?лы Жібек Жолы жоспар

Краткая аннотация исследовательской работы

Логарифмическая спираль мало изучена. По этому автор проекта исследовал логарифмическую спираль в природе, в технике и в теории механизмов

Название работы: логарифмическая спираль

Цели исследования: Исследовать применение логарифмической спирали и попытаться развить новую область её применения

Гипотеза:

Этапы работы над проектом: Изучение проблемы прошло следующие процедуры

1. Выдвижение гипотезы

2. Сбор материала и работа над литературой

3. Исследование по применению логарифмической спирали в:

А) Технике

Б) Природе

В) В теории механизмов

1. Исследование возможного применения логарифмической спирали

Новизна исследования и степень самостоятельности: Так как выдвинутая проблема, по мнению автора, выходит за рамки школьной программы, мало изучена и не часто применяется в практике , создатель рабооты на представленном примере показывает, что логарифмическую спираль можно использовать в градостроении, технике, архитектуре и т.д.

Область практического применения: Данное исследование может быть полезно для инженеров ПГС.

2

Аннотация на английском

3

Введение

Логарифмическая спираль - плоская кривая, описываемая точкой, движущейся по прямой, которая вращается около одной из своих точек О (полюса логарифмической спирали) так, что логарифм расстояния движущейся точки от полюса изменяется пропорционально углу поворота; логарифмическая спираль пересекает под постоянным углом все прямые, выходящие из полюса.

Начало исследования этой спирали должно быть связано с навигацией. На протяжении XVI и XVII веков тысячи судов бороздили океаны. Мореплаватели знали, что на поверхности Земли кратчайшее расстояние между двумя точками дает дуга окружности. Но чтобы двигаться по такой в дуге следует непрерывно менять направление движения. Поэтому этот оптимальный курс заменяли другим, таким, чтобы угол, под которым корабль пересекал все меридианы, был постоянным. Этот курс оставался постоянным. Траектории такого вида образуют на земной поверхности кривые, которые называются локсодромами. Однако моряки не работали на сфере, их карты были плоскими, они представляли собой проекции сферы. Ну а проекция сферы на плоскость преобразует локсодрому на ней в логарифмическую (или равноугольную) спираль.

Особенности логарифмической спирали поражали не только математиков. Ее свойства удивляют и биологов, которые считают именно эту спираль своего рода стандартом биологических объектов самой разной природы.

4

Исследовательская часть

Глава 1.

Исследование логарифмической спирали.

Первым, кто описал ее как механическую кривую, в отличие от кривых алгебраических, был Декарт, который в 1638 г. написал монаху Мерсенну о результатах своих исследований. Декарт искал возрастающую кривую, обладающую свойством, подобным свойству окружности, так чтобы касательная в каждой точке образовывала с радиус-вектором в каждой точке всегда один и тот же угол. Отсюда и название равноугольная. Он также показал, что это условие равносильно тому, что полярные углы для точек кривой пропорциональны логарифмам радиус-векторов. Отсюда и второе название: логарифмическая спираль. Расстояние между витками растет с увеличением угла, т. е. радиус-вектор увеличивается экспоненциального с увеличением угла поворота. Так что третье название этой кривой – геометрическая спираль.

Отцом этой спирали, по всей справедливости, является Якоб Бернулли, который ее полностью изучил и которого она настолько заворожила, что он просил изобразить ее на его могиле на кладбище в Базеле с надписью “Eadem mutata resurgo’’ (“Измененная, я вновь воскресаю’’). Каменотес не был хорошим математиком, и он вырезал на камне практически идеальную архимедову спираль.(приложение 1 рис 1)

Якоб Бернулли обнаружил некоторые свойства этой кривой, которые остались не замеченными
Декартом и Торричелли, в том числе тот факт, что логарифмическая спираль – единственная кривая, эволюта, эвольвента, каустика и подера которой также являются, в свою очередь, логарифмическими спиралями. Якоб Бернулли обнаружил еще одну необычную особенность,
самоподобие, которая прямо связывает эту спираль с фракталами

5

Глава 2.

Логарифмическая спираль в природе.

Логарифмическая спираль, несомненно, является спиралью, которая наиболее часто встречается в природе. Царство животных предоставляет нам примеры спиралей раковин улиток и моллюсков. Все эти формы указывают на природное явление: процесс накручивания связан с процессом роста. В самом деле, раковина улитки – это не больше, не меньше, чем конус, накрученный на себя. Рога жвачных животных тоже, но они к тому же витые. И хотя физические законы роста у разных видов различны, математические законы, которые управляют ими, одинаковы: все они имеют в основе геометрическую спираль, самоподобную кривую. Если мы внимательно посмотрим на рост раковин и рогов, то заметим еще одно любопытное свойство: рост происходит только на одном конце. И это свойство сохраняет форму полностью уникальную среди кривых в математике, форму логарифмической, или равноугольной спирали.

Галактики, штормы и ураганы дают впечатляющие примеры логарифмических спиралей(смотреть приложение 2 рис 2). И наконец, в любом месте, где есть природное явление, в котором сочетаются расширение или сжатие с вращением, поневоле появляется логарифмическая спираль. В растительном мире примеры еще более бросаются в глаза, потому что у растения может быть бесконечное число спиралей, а не только одна спираль у каждого. Расположение семечек в любом подсолнечнике(приложение 1 рис3), чешуек в любом ананасе, да и другие разнообразные виды растений, простые ромашки… дают нам настоящий парад переплетающихся спиралей. Если мы посмотрим сверху на любую сосновую шишку, увидим, что ее семена располагаются в виде большого числа спиралей. И это неслучайно. Это не совпадение. Семена расположены оптимально, т. е. максимально используют пространство, и эта оптимизация пространства достигается за счет расположения по спирали.

6

Глава 3.

Логарифмическая спираль в технике.

Применения логарифмической спирали в технике основаны на свойстве этой кривой пересекать все свои радиусы-векторы под одним и тем же углом. Так, например, вращающиеся ножи в различных режущих машинах имеют профиль, очерченный по дуге спирали, благодаря чему угол резания, т. е. угол θ между лезвием ножа и направлением скорости его вращения, остается равным  и, следовательно, неизменным в силу постоянства угла μ. В зависимости от обрабатываемого материала требуется тот или иной угол резания, что обеспечивается выбором параметра соответствующей спирали. В приложении 1 рис. 1 представлен нож соломорезки.

В гидротехнике по логарифмической спирали завертывают трубу, подводящую ток воды к лопастям турбинного колеса. Постоянство угла μ обеспечивает здесь то, что потери энергии на изменение, и, следовательно, напор воды используется с максимальной производительностью.

7

Глава 4.

Логарифмическая спираль в теории механизмов.

В теории механизмов логарифмическая спираль применятся при проектировании зубчатых колес с переменным передаточным числом. Суть дела здесь такова: пусть два квадрата расположены так, как показано в приложении 1 рис. 2; через середину и конец каждой стороны этих квадратов проведены дуги одинаковых логарифмических спиралей с полюсами, а центрах квадратов, одна из которых закручивается по ходу часовой стрелки, а другая — против; в точке Р спирали касаются между собой. Нетрудно показать, что при вращении квадратов вокруг их центров дуги спиралей будут катиться одна по другой без скольжения. Действительно, пусть М и М_1 — две точке спиралей, взятые так, ОМ+О₁М₁=ОР+О₁Р, или в иных обозначениях

                                                                                                             (1)

Очевидно, для качения без скольжения необходимо, чтобы

PM=PM₁                                                                                                                                                                (2)

но  а , из равенства же (1) следует , и, значит, равенство (2) действительно имеет место. Передаточное число, т. е. отношение угловых скоростей логарифмических колес, будет непрерывно меняться, достигая в течение каждого оборота колеса четыре раза максимального значения и четыре раза минимального.

8

Заключение

Население земли растет с каждым годом и возникают проблемы с используемым пространством. Современные города в большинстве своём строятся без учёта будущего роста и в последствии возникают: пробки, загрязнения окружающей среды, снижение уровня здоровья населения. Я предлагаю строить города по определённому на будущее плану. По принципу двойной логарифмической спирали. Далее я опишу этот способ.

Я предлагаю строить город так как показано на рисунке 3 где белые линии — это дороги с двусторонним движением, Зелёные линии это четырёх полосные дороги с двусторонним движением, а Красным цветом двух полосные дороги с двусторонним движением.

Зеленые дороги будут использоваться для быстрого перемещения между центром и окраинами города. Красные дороги будут разделять город на районы, длина района должна составлять не менее 200 метров и не более 800 метров. Такие районы включают как минимум 3 квартала. Белые дороги будут использоваться как обычные улицы без особого назначения. Смотреть в приложении 2 рис.3

9

ЖУРНАЛ ИССЛЕДОВАНИЙ

Дневник наблюдения научного проекта

Сроки	Проведение работы	Результаты
Сентябрь	Выбор темы
Октябрь	Сбор материалов
Ноябрь	Обработка материалов
Декабрь	Составление плана проекта
Январь	Работа с исследовательской частью	Исследовал применение логарифмической спирали в технике, природе, космосе.
Февраль	Рекомендации преподавателя по исследовательской части
Март	Создание презентации
Апрель	Защита проекта
Май	Подготовка проекта к районному семинару

Рецензия

Используемая литература

1.Зенкевич И. Г. Эстетика урока математики. Пособие для учителей. — Москва: Просвещение, 1981.

2.Савелов А. А. «Плоские кривые» систематика, свойство, применения. — Москва: 1960 г.

3.Перевод с англ. А. М. Голова. Тайны живой природы. — М.: Росмэн, 2002 г.

Сайты

https://ru.wikipedia.org/wiki/%CB%EE%E3%E0%F0%E8%F4%EC%E8%F7%E5%F1%EA%E0%FF_%F1%EF%E8%F0%E0%EB%FC

http://matematikaiskusstvo.ru/logarifm.html

Приложение 1

Рис. 1

Рис. 2

Приложение 2

Рис. 1

Рис. 2

Приложение 3

Рис. 1

Рис.2

Приложении 4

Рис.1

Оглавление.

Введение ..................................................................................................................4

Глава 1. Исследование логарифмической спирали .............................................5

Глава 2. Логарифмическая спираль в природе.....................................................6

Глава 3. Логарифмическая спираль в технике......................................................7

Глава 4. Логарифмическая спираль в теории механизмов..................................8

Заключение ..............................................................................................................9