уравнения.

Далее учащимся предлагаются задания:

1) Запишите данные уравнения в тетрадь и подчеркните те из них, которые имеют общее отличие от остальных. Укажите это отличие.

а) - 5х - 6х + 1 = 0; б) 6d - 5d – 1 = 0; в) х - 5х + 6 = 0;

г) 7х - 6х + 2 = 0; д) z + 8z + 15 = 0; е) t - 3t – 4 = 0.

После выполнения этого задания даем определение приведенного квадратного уравнения, записываем его в общем виде, вводим обозначение коэффициентов.

2) Решите приведенные квадратные уравнения и найдите сумму и произведение корней.

На доске записываем только условие приведенного квадратного уравнения, сумму и произведение корней:

а) х - 5х + 6 = 0 Ответ: х + х = 5, х · х = 6

б) z + 8z + 15 = 0 Ответ: z + z = - 8, z · z = 15

в) t - 3t – 4 = 0 Ответ: t + t = 3, t · t = - 4

3) Сравните полученные числа и коэффициенты! Что интересного вы заметили?

Запишите это свойство для уравнения х + px + q = 0.

На слайде:

х + px + q = 0

х + х = - p,

х · х = q

Далее учитель подводит итог работы: именно эту зависимость для любого квадратного уравнения и увидел Франсуа Виет.

ax + bx + c = 0 | : a

x + x + = 0

Теорема Виета для квадратного уравнения общего вида:

х + х = - ,

х · х =

Читают стихи Александра Гуревича , посвященные теореме Виета:

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого?

Умножишь ты корни – и дробь уж готова,

В числителе «с», в знаменателе «а».

А сумма корней тоже дроби равна,

Хоть с минусом дробь эта, что за беда?

В числителе «b», в знаменателе «а»!

Пример №4. Тема: «Формулы сокращённого умножения»(7 класс)

Преступники украли в банке большую сумму денег. Их поймали, но похищенную сумму установить не удалось. Преступники категорически отказываются назвать её, утверждая, что записали это число в виде степени и зашифровали не только основание, но и её показатель. Экспертам удалось узнать основание степени. Это число 597. Но каким был показатель не говорят. После очередного допроса преступники сказали, что показатель степени является корнем уравнения

( 2y +1)² – 4y² =9

y = 2

597² = (600 – 3)² =600² -2 · 600 · 3 + 3² = 360000 – 3600 + 9 =356409

 

Пример №5. Тема «Сумма n-первых членов арифметической прогрессии» (9 класс)

Начать урок можно с исторической зарисовки о детстве великого математика Карла Гаусса.

Рассказывают, что в начальной школе, где учился мальчик Карл Гаусс, ставший потом знаменитым математиком, учитель, чтобы занять класс на продолжительное время самостоятельной работой, дал детям задание - вычислить сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Но маленький Гаусс это задание выполнил почти моментально. Он увидел, что…

На доске:

1 + 2 + 3 + …+ 98 + 99 + 100 = (1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51) = 101·50 = 5050

Подводящий диалог:

Попробуем взглянуть на условие задачи с высоты наших знаний:

• Что собой представляет последовательность чисел 1, 2, …, 100? - Арифметическую прогрессию, первый член которой равен 1, n-член равен 100, а разность равна 1.

• Что требуется найти? - Сумму 100 первых членов. (Вводим обозначение. На доске: S - сумма n-первых членов арифметической прогрессии).

• Какова будет тема урока? - Сумма n-первых членов арифметической прогрессии.

На доске:

Дано: (a ) – арифметическая прогрессия,

а = 1, а = 100, n = 100

Найти: S .

• Попробуйте связать числа 101 и 50 с данными «нашей задачи». Что интересного вы заметили? - 101 = а + а , 50 = .

• Запишите формулу суммы n-первых членов геометрической прогрессии. –

S = (а + а )· = ·n

• Существует еще одна формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии, которую вы получите, если воспользуетесь формулой n-члена арифметической прогрессии а = а + (n – 1)·d. - S = ·n

На доске пишутся формулы:

S = (а + а )· = ·n (1)

S = ·n (2)

Главный фактор занимательности – это приобщение учащихся к творческому поиску, активизация их самостоятельной исследовательской деятельности, так как уникальность занимательной задачи служит мотивом к учебной деятельности, развивая и тренируя мышление вообще и творческое, в частности.

 

3. Создание проблемных ситуаций через решение задач, связанных с жизнью.

Пример №1. Тема «Периметр прямоугольника»( 5 класс)

Семья Димы летом переехала в новый дом. Им отвели земельный участок прямоугольной формы. Папа решил поставить изгородь. Он попросил Диму сосчитать сколько потребуется штакетника, для изгороди, если на 1 погонный м. изгороди требуется 10 штук? Сколько денег потратит семья, если каждый десяток стоит 50 рублей.

Проблемная ситуация: нужно найти длину изгороди (периметр прямоугольника).

Пример №2. Тема: «Площадь прямоугольника» ( 5 класс)

На прошлом уроке ребята мы измеряли длину и ширину нашего класса и по формуле, нашли его периметр. Р= = (6+9)·2=30м. Помните!

Посмотрите, пожалуйста, на пол. Линолеум износился, много чёрных полос. Вам нравится? Мне тоже не нравится. Я думаю, что летом нам нужно обязательно постелить новый линолеум. Давайте с вами посчитаем, сколько денег нужно будет собрать с каждого родителя на замену линолеума , если 1 погонный метр стоит 800 рублей. Проблемная ситуация. Для решения этой задачи нам нужно найти площадь пола (площадь прямоугольника).

 

Пример №3. Тема «Проценты»( 5 класс)

Вы знаете, что в этом году я награждена премией директора школы за высокие результаты в обучении. Конечно же, в этом и ваша заслуга. Спасибо. Размер премии 10 тыс. руб. Но я получу не все деньги. Вычитают подоходный налог 13%. Я хочу, чтобы вы помогли сосчитать, какую сумму я получу.

Вопрос: «А как же мы вам поможем, если мы не знаем, что такое процент?»

Проблемная ситуация создана. Ребята с удовольствием работают в течении всего урока. В конце урока дорешивают задачу до конца. Я вижу радостные лица ребят. Они справились с проблемой!

Пример №4. Тема «Объем прямоугольного параллелепипеда».

Длина плавательного бассейна 200 м, а ширина 50 м. В бассейн налили 2 000 литров воды. Как вы полагаете, можно ли плыть в этом бассейне?

4. Создание проблемных ситуаций через решение задач на внимание и сравнение.

Пример№1. Третьекласснице Даше учительница дала задание сосчитать, сколько треугольников изображено на рисунке. Она нашла 5 треугольников. Подошла Лена и нашла 7 треугольников. Кто из них прав? Попробуем посчитать вместе.

Определите, сколько треугольников вы видите на рис.1 и квадратов на рис.2а, б?

2. Что общего в данных фигурах, а в чём различие?

Пример №2. Тема: «Площадь трапеции». (8 класс)
При выводе формулы для вычисления площади трапеции учитель предлагает учащимся воспользоваться ранее изученными формулами для вычисления площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника, свойствами площадей.
Ребята предлагают различные способы:
а) провести диагональ и найти площадь трапеции как сумму площадей двух треугольников;
б) провести две высоты и найти площадь трапеции как сумму площадей прямоугольника и двух прямоугольных треугольников;
в) провести прямую, параллельную боковой стороне трапеции и найти площадь трапеции как сумму площадей параллелограмма и треугольника.

 Пример №3. Тема: «Четырехугольники». (8 класс)
К моменту изучения темы «Квадрат» учащимся знакомы такие виды четырехугольников как прямоугольник, ромб и их свойства. Прошу учащихся сформулировать определение квадрата. На что они дают два разных определения: «Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны» или «Квадратом называется ромб, у которого все углы прямые». Оба определения верные. Обсуждаем, почему имеет право быть каждое из них.

5.Создание проблемных ситуаций через противоречие нового материала старому, уже известному.

Пример№1. Тема «Формулы сокращённого умножения» (7 класс)

Вычисляем (2 · 5)²= 2² ·5² = 100

(3 · 4)²= 3² · 4² = 9 · 16 = 144

(5 : 6)² = 5² : 6² = 25 : 36

(3 + 4)² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

Попробуйте сосчитать по-другому.

( 3 + 4)² =7² = 49

Проблемная ситуация создана. Почему разные результаты?

( 3 +4)² ≠ 3² + 4²

Литература:

1. Лернер И. Я. Проблемное обучение. – М: «Наука», 1980. Лоповок Л. М. Тысяча проблемных задач по математике. – М: «Просвещение», 1995. Манвелов С. Г. Основы творческой разработки урока математики.

2. Кудрявцев Т.В. Создание проблемных ситуаций - средство активизации учащихся // Профессионально-техническое обучение. - 1965 г. - № 7.
   Источники:

3. https://nsportal.ru/shkola/matematika/library/2017/12/25/metod-problemnogo-obucheniya-na-urokah-matematiki