Решение задач по теме "Системы счисления"

Конспект урока на тему
«Решение задач по теме «Системы счисления»

6 класс

Тип урока: урок изучения нового материала.

Формы организации деятельности обучающихся: фронтальная, индивидуальная.
Цель урока: Познакомить обучающихся с различными системами счисления; научить работать в разных системах счисления.

Задачи:

1. Образовательная: ввести основные понятия по системам счисления; дать представление о позиционной и непозиционной системах счисления; сформировать понимание основ систем счисления.

2. Развивающая: развивать у обучающихся интерес к предмету,  логическое мышление,  умение оперировать ранее полученными знаниями, способность к сравнению и анализу.

3. Воспитательная: воспитывать информационную культуру.

План урока

Ход урока

1. Организационный момент.

Проверка готовности учащихся к уроку, отметка отсутствующих.

1. Введение в тему урока. Целеполагание.

Объявление темы и цели урока. Цели формулируются с помощью обучающихся.

1. Актуализация опорных знаний.

У меня к вам вопрос, сколько цифр вы используете на уроках математики? (10, 0...9) А как вы считаете, почему их именно 10, а не 4 или 100?

А сколько цифр использует учитель, когда выставлять вам оценки?
Почему в разных сферах жизни для расчетов мы используем разное количество цифр? (Потому что так удобнее)

А как удобно считать компьютеру? Сколько видов сигнала он может передавать? (2 вида: есть сигнал или нет сигнала).

Сколько цифр нужно чтобы обозначить 2 сигнала? (Две)

Таким образом, мы выяснили, что система счисления – это способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами.

1. Изучение нового материала.

Разнообразные системы счисления, которые существовали ранее и существуют теперь, можно разделить на позиционные и непозиционные. Знаки, которые используются при записи чисел, называются цифрами.

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает.

Примером непозиционной системы счисления является римская система (римские цифры). В римской системе в качестве цифр используются латинские буквы:

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

Пример 1. Число CCXXXII складывается из двух сотен, трех десятков и двух единиц и равно двумстам тридцати двум.

В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа – большая, то их значения вычитаются.

Пример 2.

VI=5+1=6, а IV=5-1=4

Пример 3.

MCMXCVIII =1000+ (1000-100) + (-10+100) +5+1+1+1=1998

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления.

Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Ее основание равно десяти, т.к. запись любых чисел производится с помощью десяти цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Позиционный характер этой системы легко понять при наличии любого многозначного числа. Например, в числе 333первая тройка означает три сотни, вторая – три десятка, а третья – три единицы.

Двоичная система счисления (СС) также является позиционной.

В двоичной системе (понятно из названия) используется всего 2 знака 0 и 1. Эта система счисления является машинной, т.к. именно в двоичном коде хранятся и передаются все данные и все сигналы в компьютере.

0 – нет сигнала

1 – есть сигнал

Для того чтобы перевести число из десятичной системы (той, которой пользуемся мы) в двоичную необходимо произвести деление числа на основание системы в которую мы переводим, т.е. на 2 на цело (т.е. не записываем дробную часть, а выделяем остаток).

Например, нам необходимо перевести в двоичную систему число 13. Будем действовать следующим образом:

13 : 2 = 6 (1),

где (1) – остаток от деления.

Берем частное и продолжаем делить на основание (на 2):

6 : 2 = 3 (0)

3 : 2 = 1 (1)

1 : 2 = 0 (1)

Деление производится до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Теперь осталось записать ответ. Ответ складывается из остатков от деления записанных в порядке снизу вверх, т.е. последний остаток будет первой цифрой двоичного числа:

Ответ: 13₁₀ = 1101₂

Маленькой цифрой внизу числа (х₂ , х₁₀) обозначается основание СС.

Для того чтобы перевести число из двоичной СС в десятичную необходимо выполнить обратное действие, т.е. умножение, по следующему правилу:

Под каждой цифрой двоичного числа подписываем основание двоичной СС (т.е. 2), но т.к. двоичная СС является позиционной, мы будем возводить подписанные двойки в соответствующие степени, в зависимости от позиции цифры в числе – начиная с нулевой степени последней цифры и далее по возрастанию.

Пример:

1010001

2⁶ 2⁵ 2⁴ 2³ 2² 2¹ 2⁰

Теперь умножим каждую цифру на двойку в соответствующей степени, результаты сложим:

1*2⁰ + 0*2¹ + 0*2²+ 0*2³+1*2⁴ + 0*2⁵ + 1*2⁶ = 1 + 16 + 64 = 81

(помним, что при возведении в нулевую степень любое число даёт единицу, следовательно 2⁰ = 1)

Ответ: 1010001₂ = 81₁₀

1. Закрепление изученного материала.

1) Отметьте истинные высказывания:

• Система счисления – это способ представления чисел и соответствующие ему правила действий над числами.

• Информация, хранящаяся в компьютере, представлена в троичной системе счисления.

• В двоичной системе счисления 11 + 1 = 12.

• В двоичной системе счисления: 1 + 1 = 100.

• Существует множество позиционных систем счисления, и они отличаются друг от друга набором используемых знаков.

• Римская система счисления – это позиционная система счисления.

• Десятичная система счисления – это позиционная система счисления.

• Двоичная система счисления – это позиционная система счисления.

2) Переведите десятичные числа в требуемую систему счисления:

1. 3₁₀ = ______________₂

2. 14₁₀ = ______________₂

3. 128₁₀ = ________________₂

4. 10₂ = _____₁₀

5. 111₂ = _____₁₀

6. 1011101₂ = _____₁₀

3) Укажите верны ли неравенства (отметить «верно» или «неверно»):

1. 11111 100110 ___________

2. 1001 ___________

3. 1000100 ___________

4. 10000000 ___________

4) Для данных чисел запишите предыдущие, т.е. стоящие перед ними на числовой прямой (в двоичной системе счисления):

1. 10110111011111100₂ = ___________________________

2. 1001100101011111₂ = ___________________________

1. Домашнее задание.

1. Отметьте ложные высказывания:

• MCCMXII – окончание первой мировой войны;

• MCMXXXXI – год крещения Руси;

• X цифр используют в десятичной СС;

• СССXLV дней в году;

• ССLVI детей учатся в одном классе.

2) В Японии поступили в продажу необычные электронные часы, отображающие время в двоичной системе счисления. Выглядят часы также довольно необычно. Они заключены в круглый металлический корпус, однако вместо циферблата со стрелками или индикатора с цифрами под стеклом находится печатная плата зеленого цвета с резисторами, конденсаторами и расположенными в два ряда десятью светодиодами.

Рисунок 1

Именно они и показывают время.  Каждый из светодиодов соответствует двоичному разряду. В верхнем ряду имеются четыре диода, соответствующих числам от одного (2⁰) до восьми (2³) и показывающих часы. Нижний ряд из шести светодиодов (разряды от 1 до 32) показывает минуты. Чтобы получить нужное значение нужно сложить числа, соответствующие горящим светодиодам.

Рисунок 2

Посмотрите на свои часы и запишите сколько сейчас времени (обычными цифрами (от 1 до 23 часов)): ____ часов ____ минут

Отобразите это значение на японских двоичных часах, так как показано на примере на рисунке 2.

Отобразите здесь свое значение:

1. Подведение итогов работы. Рефлексия.